導數(shù)的應用教學案

一考綱要求：

1、了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

2、了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)

求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會

求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（多項式函數(shù)一般不超過三

次）.

3、會利用導數(shù)解決某些實際問題.

二基礎(chǔ)知識梳理：

1、函數(shù)f（x）在某個區(qū)間（86）內(nèi)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如

下關(guān)系：

⑴若,則f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

⑵若，則/*5）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.

⑴求；

⑵在定義域內(nèi)解不等式；

（3）根據(jù)結(jié)果確定f（力的單調(diào)區(qū)間.

3、函數(shù)的極值與導數(shù)：已知函數(shù)尸f（x）,設(shè)題是定義域內(nèi)任

一點，如果對過附近的所有點x,都有f（x）＜F（AQ）,則稱函數(shù)

/tx)在點題處取極大值，記作/極大=/'(與)，并把血稱為函

數(shù)F(x)的一個極大值點.如果在題附近都有f(x)>f(陽)，則

稱函數(shù)f(禽在點4處取極小值，記作y極小=六題)，并把殉

稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點.極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極

值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

求極值的步驟：①求；②求的根；③判定；④下結(jié)論.

4、函數(shù)的最值：1).如果在區(qū)間［a,司上函數(shù)y=f(x)的圖象

是一條的曲線，那么它必有最大值和最小值.

2).求函數(shù)尸F(xiàn)(x)在［&司上的最大值與最小值的步驟

(1)求函數(shù)尸f(x)在(a,力)內(nèi)的.

(2)將函數(shù)尸/*5)的各極值與比較，其中最大的一個是最大值,

最小的一個是最小值.

［究疑點］1.若函數(shù)f(x)在(a,方)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f

(x)>0嗎？f(分與是否是爪⑼在包，6)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條

件？

2.導數(shù)為0的點一定是極值點嗎？

三典型例題：

考點一：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)尸犬一；4一2又+5；(2)尸2V一

Inx.

2.已知函數(shù)〃%)=，一&/一3彳在［1,+8)上是增函數(shù)，求實

數(shù)a的取值范圍。

考點二：函數(shù)的極值與導數(shù)

3.已知函數(shù)f(x)=(-X2+2X)ex(x￡R),求函數(shù)f(x)的單

調(diào)區(qū)間和極值。

4.已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2—lOx的一個極值點.

(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點，求b的取

值范圍。

考點三：函數(shù)的最值與導數(shù)

5.函數(shù)f(x)=27—3/-12%+5在［0,3］上的最大值是

,最小值是.

6.已知_f(x)=&/—2aN+8(aW0),是否存在正實數(shù)a,力使得

/*(x)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是一11?若存在，

求出a,b的值及相應函數(shù)f(x)；若不存在，請說明理由.

考點四：生活中的優(yōu)化問題

7.(2010?山東高考)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單元：萬元)與

年產(chǎn)量整單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為尸一；f+81x—234,則

O

使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()

A.13萬件B.11萬件C.9萬件D.7萬件

8.某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程

中產(chǎn)品的正品率產(chǎn)與每日生產(chǎn)量x(x￡N+)件之間的關(guān)系為P=

4200—r

每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損

4500

2000元.(注：正品率=產(chǎn)品中的正品件數(shù)土產(chǎn)品總件數(shù)X100%)

⑴將日利潤y(元)表示成日產(chǎn)量*件)的函數(shù)；

(2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？并求出日利潤的

最大值.

1.函數(shù)f（x）=2V—3V+l在區(qū)間2］上的最大值和最小值

分別是（）

A.21,—JB.1,—1c.21,0D.0,—J

OOO

2.函數(shù)f（x）=l+x—sinx在（0,2五）上是（）

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.在（0,冗）上增，在（n，2冗）上減D.在（0,冗）上減，在（冗，

2冗）上增

3.函數(shù)/*（入）=/+3/+4X一a的極值點的個數(shù)是（）

A.2B.1C.0D.由a確定

4.已知在［1,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，則&的最大

值是（）

A.0B.1C.2D.3

5F（x）的導函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)*x）的圖象最

有可能的是圖中的（）

6.f（x）是定義在（0,+8）上的非負可導函數(shù)，且滿足一（x）

+F（x）W0,對任意正數(shù)a,b,若水6,則必有（）

A.af{6}^bf(a)B.bf(a)^af(t()C.afQ)Wf(6)

D.bf3Wf(4

7.函數(shù)f{x)=：*—inx的最小值為.

8.已知函數(shù)f{x}=，+&*+"+，在入=1處取極值io,則f⑵

______?

9.已知函數(shù)f(x)=x'+(1—a)?x2—a(a+2)x+b(a,b￡R).

若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是一3,求a,

b的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上不單調(diào)，求a的取值范圍.

10.已知函數(shù)f{x}=xlnx.(1)求f{x)的最小值；(2)討論關(guān)于x

的方程/?(x)-"=0(oWR)的解的個數(shù).

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1.若函數(shù)/。)=3芳—5狽+(Q—l)x+l在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減

函數(shù)，在區(qū)間(6,+OO)上為增函數(shù)，則。的取值范圍是二

2.已知函數(shù)_f(x)—加■(&,6WR).若y=f(x)圖象上

O

的點(1,一4)處的切線斜率為-4,求尸f(x)的極大值.

<5

3.已知函數(shù)f(x)=lnx-

X

(1)當a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)若f(x)在［l,e］上的最小值為f求a的值;

4.（2009山東21）已知函數(shù)/（x）——cix^+hx^+x+3,其中“0

當a力滿足什么條件時，