5．2三角函數(shù)的概念例題1.求的正弦、余弦和正切值.【答案】，，【解析】【分析】求出的終邊與單位圓的交點即可【詳解】在直角坐標(biāo)系中，作（如圖），易知的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為.所以，，，.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡單.2.如圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標(biāo)為，點P與原點的距離為r，求證：，，.【答案】見解析【解析】【分析】設(shè)角的終邊與單位圓交于點，分別過點P，作x軸的垂線PM，，垂足分別為M，，利用即可證明.【詳解】如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點.分別過點P，作x軸的垂線PM，，垂足分別為M，，則，，，，因為所以，即.因為與y同號，所以，即.同理可得，【點睛】只要知道角終邊上任意一點P的坐標(biāo)，就可以求得角的各個三角函數(shù)值，并且這些函數(shù)值不會隨P點位置的改變而改變.3.求證角為第三象限角的充要條件是【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)象限角的定義以及三角函數(shù)在各個象限中的符號證明即可【詳解】因為角為第三象限角所以，反過來：由得由得所以所以角為第三象限角所以角為第三象限角的充要條件是【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，象限角的定義以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．4.確定下列三角函數(shù)值的符號，然后用計算工具驗證：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】判斷出每個角所在的象限即可【詳解】（1）因為是第三象限角，所以；（2）因為是第四象限角，所以；（3）因為，而是第一象限角，所以；（4）因為，而的終邊在x軸上，所以.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)在各個象限中的符號，較簡單.5.求下列三角函數(shù)值：（1）（精確到0.001）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】由，，求出即可【詳解】（1）；（2）；（3）.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，較簡單.6.已知，求，的值.【答案】見解析【解析】【分析】分角為第三和第四象限角兩種情況討論，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得解.【詳解】因為，，所以是第三或第四象限角.由得.如果是第三象限角，那么，于是，從而；如果是第四象限角，那么，.綜上所述，當(dāng)是第三象限角時，，；當(dāng)是第四象限角時，，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】作差法，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即得證【詳解】證明：．所以，即得證5．2．1三角函數(shù)的概念練習(xí)8.利用三角函數(shù)定義，求0，，，的三個三角函數(shù)值.【答案】；；.；；不存在；；；.；；不存在.【解析】【分析】分別找出角0，，，與單位圓的交點即可【詳解】因為0的終邊與單位圓的交點是所以；；因為的終邊與單位圓的交點是所以；；不存在；因為的終邊與單位圓的交點是所以；；.因為的終邊與單位圓的交點是所以；；不存在.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡單.9.利用三角函數(shù)定義，求的三個三角函數(shù)值．【答案】，，．【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的三個三角函數(shù)值．【詳解】解：在角的終邊上任意取一點，，則，，，，，．10.已知角的終邊過點，求角的三角函數(shù)值.【答案】；；【解析】【分析】先算出，然后即得，，【詳解】所以，，【點睛】設(shè)是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標(biāo)為，點P與原點的距離為r，則，，.11.已知點P在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1rad/s.求2s時點P所在的位置.【答案】P【解析】【分析】設(shè)P點坐標(biāo)為，，由和即可得出答案.【詳解】設(shè)P點坐標(biāo)為，.∵，∴，∵，∴，∴點P的坐標(biāo)為.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡單.練習(xí)12.填表：【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式填表即可【詳解】001-100-1【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，較簡單.13.設(shè)是三角形的一個內(nèi)角，在，，，中，哪些有可能取負值？【答案】和有可能取負值【解析】【分析】直接根據(jù)角所在象限確定正負值.【詳解】當(dāng)是鈍角時，和取負值，當(dāng)時，，此時和均為正值.即是三角形的一個內(nèi)角時，和有可能取負值.14.確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）正；（2）負；（3）0；（4）負；（5）正；（6）正.【解析】【分析】判斷出每個角的終邊所在象限即可【詳解】因為的第二象限角，所以的符號為正因為，所以是第三象限角所以的符號為負因為，所以的終邊在軸負半軸所以因為，所以是第四象限角所以的符號為負因為，所以是第二象限角所以的符號為正因為，所以是第三象限角所以的符號為正.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)在各個象限中的符號，較簡單.15.對于，②，③，④，⑤與⑥，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式序號填空：（1）角為第一象限角的充要條件是_____；（2）角為第二象限角的充要條件是_____；（3）角為第三象限角的充要條件是_____；（4）角為第四象限角的充要條件是______.【答案】①.①③或①⑤或③⑤或①③⑤②.①④或①⑥或④⑥或①④⑥③.②④或②⑤或④⑤或②④⑤④.②③或②⑥或③⑥或②③⑥【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限中的符號即可填出答案【詳解】角為第一象限角的充要條件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤角為第二象限角的充要條件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥角為第三象限角的充要條件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤角為第四象限角的充要條件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥故答案為：(1).①③或①⑤或③⑤或①③⑤(2).①④或①⑥或④⑥或①④⑥(3).②④或②⑤或④⑤或②④⑤(4).②③或②⑥或③⑥或②③⑥【點睛】本題考查的是三角函數(shù)在各個象限中的符號，較簡單.16.求下列三角函數(shù)值（可用計算工具，第（1）題精確到0.0001）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）0.8746；（2）；（3）0.5；（4）1.【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式把每個角轉(zhuǎn)化到即可【詳解】【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，較簡單.5．2．2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系練習(xí)17.已知，且為第三象限角，求，的值.【答案】，【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】，且為第三象限角，，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知，求，的值.【答案】見解析【解析】【分析】分角為第二和第四象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系建立有關(guān)和的方程組，即可得出，的值.【詳解】，為第二或第四象限角，又，.代入，得.當(dāng)為第二象限角時，，；當(dāng)為第四象限角時，，.綜上所述，當(dāng)為第二象限角時，，；當(dāng)為第四象限角時，，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，建立有關(guān)和的方程組是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知，求，的值（精確到）.【答案】見解析【解析】【分析】分角為第一和第二象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，的值.【詳解】，為第一或第二象限角.當(dāng)為第一象限角時，，；當(dāng)為第二象限角時，，.綜上所述，當(dāng)為第一象限角時，，；當(dāng)為第二象限角時，，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，要注意對角的象限分類討論，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.化簡：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由代入化簡即可得解；（2）將等式代入分式化簡計算即可；（3）由代入化簡計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.21.求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】在等式左邊提公因式，結(jié)合化簡計算即可證得所證等式成立.【詳解】左邊右邊.【點睛】本題考查三角恒等式的證明，考查同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.習(xí)題5．2復(fù)習(xí)鞏固22.用定義法、公式一求下列角的三個三角函數(shù)值（可用計算工具）：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），，;（2），，（3），，（4），，【解析】【分析】對于各個角，直接利用誘導(dǎo)公式一和三角函數(shù)定義化簡求解三個三角函數(shù)值即可．【小問1詳解】解：；；．【小問2詳解】解：；；；【小問3詳解】解：；；.【小問4詳解】解：；；.23.已知角的終邊上有一點的坐標(biāo)是，其中，求.【答案】見解析【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解.【詳解】r＝＝5|a|.當(dāng)a＞0時，r＝5a，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝；當(dāng)a＜0時，r＝－5a，∴sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.綜上可知，sinα＝，cosα＝，tanα＝或sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.【點睛】(1)本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)點p(x,y)是角終邊上的任意的一點（原點除外）,r代表點到原點的距離，則sin=cos=,tan=.24.計算：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（3）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（4）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（3）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（4）根據(jù)三角函數(shù)定義可得【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的計算求值,屬于基礎(chǔ)題.25.化簡：（1）；（2）；（3）.（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（3）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（4）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得.（3）根據(jù)三角函數(shù)定義可得.（4）根據(jù)三角函數(shù)定義可得.【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的計算求值,屬于基礎(chǔ)題.26.確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）負（2）負（3）負（4）正（5）負（6）負【解析】【分析】由角的終邊的位置和三角函數(shù)的符號規(guī)律逐個判斷即可．【小問1詳解】解：因為為第三象限角，所以為負；【小問2詳解】解：因為為第二象限角，所以為負；【小問3詳解】解：因為為第四象限角，所以為負；【小問4詳解】解：因為為第一象限角，所以為正；【小問5詳解】解：因為為第三象限角，所以為負；【小問6詳解】解：因為為第二象限角，所以為負．27.（1）已知，且為第四象限角，求的值；（2）已知，且為第二象限角，求的值；（3）已知，求的值；（4）已知，求的值（精確到0.01）.【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)為第二象限角時，；當(dāng)為第四象限角時，；（4）當(dāng)為第一象限角時，；當(dāng)為第四象限角時，.【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合角的取值范圍,即可求解.【詳解】（1）由,得為第四象限角,（2）由,得為第二象限角（3）∴為第二或第四象限角當(dāng)為第二象限角時,；當(dāng)為第四象限角時,.（4）為第一或第四象限角當(dāng)為第一象限角時,；當(dāng)為第四象限角時,.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,在使用時要特別注意角的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.綜合運用28.分別根據(jù)下列條件求函數(shù)的值：（1）；（2）.【答案】（1）1；（2）-1【解析】【分析】（1）直接將代入計算即可；（2）直接將代入計算即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，.（2）當(dāng)時，29.確定下列式子的符號（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）正；（2）負；（3）負；（4）正【解析】【分析】根據(jù)角所在的象限,判斷三角函數(shù)的符號,即可判斷各自的符號.【詳解】（1）∴原式為正；（2）∴原式為負；（3）∴原式為負；（4）∴原式為正.【點睛】本題考查了三角函數(shù)在四個象限的符號判斷,屬于基礎(chǔ)題.30.求下列三角函數(shù)值（可用計算工具，第（1）（3）（4）題精確到0.0001）；（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045.【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式將三角函數(shù)進行化簡,借助計算器即可求解.【詳解】（1）由計算器可得（2）（3）由計算器可得（4）.由計算器可得【點睛】本題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的化簡,計算器計算三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.31.求證：（1）角為第二或第三象限角的充要條件是；（2）角為第三或第四象限角的充要條件是；（3）角為第一或第四象限角的充要條件是；（4）角為第一或第三象限角的充要條件是.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）證明見解析【解析】【分析】根據(jù)角所在的象限,可得三角函數(shù)的符號;同理根據(jù)三角函數(shù)符號,可判斷角所在的象限,結(jié)合充要條件的判定方法即可證明.【詳解】（1）證明:當(dāng)角為第二象限角時,,所以；當(dāng)角為第三象限角時,,所以.所以當(dāng)角為第二或第三象限角時,.因為,所以；或.當(dāng)時,角為第二象限角當(dāng)時,角為第三象限角所以當(dāng)時,角為第二或第三象限角.綜上所述,原命題成立（2）證明:當(dāng)角為第三象限角時,,所以；當(dāng)角為第四象限角時,,所以.所以當(dāng)角為第三或第四象限角時,.因為,所以；或.當(dāng)時,為第三象限角；當(dāng)時,為第四象限角所以當(dāng)時,角為第三或第四象限角.綜上所述,原命題成立.（3）證明:當(dāng)角為第一或第四象限角時,與同號,所以當(dāng)時,與同號所以角為第一或第四象限角.綜上所述,原命題成立.（4）證明:當(dāng)角為第一或第三象限角時,與同號,所以；當(dāng)時,與同號所以角為第一或第三象限角,綜上所述,原命題成立【點睛】本題考查了三角函數(shù)在四個想象符號的判斷,充分必要條件的證明,屬于基礎(chǔ)題.32.已知，求的值.【答案】為第三象限角，；為第四象限角，.【解析】【分析】討論為第三象限角或第四象限角.結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】為第三或第四象限角.由可得而當(dāng)為第三象限角時,當(dāng)為第四象限角時,【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡單應(yīng)用,注意討論角所在的象限,屬于基礎(chǔ)題.33.已知，求的值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的值及的范圍,可求得的值,進而求得的值即可.【詳解】【點睛】本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù),特殊角三角函數(shù)值求法,屬于基礎(chǔ)題.34.已知角的終邊不在坐標(biāo)軸上，（1）用表示；（2）用表示.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】討論角所在的象限,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式,即可得解.【詳解】（1）當(dāng)角是第一、二象限角時,.當(dāng)角是第三、四象限角時,.（2）當(dāng)角是第一、四象限角時,.當(dāng)角是第二、三象限角時,.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.35.求證：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）證明見解析【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)式關(guān)系,結(jié)合齊次式的化簡即可證明.【詳解】（1