Page22一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先求共軛復數(shù)，再求模即可.【詳解】，則，即；故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，再求出集合，最終依據(jù)交集、并集的定義計算即可.【詳解】由，得，解得，所以，又，所以，.

故選：C3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用指數(shù)與對數(shù)的互換表示出，然后利用換底公式以及對數(shù)的運算法則求解即可．【詳解】由題可得，即．原式．故選：．4.在中，“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)與的推出關系推斷.【詳解】若，則，則，所以，所以充分性成立；若，即，因為，所以或，所以或，即或，所以必要性不成立.故“”是“”的充分非必要條件.故選：A5.設，為正實數(shù)，若，則的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】分析】由，令，，即可得到，則，利用基本不等式計算可得.【詳解】解：因為，為正實數(shù)，且，令，，則，則，當且僅當，即，時取等號.故選：D．6.棱臺的上、下底面面積分別為4和9，則這個棱臺的高和截得棱臺的原棱錐的高的比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出棱臺的高與截得它的棱錐的高，利用面積之比等于相像比的平方，化簡求出結果．【詳解】設棱臺的高為與截得它的棱錐的高，作出草圖，如下圖所示：由相像關系可得，，所以，則即，可得.故選：B．【點睛】本題考查棱臺的結構特征，計算實力，是基礎題．7.如圖是一個近似扇形的魚塘，其中，弧長為（）.為便利投放飼料，欲在如圖位置修建簡易廊橋，其中，.已知時，，則廊橋的長度大約為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設圓心角，取中點，連接，可得，結合題目給定數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】取中點，連接，由題，設圓心角，，所以，所以.故選：B【點睛】此題考查扇形中的圓心角半徑弧長之間的關系，考查圖形中的基本運算，平面幾何相關學問及數(shù)形結合思想的應用.8.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且滿意，，，若，則（）A. B. C.88 D.90【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復合函數(shù)導數(shù)運算求得正確答案.【詳解】由得，①，則關于直線對稱.另外②，則關于點對稱.所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù).，，則，由②，令，得.所以，由②，令，得；所以，由①，令，得；令，得.由②，令，得；令，得，則，；，，以此類推，是周期為的周期函數(shù).所以.故選：B【點睛】函數(shù)的對稱性有多種呈現(xiàn)方式，如，則關于直線對稱；如，則關于直線對稱；如，則關于點對稱；如，則關于點對稱.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的是（）A. B.“”是“”的充分條件C.若,則 D.若,則【答案】CD【解析】【分析】關于選項A,由隨意,只需取一反例即可,取時不成立即可解除;關于選項B,當時不能推出;關于選項C,因為,對不等式左右兩邊分別乘以,即可證明;關于選項D,不等式有同向可加性,將兩邊同時同時乘以-1,即可證明,再取倒數(shù)即可.【詳解】解:關于選項A,當時,,不滿意,故選項A錯誤;關于選項B,當時,,不滿意題意,故選項B錯誤;關于選項C,,同時乘以可得,在兩邊同時乘以,可得,綜上:成立,故選項C正確;關于選項D,,兩式相加可得:,則有成立,故選項D正確.故選:CD10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖像關于點中心對稱B.函數(shù)的圖像關于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖像向右平移個單位可得函數(shù)的圖像【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象求得解析式，再依據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)及伸縮平移變換分別推斷各個選項.【詳解】由圖象得函數(shù)最小值為，故，，故，，故函數(shù)，又函數(shù)過點，故，解得，又，即，故，對稱中心：，解得，對稱中心為，當時，對稱中心為，故A選項正確；對稱軸：，解得，當時，，故B選項正確；的單調(diào)遞減區(qū)間：，解得，又，故C選項不正確；函數(shù)圖像上全部的點向右平移個單位，得到函數(shù)，故D選項不正確；故選：AB.11.在中，，，則下列推斷正確的是（）A.的周長有最大值為21B.的平分線長的最大值為C.若，則邊上的中線長為D.若，則該三角形有兩解【答案】ABD【解析】【分析】A選項，由余弦定理和基本不等式求出，從而得到周長的最大值；B選項，作出幫助線，表達出，由基本不等式求出的最值；C選項，由三角恒等變換求出，由正弦定理求出，再在中，由余弦定理求出答案；D選項，推斷出，得到三角形解的個數(shù).【詳解】A選項，，故，變形得到，解得，當且僅當時，等號成立，故的周長有最大值為，A正確；B選項，如圖，為三角形的角平分線，故，過點作⊥于點，⊥于點，則，設，則，，又，所以，解得，由A選項可知，又，故，，當且僅當時，等號成立，所以，則，故的平分線長的最大值為，B正確；C選項，若，則，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故邊上的中線長為，C錯誤；D選項，若，則，而，則該三角形有兩解，D正確.故選：ABD12.已知分別是函數(shù)和的零點，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】把函數(shù)的零點轉化兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標，再結合反函數(shù)圖像的特點得到點和關于點對稱，依據(jù)可推斷A、B選項；結合反函數(shù)的性質(zhì)可以推斷C選項；利用特別值的思路得到的范圍即可推斷D選項.【詳解】因為，分別是函數(shù)，的零點，所以，，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點的橫坐標，如圖所示，點，，分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點，所以，因為函數(shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關于的圖像對稱，的圖像也關于的圖像對稱，所以點和關于點對稱，，，故AB正確；由反函數(shù)的性質(zhì)可得，因為單調(diào)遞增，，所以，所以，故C錯；當時，函數(shù)對應的函數(shù)值為，函數(shù)對應的函數(shù)值為，因為，所以，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.集合的真子集的個數(shù)是___________.【答案】31【解析】【分析】先求出集合中元素個數(shù)，進而求出真子集個數(shù).【詳解】共5個元素，則真子集的個數(shù)是.故答案為：3114.已知二次函數(shù)．甲同學：的解集為；乙同學：的解集為；丙同學：y的對稱軸大于零．在這三個同學的論述中，只有一個假命題，則a的范圍為________．【答案】【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別分析甲乙丙三位同學的論述，從而得解.【詳解】若甲正確，則且，即，則；若乙正確，則且，即，則；若丙正確，則二次函數(shù)的對稱軸方程，可得；因為只有一個同學的論述為假命題，所以只能乙的論述錯誤，故.故答案為：15.已知，則___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)的關系，即可平方得，結合同角關系以及二倍角公式即可求解.【詳解】由平方得，結合得，所以，由于，所以,所以，故答案為：16.已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為__________.【答案】2【解析】【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.【詳解】設是圖像上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求時，函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)降冪公式以及幫助角公式化簡三角函數(shù)，令即可得出答案；（2）由得，由此即可求出答案．【詳解】解：；（1）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由得，∴，從而函數(shù)值域為．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡以及性質(zhì)，屬于基礎題．18已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)在上有2個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，得到，進而得出，即可求得實數(shù)的值；（2）令，整理得，依據(jù)函數(shù)在上有2個不同的零點，得到，，結合定義域，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則，即.整理得，所以.（2）因為函數(shù)，令，可得，整理得，即，由函數(shù)在上有2個不同的零點，所以，，且，，解得或，所以的取值范圍為.19.在數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，然后當時，由已知式子可得，和已知式子相減化簡可求得，再驗證，即可求得通項公式，（2）由（1）得，然后利用錯位相減法可求得【小問1詳解】當時，，當時，則，得，兩式相減得，，所以，因為滿意上式，所以【小問2詳解】由（1）得，所以所以，所以，所以20.如圖，四棱錐中，是等邊三角形，，．（1）證明：；（2）若，，求點A到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點O，連接，結合題意和三角形全等得到，利用線面垂直的判定得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）結合（1）的結論，建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，求出平面的法向量和所在直線的方向向量，利用空間向量的方法即可求解.【小問1詳解】如圖，連接，交于點O，連接，由，可得，所以，又，所以，所以，即O為中點，在等腰中，可得，在等腰中，，又，平面，所以平面，又平面，所以．【小問2詳解】由（1）可得，，又，所以，由于為正三棱錐，點P在底面的垂足確定在上，設垂足為M，依據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得，如圖，過點作的平行線，以的平行線所在直線為軸，以所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系．可得，又，（或）設平面的法向量，可得不妨令，可得，所以，故所以點A到平面的距離為．21.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求證：.（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)結合正弦定理及正弦和角公式得，結合角度范圍即可證明；(2)結合正弦定理及三角恒等變換，結合B角范圍即可求解.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，【小問2詳解】得：得，∴，∴，由題意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范圍為方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范圍為22.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）證明：當時，在上有且僅有一個零點．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將問題轉化為在上恒成立，即在上恒成立；令，利用導數(shù)可求得，由此可得的范圍；（2）當時，由可知，將問題轉化為證明在上有且僅有一個零點，利用導數(shù)可說明在上單調(diào)遞增，結合零點存在定理可說明在上有且僅有一個零點，由此得到結論.【詳解】（1）由題意得：，若在上單調(diào)遞減，則在上