第二章4單擺學習目標1.了解什么是單擺,初步形成單擺的回復(fù)力及周期的概念。(物理觀念)2.理解單擺振動的特點及其做簡諧運動的條件;知道單擺周期的決定因素,掌握其周期公式,知道單擺是一種理想化模型。(科學思維)3.能用實驗探究影響單擺周期的因素,能定量探究單擺周期與擺長的關(guān)系。(科學探究)基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)一、單擺及單擺的回復(fù)力1.單擺如果細線的長度不可

,細線的

與小球相比可以忽略,球的直徑與線的長度相比也可以忽略,這樣的裝置就叫作單擺。

【要點提示】

單擺是個理想模型。

2.單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來源:擺球的重力沿圓弧

方向的分力。

振動方向上的合力

(2)回復(fù)力的特點:在擺角

時,單擺所受的回復(fù)力與它偏離

的位移成

,方向總指向

,即【要點提示】

只要所受合外力符合F=-kx的形式即為簡諧運動。(3)單擺做簡諧運動的條件:單擺在擺角

的情況下做簡諧運動。

改變質(zhì)量切線很小平衡位置正比平衡位置很小二、單擺的周期1.定性探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長對周期的影響(1)探究方法:

法。

(2)實驗結(jié)論①單擺振動的周期與擺球的質(zhì)量

。

②振幅較小時,周期與振幅

。

③擺長越長,周期

;擺長越短,周期

。

控制變量無關(guān)無關(guān)越長越短2.定量探究單擺的周期與擺長的關(guān)系(1)周期的測量:用停表測出單擺N(30~50)次全振動的時間t,利用

計算它的周期。(2)擺長的測量:用刻度尺測出細線長度l0,用

測出小球直徑D,利用

求出擺長。

(3)數(shù)據(jù)處理:改變

,測出對應(yīng)的單擺周期,作出T-l、T-l2或

圖像,得出結(jié)論。

游標卡尺擺長l3.周期公式(1)公式的提出:荷蘭物理學家

提出了單擺的周期公式。

(2)公式:T=

,即T與擺長l的二次方根成

,與重力加速度g的二次方根成

。

惠更斯正比反比情境鏈接如圖所示,人坐在秋千上在豎直平面內(nèi)往復(fù)擺動。人的擺動是否是簡諧運動呢?提示

在忽略空氣阻力、繩的伸長、繩的質(zhì)量,人可以看作質(zhì)點,且在擺角較小時,人的擺動可以看作簡諧運動。教材拓展如圖所示,球在半徑為R的圓周上A、B兩點間做往復(fù)運動,通過與單擺類比,說明球做簡諧運動的條件。提示

球的直徑遠遠小于R,球為密度大、體積小的球,忽略空氣阻力和球面的摩擦阻力,且AB弧長遠遠小于R。易錯辨析(1)單擺模型中對細線的要求是其伸縮可忽略,質(zhì)量可忽略。(

)(2)單擺受到的回復(fù)力就是它的合力。(

)(3)單擺在擺動過程中經(jīng)過平衡位置時合力為0。(

)(4)單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)。(

)(5)單擺的擺角大小對其周期無影響。(

)(6)若單擺的擺長變?yōu)樵瓉淼?倍,則周期變?yōu)樵瓉淼?倍。(

)√×回復(fù)力是擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。

×擺球做圓周運動,經(jīng)過最低點(即平衡位置)時,有向上的加速度,合力不為0。

√×在擺角很小時,擺角的大小對其周期無影響。

×周期與擺長的二次方根成正比。

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一單擺的回復(fù)力導(dǎo)學探究判斷以下擺動模型是不是單擺,為什么?提示

模型①不是單擺,因為橡皮筋伸長不可忽略。模型②不是單擺,因為繩子質(zhì)量不可忽略。模型③不是單擺,因為繩長不是遠大于球的直徑。模型④不是單擺,因為懸點不固定,擺長會發(fā)生變化。模型⑤是單擺,因為符合單擺的概念。知識歸納1.實際擺可看成單擺的四個條件(1)忽略在擺動過程中所受到的阻力;(2)將擺球看作質(zhì)點;(3)擺線細且不可伸長;(4)忽略擺球的質(zhì)量。2.單擺擺球的運動特點(1)擺球以懸點為圓心在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動。(2)擺球同時以最低點O為平衡位置做機械振動。3.受力規(guī)律(1)在運動過程中只要v≠0,沿半徑方向的力的合力不為0,提供向心力。(2)在運動過程中只要不在平衡位置,小球一定有回復(fù)力,即重力沿圓弧切線方向的分力。(3)在平衡位置,回復(fù)力為零,小球的合力并不為零,合力提供圓周運動的向心力。4.單擺做簡諧運動的條件

如圖所示,在擺角很小時,擺球相對O點的位移x的大小與θ角所對的弧長、θ角所對的弦都近似相等,因此sin

θ≈,所以單擺的回復(fù)力大小F=G1=mgsin

θ≈x=kx,其中k=為一常數(shù)?？紤]力F的方向與位移x的方向相反,所以有F=-kx。因此,在擺角θ很小時,單擺做簡諧運動。特別提示

單擺的擺動不一定都是簡諧運動,只有單擺做小角度擺動時才認為是簡諧運動。典例剖析【例題1】

(2024山東濰坊一中高二月考)圖中O點為單擺的固定懸點,現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點)拉至A點,此時細線處于張緊狀態(tài),釋放擺球,擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回擺動,B點為運動中的最低位置,則在擺動過程中(

)A.擺球受到重力、拉力、向心力、回復(fù)力四個力的作用B.擺球在A點和C點處,速度為零,合力與回復(fù)力也為零C.擺球在B點處,速度最大,細線拉力也最大D.擺球在B點處,速度最大,回復(fù)力也最大C解析

擺球在運動過程中只受到重力和拉力作用,A錯誤;擺球在擺動過程中,在最高點A、C處速度為零,回復(fù)力最大,合力不為零,在最低點B處,速度最大,回復(fù)力為零,細線的拉力最大,C正確,B、D錯誤。對點演練1.(多選)(2024山東諸城一中高二月考)一單擺的振動圖像如圖所示,則(

)A.t1和t3時刻擺線的拉力等大B.t2和t3時刻擺球速度相等C.t3時刻擺球速度正在減小D.t4時刻擺線的拉力正在減小AD解析

由題圖可知,t1和t3時刻擺球的位移相等,根據(jù)對稱性可知單擺振動的速度大小相等,故擺線拉力大小相等,故A正確;t2時刻擺球在負的最大位移處,速度為零,t3時刻擺球向平衡位置運動,所以t2和t3時刻擺球速度不相等,故B錯誤;t3時刻擺球正靠近平衡位置,速度正在增大,故C錯誤;t4時刻擺球正遠離平衡位置,速度正在減小,擺線拉力也減小,故D正確。方法技巧

對單擺的兩點說明(1)所謂平衡位置,是指擺球靜止時,擺線拉力與小球所受重力平衡的位置,并不是指擺動過程中的受力平衡位置。實際上,在擺動過程中,擺球受力不可能平衡。(2)回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin

θ提供的,不可誤認為回復(fù)力是重力G與擺線拉力FT的合力。探究點二單擺的周期導(dǎo)學探究假設(shè)將一個擺鐘(如圖所示)帶到空間站內(nèi),則鐘擺的擺動周期如何變化?要點提示

在空間站內(nèi)鐘擺完全失重,回復(fù)力為零,等效值g'=0,鐘擺不擺動了。知識歸納1.周期公式的成立條件當單擺做偏角很小的振動時,才有,與單擺的振幅及擺球的質(zhì)量無關(guān),只與擺長l及單擺所在處的重力加速度g有關(guān)。特別提示

實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點,所以擺長應(yīng)是從懸點到擺球球心的長度,即l=l0+,l0為擺線長,D為擺球直徑。2.對擺長的理解對于不規(guī)則的擺動物體或復(fù)合物體,擺長是指擺動軌跡圓弧的圓心到擺動物體重心的長度。圖(a)中,擺球半徑為r,甲、乙兩擺在垂直紙面方向擺起來效果是相同的,所以甲擺的擺長為lsin

α+r。圖(b)中,乙在垂直紙面方向小角度擺動時,與甲擺等效;乙在紙面內(nèi)小角度擺動時,與丙擺等效。3.對重力加速度g的理解只處于重力場中的單擺,周期公式中的g由單擺所在的空間位置決定,即g=,其中m0為地球的質(zhì)量,r為到地心的距離。在地球表面不同位置、離地表不同高度處、不同星球上g都不同,因此,應(yīng)求出單擺所在處的重力加速度代入公式,即g不一定等于9.8m/s2。典例剖析【例題2】

(2024山東泰安高二月考)有一單擺,其擺長l=1.02m,擺球的質(zhì)量m=0.10kg。已知單擺做簡諧運動,單擺30次全振動用的時間t=60.8s。(1)當?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻?(2)如果將這個單擺改為秒擺(周期為2s),擺長應(yīng)怎樣改變?改變多少?答案

(1)9.79m/s2

(2)縮短

0.027m對點演練2.(2024江蘇蘇州高二期末)已知單擺甲完成10次全振動的時間單擺乙恰好可以完成6次全振動,兩擺長之差為1.6m,則兩擺長l甲與l乙分別為(

)A.2.5m

0.9m B.0.9m

2.5mC.2.4m

4.0m D.4.0m

2.4mB方法技巧

單擺模型及問題的分析、解答(1)單擺模型指符合單擺規(guī)律的運動模型。滿足條件:①圓弧運動;②小角度擺動;③回復(fù)力F=-kx。(2)首先確認符合單擺模型的條件,然后尋找等效擺長l及等效重力加速度g,最后利用公式

或簡諧運動規(guī)律分析、解答。探究點三“單擺”模型的拓展導(dǎo)學探究如圖所示,擺球(半徑可忽略不計)在垂直于紙面的平面內(nèi)做小角度擺動,是不是單擺?擺長是多少?提示

是,擺長是lsin

α。

知識歸納1.“等效思維”在擺長測量中的應(yīng)用對于各種不同的單擺系統(tǒng),周期公式

中的擺長l的意義是不同的,擺長l是指擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離,而不一定是擺線的長,假設(shè)小球的半徑r足夠小,可以忽略。2.圓弧擺如圖所示,有一光滑圓弧曲面AO'B,在A處放一小球,圓弧擺做簡諧運動的條件:(1)圓弧曲面光滑。(2)小球直徑和圓弧弧長遠小于圓弧的半徑R。(3)小球在曲面AO'B上做往復(fù)運動,圓弧擺周期3.不同系統(tǒng)中的等效重力加速度在不同的運動系統(tǒng)中,單擺周期公式中的g應(yīng)理解為等效重力加速度,其大小等于單擺相對系統(tǒng)靜止在平衡位置時的擺線拉力與擺球質(zhì)量的比值。典例剖析【例題4】

(2024山東泰安高二期末)如圖所示,三根細線在O點處打結(jié),A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上,使∠AOB=90°,∠BAO=30°,已知細線OC長度為l,下端C點系著一個小球(可看成質(zhì)點且做小角度擺動)。讓小球在紙面內(nèi)運動,周期T1=

。讓小球在垂直紙面內(nèi)運動,周期T2=

。

對點演練4.(2024遼寧實驗中學月考)如圖所示,AO'段為半徑為R的光滑圓弧面,BO'段為光滑斜面,相交處平滑過渡,已知圓弧弧長

'?R,且A、B等高,現(xiàn)有三個小球,a球從A點由靜止釋放沿圓弧下滑,b球從B點由靜止釋放沿斜面下滑,c球從圓心O點由靜止釋放,若三個小球同時釋放,則下列說法正確的是(

)A.a球最先運動到圓弧最低點B.b球最先運動到圓弧最低點C.c球最先運動到圓弧最低點D.三個小球同時到達圓弧最低點C學以致用·隨堂檢測全達標123451.(單擺的回復(fù)力)(2024山東濱州高二月考)關(guān)于單擺的描述,正確的是(

)A.單擺的運動一定是簡諧運動B.單擺運動的回復(fù)力是重力與繩子拉力的合力C.單擺運動過程中經(jīng)過平衡位置時達到平衡狀態(tài)D.單擺經(jīng)過平衡位置時回復(fù)力為零D解析

當單擺的偏角較小時單擺的運動才是簡諧運動,故A錯誤;單擺運動的回復(fù)力是重力在切線上的分力提供的,故B錯誤;單擺運動過程中經(jīng)過平衡位置時有向心加速度,所以沒有達到平衡狀態(tài),故C錯誤;根據(jù)F=-kx可知單擺經(jīng)過平衡位置時回復(fù)力