1.2.2充要條件

卜課前自主預習

3］基礎導學

充要條件

(1)充要條件

回二般地，如果既有〃今〃，乂有就記作〃臺〃.此時，我們說，P是q

的充分必要條件，簡稱皿充要條件.

(2)常見的四種條件與命題真假的關系

如果原命題為“若p,則,逆命題為“若q,則p"，那么.與q的關系

有以下四種情形：

原命題逆命題p與q的關系

〃是”的國充要條件

真真

。是〃的回一充要條件

p是q的因充分不必要條件

真假

q是p的理必要不充分條件

p是q的國必要不充分條件

假真

q是p的幽充分不必要條件

p是q的國既不充分也不必要條件

假假

q是p的叫既不充分也不必要條件

sd自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)當〃是＜7的充要條件時，也可說成4成立當且僅當P成立.()

⑵邏輯聯(lián)結符號“0”具有傳遞性.()

(3)若p書q和q省p有一個成立，則p一定不是q的充要條件.()

答案(1)7(2)7(3)7

2.做一做

(1)(教材改編P12練習Tz)設mbWR,則"a+b>2"是"”>1月*>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)“/<1，，的充要條件是.

(3)"—1=0”是“園一1=0”的條件.(從“充分不必要”“必要

不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個合適的填空)

(4)如果不等式xWm成立的充分不必要條件是KW2,則m的最小值為

答案(1)B(2)-1<%<1(3)充要(4)2

解析(1)當。=0,。=3時，a+b>2,而a<l,故a+/?>2羊。>1且/?>1.而

a>\且匕〉100十匕〉2.故選B.

卜課堂互動探究

探究1充要條件的判斷

例1下列各小題中，P是4的充要條件的是()

①p：2或m>6,q：y=f+〃猶+m+3有兩個不同的零點；

②P：、,=1'q：y=/(x)為偶函數；

③p：cosa=cos夕，q：tana=tan"

④p：AAB=A>q：［uA..

A.①②B.②③C.③④D.①④

［解析］①夕：y=x2+/^+m+3有兩個不同零點0』=毋一4(機+3)>0臺mv

—2或777>6<=>/?.

②/(幻=0時，q與p.

兀

③若a,尸=也+］(kWZ),此時有cosa=cos￡,但沒有tana=tan/?.

④p：AC5=A0ACB0q：

二①④中，〃是夕的充要條件.

［答案］D

拓展提升

判斷p是q的充分必要條件的兩種思路

(1)命題角度：驗證由p能否推出q,由q能否推出p,對于否定性命題，注

意利用等價命題來判斷.

(2)集合角度：關于充分條件、必要條件、充要條件，當不容易判斷及

的真假時，也可以從集合角度去判斷，結合集合中“小集合二大集合”的關

系來理解，這對解決與邏輯有關的問題是大有益處的.

【跟蹤訓練1］已知p是夕的充分條件，q是r的必要條件，也是5的充分

條件，，是s的必要條件，問：

(Dp是r的什么條件？

(2)s是q的什么條件？

(3)p,q,r,s中哪幾對互為充要條件？

pq<=r

s

解作出“今”圖，如右圖所示，可知：

p=^q,99s—^r.

(l)p今q0s0r,且r今q,q能否推出p未知，，p是r的充分條件.

⑵q,q=^s,

''s是q的充要條件.

(3)共有三對充要條件，qQs；s妗r；—q.

探究2充要條件的證明

例2設a,b,c是△ABC的三個內角A,B,。所對的邊.求證：a2=b(b

+c)的充要條件是A=2區(qū)

［證明］充分性：,：A=2B,：.A-B=B,則sin(A—B)=sinB,則sinAcosB

a2+c2-b~/+02-CT

—cosAsinB=sinB,結合正弦、余弦定理得a----赤----b----詆---=b,化簡

整理得a2=Z?(i?+c)；

必要性：由余弦定理+—2Z?CCOSA,且/=/?(/?+(?),得從+/?c=/+

c2—2bccosA,

?…c-csinC

?J+2cosA=］=備/

即sinB+2sinBcosA=sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,/.sinB=

sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B),由于A,8均為三角形的內角，故必有B=A-B,

即A=2B.

綜上，知的充要條件是A=28.

［結論探究］如果把例2中問題改為“求證A,8,C成等差數列的充要條件

是8=60。"，怎樣解答？

證明充分性：

在△ABC中，A+3+C=180°,

又；8=60°,.\A+C=120°.

：.A+C=2B.：.A,B,C成等差數列.

必要性：

A,B,C成等差數列，：.A+C=2B.

又?.?A+B+C=180。，即38=180。，

.?.8=60°.

綜上得A,B,。成等差數列的充要條件是8=60。.

拓展提升

充要條件的證明

證明“充要條件”一般應分兩個步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，

但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件.盡管證

明充要條件問題中前者是后者的充分條件，也可以是必要條件，但還是不能把步

驟顛倒了.一般地，證明“p成立的充要條件為時，在證充分性時應以4為“已

知條件”，p是該步中要證明的“結論”即q=p；證明必要性時則以p為“已知

條件”，即〃今/

【跟蹤訓練2】求證：關于x的方程+有一正根和一

負根的充要條件是ac<0.

證明必要性：由于方程aj^+bx+c=O,有一正根和一負根，.?./=〃一

c.

4ac>0,即式2=/<0，**-cic<0.

充分性：由ac<0可得4訛〉0及x「X2=，），

二方程加+法+c=0有兩個不相等的實根，且兩根異號，即方程改?+笈+

c=0有一正根和一負根.

綜上可知，關于x的方程ax2+^+c=o（aWO）有一正根和一負根的充要條件

是ac<0.

探究3求充要條件

例3求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件.

［解］當。=0時，符合要求.

當aWO時，顯然方程沒有零根，若方程有兩個異號的實根，則由根與系數的

"/=4—4心0,

關系可知a<0；若方程有兩個負實根，則1>05解得0<aWL

I--a<0,

綜上所述，若方程以2+2x+l=0至少有一個負實根，則aWL

反之，若aWl,則方程℃2+2》+1=。至少有一個負實根.

因此，關于x的方程0?+入+1=0至少有一個負實根的充要條件是?；?.

拓展提升

探求充要條件的兩種方法

(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條

件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明.

(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程

同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和

必要性分開來證.

【跟蹤訓練3]圓?+/=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是

答案一審〈小

|2|

解析當圓W+y2=l與直線曠=匕+2有一個公共點時，有=1,解得

攵=地.結合圖形可知，圓與直線沒有公共點的充要條件是一?。茧叮夹?

1

f----------------------------------1速黜升-----------------------

1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法.

2.充要條件的證明與探求

(1)充要條件的證明分充分性和必要性的證明，在證明時要注意兩種敘述方式

的區(qū)別：

①p是q的充要條件，則由p=q證的是充分性，由40P證的是必要性；

②p的充要條件是q,則p=＞q證的是必要性，由40P證的是充分性.

(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變

形轉化過程都可逆，也可以直接求出充要條件.

卜隨堂達標自測

1."(p=n"是"曲線y=sin(2x+g)過坐標原點”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當°=兀時，y=sin(2x+?r)=-sin2x,此時曲線過坐標原點；但曲線y

=sin(2x+9)過坐標原點時，s=E(ZWZ),:."(p=n"是"曲線y=sin(2x+s)過

坐標原點”的充分而不必要條件，故選A.

2.“幺+。一2)2=0”是"x。-2)=0”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析x2+(y—2)2=0,即x=0且y=2,.,.九3—2)=0.反之，x(y—2)=0,即

x=0或y=2,2)2=()不一定成立.

3.已知集合A為數集，則“AA{0,l}={0}”是“A={0}”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析因為“An{0,l}={0}”得不出"A={0}”，而“A={0}”能得出

“An{0,l}={0}"，所以“AC{0,l}={0}”是“4={0}”的必要不充分條件.

4.“sina=cosa”是“cos2a=0”的條件.(從“充分不必要”“必

要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個合適的填空)

答案充分不必要

解析由cos2a=cos2a—sin/知，當sina=cosa時，有cos2a=0,反之，由

cos2a=sin2a不一定有sina=cosa,從而“sina=cosa"是"cos2a=0”的充分不

必要條件.

5.已知x,y都是非零實數，且x>y,求證：的充要條件是孫>0.

xy

證明證法一：充分性：由肛>0及x>y,得奈>白，即

xyxyxy

必要性：由(寸，得:一30，即5^<°.

因為x>y,所以y—x<0,所以xy>0.

所以吳的充要條件是孫>0.

人y

證法二：

xyxy孫

V-X

由條件x>y^>y—x<0,故由一^<00xy>0.

所以《*^孫〉。，

即54的充要條件是孫>0.

人y

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一'選擇題

1.已知直線a,b分別在兩個不同的平面a,4內.則''直線a和直線人相

交”是“平面a和平面口相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若直線a,。相交，設交點為P,則Pda,PGb.又aUa,bu1所以

pea,P0,故a,4相交.反之，若a,P相交，則m人可能相交，也可能異

面或平行.故“直線a和直線b相交”是“平面a和平面廠相交”的充分不必要

條件.

2.給定兩個命題p,q.若女弟〃是q的必要而不充分條件，則.是^[的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析,?陛弟/，是q的必要而不充分條件，㈱°,但女弟/7書4，其逆否命題

為pO^q,但㈱q苗p,因為原命題與其逆否命題是等價命題.故選A.

3.已知函數1x)=Acos(0x+s)(A>O,80,gdR),則“?x)是奇函數”是“<p

=卓的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析/(x)是奇函數時，s=1+E(ZWZ)；8=1時，/(x)=Acos[ft>x+2j=一

TT

Asincox,為奇函數.所以‘'_/□）是奇函數”是“9=*'的必要不充分條件.故選

B.

4.已知直線/i：or+（a+l）y+1=0,b：x+ay+2=0,則"a=-2"是ul\

_L/2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析直線/1_U2的充要條件是。+。（。+1）=0,解得。=0或。=-2,所以

“a=—2”是“/山2”的充分不必要條件.

5.已知不等式以一相<1成立的充分不必要條件是:則實數機的取值范

圍是（）

411「14一

A「予2jB.[—》3]

C.（_8,D,[1,+8）

答案B

解析由題易知不等式|x—,川<1的解集為｛x依一l<x<〃z+l｝,從而有｛x依一

（\n

\<x<m+1｝（J,2I，

，"+1>7，

2i4

]解得一]<〃2<于

｛加―1<個

而加+1=;與加-1=3不同時成立，

14

...機=-]及機=Q亦滿足題意，

14

—iWmWg.故選B.

6.設｛“”｝是首項為正數的等比數列，公比為q,則/<0”是“對任意的正整數

n,。2”-1+。2"<0"的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

2n22n2/，2

解析由題意得，an=a\q''(ai>0),a2n-i+?2n=?i^+ai^'=?I<7(1

+q).若q<0,因為1+q的符號不確定，所以無法判斷。2”-1+“2"的符號；反之,

若儂-1+如<0，即切產-2(］+q)<o,可得'一1<0故"g<o”是“對任意的正整數

n,。2,一+。2〃<0”的必要而不充分條件.故選C.

二、填空題

7.設函數式x)=ox+b(OWxWl),則a+2b>0是於)>0在［0,1］上恒成立的

條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必

要”)

答案必要不充分

次0)〉0,今b>0,

解析由‘,=??+2/?>0.

川)〉0’a-\~b>0.

而僅有a+2b>0,無法推出40)>0和11)>0同時成立.

8.已知a,8為兩個非零向量，有以下命題：

@a1=b2；@a-b=b2；③悶=|可且a〃尻其中可以作為a=b的必要不充分條

件的命