參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.2021的相反數(shù)是（）

A._1B.-2021C.1D.2021

20212021

【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：2021的相反數(shù)是-2021.

故選：B.

2.下列圖形中，既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形的是（

A.

【分析】結(jié)合選項根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可.

【解答】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；

。、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，符合題意.

故選：D.

3.據(jù)統(tǒng)計，2020年上半年，全國鐵路累計運送貨物達16900000003數(shù)據(jù)1690000000

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.169X107B.1.69X108C.1.69X109D.0.169X1010

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中l(wèi)W|a|V10,〃為整數(shù).確定〃

的值時，要看把原數(shù)變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負整數(shù).

【解答】解：1690000000=1.69X10）

故選：C.

4.一副三角板如圖擺放（直角頂點C重合），邊AB與CE交于點尸，DE//BC,貝Ij/BFC

等于（）

C.75°D.60°

【分析】由題意知圖中是一個等腰直角三角形和一個含30°角的直角三角形，故/E=

45°,ZB=30°,由平行線的性質(zhì)可知/BCF=NE=45°,由三角形內(nèi)角和定理可求

出N8尸C的度數(shù).

【解答】解：由題意知/E=45°,/B=30°,

"JDE//CB,

：.ZBCF=ZE=45°,

在△CFB中，

ZBFC=1800-ZB-ZBCF=180°-30°-45°=105°,

故選：A.

5.下列運算正確的是()

A.o'+(?=(^B.(a2)3=/

C.a^a=a-D.(ab2)3=a3b6

【分析】直接利用合并同類項法則以及同底數(shù)募的乘除運算法則、積的乘方運算法則分

別分析得出答案.

【解答】解：A、/++,無法計算，故此選項錯誤；

B、(?)3=小，故此選項錯誤；

C、“6+/=/,故此選項錯誤；

D、(而2)3="3匕6,正確；

故選：D.

6.一個圓錐的主視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算這個圓錐的側(cè)面積是()

A.20nB.15nC.12irD.9n

【分析】根據(jù)勾股定理得出底面半徑，易求周長以及母線長，從而求出側(cè)面積.

【解答】解：由勾股定理可得：底面圓的半徑=62-42=3,則底面周長=6宜，底面半

徑=3,

由圖得，母線長=5,

1

側(cè)面面積=2X6nX5=15ir.

故選：13.

7.如圖，四邊形4BCQ內(nèi)接于O。，連接80.若AC=BC,ZBDC=50°,則NAOC的度

數(shù)是（）

B.130°C.135°D.140°

【分析】連接。4,OB,OC,根據(jù)圓周角定理得出N80C=100°,再根據(jù)AC=BC得到

ZAOC,從而得到乙48C,最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)果.

【解答】解：連接04,OB,0C,

VZBDC=50°,

/.ZBOC=2ZB￡>C=100°,

VAC=BC,

：.ZBOC=ZAOC=100°,

ZABC=NAOC=50°,

ZADC=180°-ZABC=130°.

D

故選：B.

k

8.一次函數(shù)度=履+必+1與反比例函數(shù)y=同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

［分析】分別根據(jù)反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象的特點對各選項進行逐一分析即

可.【解答】解：：一次函數(shù)丫="+后+1中，?+1>0,

...直線與y軸的交點在正半軸，故A、B不合題意，C、。符合題意，

C、由一次函數(shù)的圖象過一、二、四象限可知后<0,由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限

可知女>0,兩結(jié)論相矛盾，故選項C錯誤；

D,由一次函數(shù)的圖象過一、二、三象限可知后>0,由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限

可知々>0,故選項。正確；

故選：D,

9.函數(shù)'=/+加+(?與了=/的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：

?Z?2-4c>0；②〃+c+l=0；③3〃+c+6=0；④當(dāng)l<rV3時，x2+(b-1)x+c<0；⑤(1+c)

2Vb2

【分析】①由函數(shù)y=/+fex+c與x軸無交點，可得.-4cV0；

②當(dāng)x=l時，y=l+/?+c=l：

③當(dāng)x=3時，y=9+3b+c=3；

④當(dāng)l〈x<3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得J+fev+cVx,繼而可求得答案;

⑤根據(jù)對稱軸方程得到b的值；由拋物線與y軸的交點坐標(biāo)得到c的值，代入數(shù)值進比

較即可.

【解答】解：①???函數(shù)產(chǎn)/+公+C?與X軸無交點，

???//-4"<0；

故①錯誤；

②當(dāng)x=l時,y=l+/?+c=l,

故②錯誤；

③:當(dāng)x=3時，y=9+3b+c=3,

.*?3加■c+6=0；

故③正確；

④??,當(dāng)1VXV3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，

2

.'.X+hx+c<x,

-*.x+(/?-1)x+cVO.

故④正確.

⑤如圖所示，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是(0,3),則c=3.

_b0+3

對稱軸工=-2=2,則/?=-3,

所以(1+c)2=(1+3)2=16,/=(-3)2=9,

則(1+c)2>0,

故⑤錯誤.

綜上所述，正確的結(jié)論有2個.

故選：B.

10.如圖，正方形A8CO邊長為2,BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，點P,。分別

是平分線BM、ON上的點，且滿足/PAQ=45°,連接PQ、PC、CQ.則下列結(jié)論：

①BP?￡>Q=3.6,

②NQAD=NAPB,

③NPCQ=135°

④其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①根據(jù)8M、￡W分別是正方形ABC。的兩個外角平分線，即可得結(jié)論，進而即

可判斷；

②結(jié)合以上結(jié)論證明△ABPs△QD4,對應(yīng)邊成比例即可判斷；

3U&

③△ABPSAQZM,對應(yīng)邊成比例，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得而=而，由NP3C=

NCOQ=45°,可得△PBCsaC。。，進而可得結(jié)論；

④將△ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG,可使A8與AO重合，證明

△EAF絲△EAE(SAS)可得aGBP是直角三角形，最后利用勾股定理可得結(jié)論.

【解答】解：￡W分別是正方形ABC。的兩個外角平分線，

AZADQ=ZABP=\35°,

；./B4P+/4PB=45°,

'：ZPAQ=45°,

,：ZQAD+ZHAP=45Q,

：.ZQAD^ZAPB,故②正確；

△ABPS/XQOA,

AbBP

/.DQ=AD,

:正方形ABC。邊長為2,

：.BP-DQ=AD-AB=4,故①錯誤；

6bP

ADl---

Q=MD

c

Dbp

D---

Q=Bc

CDDQ

即薩=記

???/PBC=/CDQ=45°,

:?叢PBCsXCDQ,

：.ZBCP=ZDQC,

：.NPCQ=360°-90°-ZDQC-ZDCQ,

,.?N￡>QC+NDCQ=180°-NCOQ=180°-45°,

???NPCQ=135。，故③正確;

如圖，將△AQ。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得△A8G,連接GP,A3與GP相交于點從

JAADg^AABG,

：.ZGAB=ZQADfAG=AQ,BG=DQ,ZAGB=ZAQD,

：.ZGAP=ZGAB+ZBAP=QAD+ZBAP=ZBAD-NPAQ=45°,

：.ZGAP=ZPAQ=45°,

9

：AP=APf

???△AGPdAQP(SAS),

:?GP=QP,

u：ZPBC=45°,Z/7BC=90°,

：.ZHBP=45°,

：?NGBP=NGBH+NHBP=NAGB+NGAB+45°=ZAQD+ZQAD+450,

???NAQD+/QAO=1800-NAOQ=180°-135°=45°,

：.ZGBP=90°,

???△G3尸是直角三角形，

：.BP1+BG1=GPZ,

:?B落Dd=P(f,故④正確.

屬于其中正確的有②③④，共3個.

故選：C.

填空題(共8小題)

11.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x噂-4.

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于X的不等式，求出X的取值范圍即

可.【解答】解：?.?式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

.,.x+420,解得x2-4.

故答案為：X2_4.

12.分解因式：a~-2a=a(〃-2).

【分析】觀察原式，找到公因式a,提出即可得出答案.

【解答】解：J-2a=a(a-2).

故答案為：a(a-2).

13.一個不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的球共10個，從中隨機摸出一個球，若摸

到紅色球的概率為石，則袋子中紅色球的個數(shù)是n

【分析】首先設(shè)袋子中紅球有X個，利用概率公式求即可俎黃翠，進而解答即

x__3

可.【解答】解：設(shè)袋子中紅球有x個，根據(jù)題意可得：To"5,

解得：x—6,

故答案為：6.

14.將直線y=3x先向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到的直線解析式是y=3x

-11.

【分析】根據(jù)圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可解決問題.

【解答】解：?.?直線y=3x先向右平移3個單位，

；.y=3(x-3),

再向下平移2個單位得到y(tǒng)=3(x-3)-2,即y=3x-ll.

故答案為y=3x-11.

15.關(guān)于x的一元二次方程(a+1)/+法+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8a-2.+6

的值是-2.

【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到a+IWO且△=.-4X(a+1)

=0,貝1」群-44=4,再將代數(shù)式8a-2洪+6變形后把層-4a=4代入計算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得。+1￥0且△=//-4X(a+1)=0,即層-4a-4=0,

2

J//-4Q=4,

所以原式=-2(/?2-4a)+6=-2X4+6=-2,

故答案為-2.

16.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,BE,4尸分別是NABC,NCA8平分線，BE,AF

交于點。，。例A8=10,AC=8,貝ij0例=2

【分析】過。作OG_LAC于G,OHLBC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公

式即可得到結(jié)論.

【解答】解：過。作OGJ_AC于G,OHLBC于H,連接OC,

尸平分NCAB,BE平分NA8C,

OG=OH=OM,

VZC=90°,AB=10,AC=8,

...BC=Y1()2-82=6

XX11

；.SMBC=2AC?3C=2XAB'OM+2AC*OG+2BC'OH,

A-^-X1QX0M25X6X0H

...2X8X6=2+2X8XOG+2

：.OM=2,

故答案為：2.

12k12

17.如圖，已知雙曲線y=X(x<0)和y=X(x>0),直線OA與雙曲線y=X交于點A,

■LZK

將直線04向下平移與雙曲線y=x交于點8,與y軸交于點P,與雙曲線y=x交

【分析】如圖連接。B,0C,作BE_L0P于E,CF_L0P于F.根據(jù)。A〃BC,得至lj5△

OBC=SAABC=6,根據(jù)已知條件得到SAOPB=4,S^OPC=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可

得到結(jié)論.

【解答】解：如圖連接。B,0C,作BEL0P于E,CFLy軸于E

'：OA//BC,

SAOBC=SAABC=6,

?：PB：PC=2：1,

/.SAOPB=4,SAOPC=2,

-J-x

?:SAOBE=212=6,

SAPBE=2,

VABEP^ACFP,

1__1

：?SACFP=2X4=2,

旦

S^OCF=2,

:?k=-3.

故答案為：-3.

18.如圖，在平行四邊形A6CD中，AB=2,ZABC=45°,點E為射線A。上一動點，連

76r2

接BE,將BE繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF,連接A尸，則A尸的最小值是-2

【分析】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK,連接EK,在EK上取一點T,使得47=

TK.證明aAB尸名△KBE(SAS),推出AF=EK,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KE1AD時,

KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解決問題.

【解答】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK,連接EK,在EK上取一點T,使得

AT=TK.

,;BE=BF,BK=BA,NEBF=NABK=60°,

NABF=NKBE,

:.△ABgeKBE(SAS),

：.AF=EK,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KELAD時，，KE的值最小,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

VZABC=45°,

：.ZBAD=}S00-ZABC=135",

'：ZBAK=6Q°,

：.ZEAK=15°,

：NAEK=90°,

.'.NAKE=15°,

,:TA=TK,

：.ZTAK=ZAKT=\50,

AZATE=ZTAK+ZAKT=30°,

設(shè)則AT=TK=2a,ET=<&,

在RtAAEK中,\9AKZ=AE1+EKZ,

**?（2a+V^z）2=4,

76-72

，〃=2,

N6Z2

:.EK=2a+Ma=2,

V6W2

；.AF的最小值為2.

故答案為

三.解答題（1T共10小題）

19.計算：（-2021）°-2cos45°-亞.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)累

的性質(zhì)分別化簡得出答案.

V2

【解答】解：原式=1-2X2-4+V2-1

=1--4+-1

=-4.

2

20.先化簡，再求值：（」---?—）+至3其中aW^+2.

22

ara-4a-4

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將。的值代入計算即可.

2

［解答］解：（-1----2）4.a22a

22

ara-4a-4

—za+22）a2

a2-4a2-4a（a-2）

2/

—aa-4

2

a-4a（a-2）

1

72

當(dāng)af歷+2時，原式=2.

21.為弘揚中華傳統(tǒng)文化、某校開展“戲劇進課堂”的活動.該校隨機抽取部分學(xué)生，四個類

別：A表示“很喜歡”，B表示“喜歡”，C表示“一般”，。表示“不喜歡”，調(diào)查他們

對戲劇的喜愛情況，將結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，

各類學(xué)生人數(shù)條形統(tǒng)計圖各類學(xué)生人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)圖中提供的信息.解決下列問題：

(1)此次共調(diào)查了60名學(xué)生;

(2)扇形統(tǒng)計圖中.8類所對應(yīng)的扇形圓心角的大小為150度;

(3)請通過計算補全條形統(tǒng)計圖；

(4)該校共有1560名學(xué)生.估計該校表示“很喜歡”的A類的學(xué)生有多少人？

【分析】(1)從兩個統(tǒng)計圖可知，“A、B、頻數(shù)之和為10+25+10=45人，占調(diào)查人

數(shù)的(1-25%),可求出調(diào)查人數(shù)；

(2)用360°乘以“B”所占的百分比即可；

(3)求出“C”的頻數(shù)即可補全條形統(tǒng)計圖；

(4)求出“A類”所占的百分比，即可求出總體1560人中最喜歡“A類”的人數(shù).

【解答】解：(1)此次共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：(10+25+10)4-(1-25%)=60(人).

故答案為：60.

25

(2)B類所對應(yīng)的扇形圓心角的大小為：360°X60=150°.

故答案為：150；

(3)C類的人數(shù)有：60X25%=15(人)，補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

各類學(xué)生人數(shù)條形統(tǒng)計圖

人數(shù)

答：該校1560名學(xué)生中“很喜歡”的A類的學(xué)生有260人.

22.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=-X的圖象相交于點A(-1,加)、

B(〃，-1)兩點.

(1)求一次函數(shù)表達式；

【分析】(1)先利用反比例函數(shù)解析式確定A點和B點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求

一次函數(shù)解析式；

(2)先求OO的長，根據(jù)面積和可得結(jié)論.

【解答】解：(1)把A(-I.m),B(n,-1)代入y=-x,得m=5,n=

5,.M(-1,5),8(5,-1),

把A(-1,5),B(5,-1)代入得

I-k+b=bIk=-l

l5k+b=-l,解得1b=4,

，一次函數(shù)解析式為y=-x+4；

(2)x=0時,y=4,

???。。=4,

——x4X5

△AOB的面積=SZ\AOD+SABOO=2X4X1+2=12.

23.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為BC中點，AE//BD,且AE=BD.

(1)求證：四邊形AEB。是矩形;

(2)連接CE交于點凡若/ABE=30°,AE=2,求EF的長.

【分析】(1)根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判斷.

EFAE2

(2)證明△AEpsasc凡推出CF=BC=2,由此即可解決問題.

【解答】(1)證明：；AE〃B￡>,AE=BD,

四邊形AEBD是平行四邊形，

'：AB=AC,。為BC的中點，

：.ADA.BC,

：.ZADB=90°,

四邊形AEBO是矩形.

(2)解：..?四邊形AE8D是矩形,

AZAEB=90a,

VZABE=30°,A￡=2,

：.BE=2-J3,BC=4,

:.EC=2,

'JAE//BC,

/.XAEFSMBCF,

：.EF=EC=

24.某建筑工地的平衡力矩塔吊如圖所示，在配重點E處測得塔帽A的仰角為30°,在點

E的正下方23米處的點D處測得塔帽A的仰角為53°,請你依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)計算塔帽與

地面的距離AC的高度.（計算結(jié)果蹲確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：巡弋1.732,

4

sin53°-0.80,cos530-0.60,tan530=3）

【分析】連接。E，先證四邊形BC0E是矩形，得BE=CD,BC=OE=23米，再由含30°

角的直角三角形的找得BE=MAB,然后求出AC=3CD,設(shè)A8=x米，貝ijCD=BE

=米，AC—3x米，由BC—AC-AB=23得出方程，解得：》七17.6,即可求

解.【解答］解：連接。E,如圖所示：

由題意得：DELCD,BE±AC,DC1AC,QE=23米，

:.NABE=NCBE=/C=NCDE=90°,

四邊形BCQE是矩形，

:.BE=CD,BC=OE=23米，

；NA￡B=30°,

:.BE=43AB,

ACj4

在RtZXAC。中，tan/A￡>C=CD=tan53°=3,

4

:.AC^3CD,

?3

設(shè)AB=x米，則C￡）=BE=米，AC=3x米,

"：BC=AC-AB=23,

4V3

，3x-x=23,

解得：x^ll.6,

：.AC=AB+BC^17.6+23?=40.6（米），

答：塔帽與地面的距離AC的高度約為40.6米.

25.超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元(市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利

潤不能超過60元)，每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天

銷售量會減少1件.設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.

(1)請寫出y與x之間的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)尤為多少時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？

(3)設(shè)超市每天銷售這種玩具可獲利w元，當(dāng)x為多少時w最大，最大值是多少？

【分析】(1)根據(jù)“每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天

銷售量會減少1件”列函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)根據(jù)題意“每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷

售量會減少1件，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元”即可得到結(jié)論；

1

(3)根據(jù)題意得到w=-2(x-30)2+2450,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x<30時，

w隨x的增大而增大，于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：(1)根據(jù)題意得，y=-2X+50(0<XW20)；

(2)根據(jù)題意得，(40+x)(-x+50)=2250,

解得：Xi=50,x2=\0,

???每件利潤不能超過60元,

，x=10,

答：當(dāng)x為10時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元；

,111

(3)根據(jù)題意得，w=(40+x)(-5x+50)=-5/+30彳+2000=-萬(x-30)

工

2+2450,：。=-萬<0,

.,.當(dāng)x<30時，w隨x的增大而增大，

：40+xW60,x<20,

.,.當(dāng)x=20時，卬最大=2400,

答：當(dāng)x為20時w最大，最大值是2400元.

26.如圖，以△ABC的BC邊上一點。為圓心的圓，經(jīng)過A、8兩點，且與8c邊交于點E,

。為8E的下半圓弧的中點，連接40交8C于凡若4C=/C.

(1)求證：AC是。的切線：

⑵者"=8“田=四，求0的半徑；

D

【分析】(1)連接。A、OD,如圖，利用垂徑定理的推論得到OO_L8E,再利用CA=CF

得到/C4F=NCE4,然后利用角度的代換可證明/OA￡>+/C4F=90°,則OALAC,

從而根據(jù)O切線的判定定理得到結(jié)論：

(2)設(shè)。的半徑為r,則OF=8-r,在RtZ\ODF中利用勾股定理得到(8-r)2+/=

(V40)2,然后解方程即可；

V4V4

(3)先證明△B。。為等腰直角三角形得到。B=-T,則OA=T,再利用圓周角定理得

到乙4。8=2乙4￡>8=120°,則/AOE=60°,接著在R3OAC中計算出AC,然后

用一個直角三角形的面積減去一個扇形的面積去計算陰影部分的面積.

【解答】(1)證明：連接。4、OD,如圖，

為BE的下半圓弧的中點，

：.ODA.BE,

：.ZODF+ZOFD=90Q,

u

：CA=CFf

：.ZCAF=ZCFA,

而NC必=/om

???NOOF+NCA尸=90°,

，：OA=OD,

：.ZODA=ZOADf

???NOAO+NCA/=90°,即NOAC=90°,

：.OA-LAC9

JAC是。的切線；

(2口OrOF8r

)解：設(shè)的半徑為，則=-,

…o8r+r2n6r22

中，(-)22=(,解得=，=(舍去)，

即0。的半徑為6：

(3)解：VZBOD=90°,OB=OD,

...△80。為等腰直角三角形，

V272

：.OB=2BD=2,

；.OA=,

VZAOB=2ZADB^120°,

/.ZAO￡=60°,

V6

在Rt/XOAC中，AC=^3OA=2,

1V227660?兀?(春產(chǎn)W3-兒

.?.陰影部分的面積-—行—=―12—.

27.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，四邊形ABCO是矩形，點4(0,2),C(273,0),

點。是對角線4C上一點(不與4、C重合)，連接BD,作。E_L8O,交x軸于點E,以

線段OE、08為鄰邊作矩形8OEF.

(1)是否存在這樣的點〃，使得△￡＞口?是等腰三角形？若存在，請求出A。的長；若不

存在，請說明理由；

DE_V3

(2)求證：電蓬"；

(3)設(shè)AO=x,矩形BZ)EF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值

時，y有最小值？

【分析】(1)由銳角三角函數(shù)可求NACO=30°,NACB=60°,分兩種情況討論，由

等腰三角形的性質(zhì)可求解；

(2)通過證明△8MZ)s△￡)"￡：,可得結(jié)論；

(3)由勾股定理可求BQ?的值，由面積公式可求解析式，即可求解.

【解答】解：(1)存在；理由如下：

?.,點A(0,2),C(273,0),

：.OA=2,OC=26，

A0=2=V3

:tan/ACO=0C2y3,

AZACO=30°,ZACB=60°,

分兩種情況：

①當(dāng)E在線段CO上時，△￡)￡(7是等腰三角形，觀察圖像可知，只有ED=EC,如圖1

：.ZDCE=ZEDC=30°,

:.NDBC=NBCD=60°,

/\DBC是等邊二角形,

：.DC=BC=2,

在RtZ\AOC中，NACO=30°,04=2,

：.AC=2AO=4f

：.AD=AC-CD=4-2=2,

???當(dāng)AQ=2時，△DEC是等腰三角形；

②當(dāng)E在。。的延長線上時，△OCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=

ZCDE=]5°,如圖2所示：

:?/ABD=/ADB=75°,

：.AB=AD=243,

綜上所述，滿足條件的A。的值為2或2b;

(2)證明：過點。作MN_LA8交AB于M,交0C于M如圖3所示:

圖3

設(shè)DN=a,

VZAC0=30°,

BM=CN=jr=V3a，

tan30

〈NBDE=90°,

：?/BDM+NNDE=90°,ZBDM+ZDBM=90°,

???/DBM=/EDN,

?；/BMD=/DNE=90°,

：./\BMD^ADNE,

DE=DN=aJ3

.-.BD"BM=V3a=3.

(3)作于H,如圖4所示:

_11AH=7AD2-DH2=^-X

：.DH=2AO=2X,

:.BH=2-X,

在RtABDH中,8￡>2=BH+DH=(5x)+(2?-^~x)=x-6x+12,

DE二a

由(2)得DE=R,

.DE當(dāng)BD

??Of

.y=BD?DE=BD?與BD岑BD2=^(x2-6x+12)

矩形BOEF的面積為333,

.y=^-(x-3)2+V3

V3

3>0,

；.x=3時，y有最小值為近，

即當(dāng)點。運動到距A點的距離為3時，y有最小值.

28.定義：與坐標(biāo)軸不重合的直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(A、B不重合)，若拋物線L過點

A,點B,則稱此拋物線為直線的“友誼線”

(1)若拋物線〃為直線y=-x+3的“友誼線”，且過點(-1,0),求此拋物線的解析

式；

1X.

(2)己知直線尸=區(qū)+6的“友誼線”為)，=-2?+忘+1,且直線與雙曲線y=7"交于

M,N,求線段MN的長;

(3)若有直線>=皿+〃，且加+〃=1,對任意的實數(shù)小一定存在其“友誼線”為拋物

線乙：y=ax'+bx+c,求b的取值范圍.

【分析】(1)求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個交點，再將所求兩個交點(3,0),(0,

3)與已知點(-1,0)代入拋物線解析求解即可；

114

(2)求出y=-2x2+2x+l與坐標(biāo)軸的交點，再由直線與雙曲線y=X交于M,N,可知直

線經(jīng)過第一、三象限，從而確定直線經(jīng)過(0,1)、(-1,0),求出直線的解析式y(tǒng)=

y=x+l

x+1,再聯(lián)立方程12求出M與N點的坐標(biāo)即可求MN的長；

y=-

X

(3)求出直線產(chǎn)