§2-2.1.8導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用測試題(1)

測試目標(biāo)：【考查函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合性質(zhì),

結(jié)合導(dǎo)數(shù)提高函數(shù)圖象的應(yīng)用能力】

一、選擇題

1.廣(%)=0是函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處取極值的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2、設(shè)曲線y=x?+1在點(diǎn)(x,/(x))處的切線的斜率為g(x),則函數(shù)y=g(x)cosx的

A.（0,0）B.（2,4）C.七）D.g

4.若曲線y=/+ax+6在點(diǎn)（0,0處的切線方程是x—y+l=0,則（）

A.a=l,b=\B.a=-1,b=1

C.a=l,b=—lD.H=-1,b=-l

5函數(shù)F（x）=f+ax2+3x—9已知/V）在x=-3時取得極值，則a等于（）

A.2B.3C.*4D.5

6.已知三次函數(shù)fx)（4加一1），+（15方-2加-7）才+2在（—8,+8）

是增函數(shù)，則力的取值范圍是()

A.欣2或R>4B.—4〈水一2C.2〈欣4D.以上皆不正確

7.直線y=x是曲線y=a+lnx的一條切線，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-1B.eC.In2D.1

8.若函數(shù)/(x)=x3一i2x在區(qū)間(左-1#+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范

圍()

A.k<-3^-l<k<^k>3B.—3<々<—1或1<左<3

C.-2<k<2D.不存在這樣的實(shí)數(shù)k

9.10.函數(shù)/(x)的定義域為(4,6),導(dǎo)函數(shù)7(X)在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示，

則函數(shù)“X)在(a,。)內(nèi)有極小值點(diǎn)().

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.已知二次函數(shù)/(x)=*+/zx+c的導(dǎo)數(shù)為尸(x),/(0)>0,對于任意實(shí)數(shù)x都

有/(x)2O,則上包的最小值為()

/'(O)

53

A.3B.-C.2D.-

22

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)

11.函數(shù)y=皿的導(dǎo)數(shù)為

X

12、已知函數(shù)/(乃=%3+?%2+/+。2在才=1處有極值為10,則f(2)等于

13.函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間［0,自上的最大值是

14.已知函數(shù)/、(幻=V+利在R上有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

15.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(I)=0,、(x)：/(x)〉0(%〉o),

X'

則不等式尤2/(x)>0的解集是

三、解答題(本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟)

16.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx—cosx+x+1,0<x<2Ji,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

17.已知函數(shù)/(幻=1-3x.

（i）求廣（2）的值；（ii）求函數(shù)/co的單調(diào)區(qū)間.

18.設(shè)函數(shù)/（X）=/一6X+5,XG/?.

（1）求/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若關(guān)于x的方程/（x）=a有3個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

（3）已知當(dāng)了€（1,4＜?）時,/（幻2%（犬-1）恒成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

19.已知尤=1是函數(shù)/（x）=znr'-3（加+1*+〃x+l的一個極值點(diǎn)，其中列〃e

（1）求機(jī)與〃的關(guān)系式；（2）求/a）的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)函數(shù)y=/（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3皿，求加

的取值范圍。

20.已知函數(shù)/（x）=Inx-or?一人x.

（I）當(dāng)。=-1時，若函數(shù)/（幻在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；

（II）若/（x）的圖象與x軸交于4（%0）,5（々,0）（再＜尤2）兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為

C（xo,O）,求證：/,（x0）＜0.

2

21.已知函數(shù)/（x）=三,g（x）=2aInx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

(1)求E(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間，若E(x)有最值，請求出最值；

(2)是否存在正常數(shù)a,使/(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，且在該

公共點(diǎn)處有共同的切線？若存在，求出a的值，以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切

線方程；若不存在，請說明理由。

《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》參考答案

一、選擇題:

題號12345678910

答案BADADDDBAC

二、填空題:

11.yjcos.m.t；121813.三+百；14.{?|a<0}；

廠6

15.(-1,0)u(l,+oo)

三、解答題

16.［解析］?(x)=cosx+sinx+l=^/^sin(x+1)+1(0〈底2n)

令F(x)=0,即sin(x+：-)=—乎，

3

解之得x=五或x=-n.

x,f'(x)以及/'(x)變化情況如下表：

/3,3

(-23（不，2

X(ftn)JI2H

址：)兀）

f

+0—0+

（X）

3n

f(x)遞增n+2遞減遞增

33

的單調(diào)增區(qū)間為（0,“）和（5口，2JI）單調(diào)減區(qū)間為（“，-JI）.

33n

F極大（x）=F（口）=n+2,F極?。▁）=/（7）=丁.

乙乙

17.解:（I）f'（x）=3x2-3,所以尸（2）=9.

（II）f\x）=3x2-3,

解r（x）>o,得％>i或x<-i.

解了”（x）<0,得一1<X<1.

所以（-oo,-1）,（1,+8）為函數(shù)/（尤）的單調(diào)增區(qū)間，為函數(shù)/（X）的單調(diào)減區(qū)

18.解：（1）尸（乃=3（——2）,4/，（幻=0,得當(dāng)=一血/2=五1

分

...當(dāng)x<-V2gJa>0時,/'(x)>();當(dāng)一夜<x<亞寸,r(x)<(),...............2

分

二/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-0)和(五,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-痣,加)……

3分

當(dāng)x=-后,/(x)有極大值5+4V2；當(dāng)x=VI/(x)有極小值5-4^2..........4

分

(2)由(1)可知y=/(x)圖象的大致形狀及走向(圖略)

.?.當(dāng)5—4痣<。<5+4揚(yáng)寸，直線丁=。與丁=/(x)的圖象有3個不同交點(diǎn)，……6

分

即當(dāng)5—40<。<5+40時方程/(*)=1有三解.........................7分

(3)f(x)>k(x-l)BP(x-l)(x2+x-5)>k(x-1)

x>l,.'.^<x2+x-5在(L+=c)上恒成立...............................9分

令g(x)=/+x-5,由二次函數(shù)的性質(zhì)，g(x)在(L+8)上是增函數(shù)，

g(x)>g(l)=-3,...所求左的取值范圍是左M—3......................12分

19.解:(1)/(x)=3--6(/?+l)x+".因為x=l是函數(shù)/(x)的一個極值點(diǎn).所以

/'(1)=0

即3，〃一6("?+1)+,=0,所以n=3m+6

2

(2)由(1)矢口，f'(x)=3mx—XAHXl)[x—(Id——)]

6(/7?+1)4-3/??+6=3(—m

當(dāng)加<0時，有1>1+2，當(dāng)X為化時，/(X)與尸(X)的變化如下表：

m

2i+2(i+2,i)

X(-8/+一)1(1,+8)

mmm

f,W—0+0—

單調(diào)遞單調(diào)遞

f(x)單調(diào)遞減極小值極大值

增減

故由上表知，當(dāng)機(jī)<0時，/(X)在(-8,1+工)單調(diào)遞減,在(1+2,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)

mm

上單調(diào)

遞減.

(3)由已知得尸(%)>3m,即〃>一2(m+l)x+2>0又加<0,所以/一2(加+1?+2<0,

mm

即x2--(w+l)x+—<0,XG［-1,1］設(shè)g(x)=x2-2(1+—)x+—,其函數(shù)圖象開口向上，由

mmmm

22

題意知①式恒成立，所以六㈠卜噎1+2+7+盛<°解之得-3〈機(jī)又加<0所以

卜⑴<。［.1<03

--<m<0§Pm的取值范圍為(-土0)

33

20.(1)由題意：/(x)=lnx+/一灰,.../(X)在(0,+oo)上遞增，

/.fr(x)=-+2%-/?20對X￡(0,+8)恒成立，即b44+2x對X€(0,+8)恒成立，

XX

「?只需b<(—h2x)min,

X

15

vx>0,/.-+2X>2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)x=J時取“二”，。<2夜，.?.方的取值

x2

范圍為(-00,20)

⑵由已知得，廠區(qū))=叱一端一如=0=2寸遍一如，兩式相減，

f(x2)=Inx2-ax\-bx2-0[Inx2-ax\-hx2

得：

In—=a(X]+%2)(%一九2)+b(M一Z)=>ln-=(x,-x2)[a(x1+々)+。]，

%

由/'(x)=—F2ax—h及2xg=苞+x9,得：

x

/'(尤o)=--2也-b=---------[?U|+x)+b]=-----------------In—

XQ玉+X,Xj+x,Xj4-X2x2

9z_x2(--1)

=「￡)_1n土卜^[------1n與，令，=A(o,i),

M+Zx2Xj-x2(±+i)々M

x2

?r-2(7.1)2_

月.°。)=------Inr(0</<1),;(p'(t)=--——勺<0,eQ)在(0,1)上為減函

r+1+

數(shù)，

/.<p(t)>(p(X)=0?又項<42，'''f'(xo)<0

2(x3ea

21.解:(1)F\x)=f'(x)-g'(x)=---=~\x>0)

exex

①當(dāng)a<00寸,F\x)>0恒成立

尸(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)，尸(x)F只有一個單調(diào)遞增區(qū)間(0,-8),沒有

最值...3分

②當(dāng)。>0時，F(xiàn)(x)=2(.?窺(.?窺)&>0),

ex

若0<x〈焉，則尸(x)<0,F(x)在(0,而)上單調(diào)遞減；

若x>癡，則F(x)>0,b(x)在(而,+8)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x=J總時，尸(*)有極小值，也是最小值，

即F(x)nijn=F(-Jea)-a-2aln\[ea--a\na........6分

所以當(dāng)a>0時，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,而)

單調(diào)遞增區(qū)間為(而,”)，最小值為-alna,無最大值.......7分

(2)方法一，若/1)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，

則方程/(x)-g(x)=0有且只有一解，所以函數(shù)尸(x)有且只有一個零

點(diǎn).......8分

由(1)的結(jié)論可知/(x)1nm=-aIna=0得a=110分

此時，F(xiàn)(x)=/(x)-g(x)=--21nx,0尸⑺/尸(指)=0

??.，(&)=g(&)=L，f(x)與g(x)的圖象的唯一公共點(diǎn)坐標(biāo)為(&」)

又??"'(&)=g'(&)=3.?J(X瀉g(X)的圖象在點(diǎn)(&」)處有共同的切線,

其方程為y-l—,B|Jy=-^—x-\1