人教版高中數(shù)學必修四251平面幾何中的向量方法

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學4第二章平面向量第5節(jié)平面向量應用舉例第1

小節(jié)，是在學習了平面向量定義運算數(shù)量積的基礎上，展示平面向量

在平面幾何和物理中的應用.向量作為一種重要的解題方法，滲透于

高中數(shù)學的很多章節(jié)，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，特別

是在解決幾何問題中的工具作用更為突出.這種數(shù)學方法，把幾何從

思辨數(shù)學化成算法數(shù)學，降低了思考問題的難度，推進了幾何研究的

發(fā)展.本節(jié)內(nèi)容是中學數(shù)學知識網(wǎng)絡的一個交匯點，因此在中學數(shù)學

教材中的地位也越來越重要.本節(jié)也為學生以后學習向量在三角函數(shù)、

立體幾何、復數(shù)等章節(jié)內(nèi)容中的應用奠定了基礎.

本節(jié)的目的是讓學生加深對向量的認識，更好地體會向量這個工

具的優(yōu)越性.對于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾

何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運算”來代替”數(shù)和數(shù)

的運算”.這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結為向量，對這些向量

借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結果翻譯成關于點、

線、面的相應結果.代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為：

則向量方法的流程圖可以簡單地表述為：

這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節(jié)的

重點.

人教版高中數(shù)學必修四251平面幾何中的向量方法

學情分析

“授人以魚，不如授人以漁''，最有價值的知識是關于方法的知識。學

生作為教學活動的主題，在學習過程中的參與狀態(tài)和參與度是影響教

學效果最重要的因素。在教法學法方面,采用啟發(fā)式、探討式的教學

方法，引導學生自主探究，合作交流。教師創(chuàng)造疑問，學生想辦法解決疑

問,通過教師的啟發(fā)點撥，學生以自己的努力找到了解決問題的方法。

2.5平面向量應用舉例

2.5.1平面幾何中的向量方法

教學設計

教學目標

1.通過平行四邊形這個幾何模型，歸納總結出用向量方法解決平面幾何問題的

“三步曲”.

2.明了平面幾何圖形中的有關性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由

向量的線性運算及數(shù)量積表示.

3.通過本節(jié)學習，讓學生深刻理解向量在處理有關平面幾何問題中的優(yōu)越性，活

躍學生的思維,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識,激發(fā)學生的學習積極性,并體會向量在幾何

和現(xiàn)實生活中的意義.教學中要求盡量引導學生使用信息技術這個現(xiàn)代化手段.

重點難點

教學重點：用向量方法解決實際問題的基本方法；向量法解決幾何問題的“三步

曲”.

教學難點：如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景，當向量和平面坐標系

結合后，向量的運算就完全可以轉化為代數(shù)運算.這就為我們解決物理問題和幾

何研究帶來了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法.

思考：1、前面的向量學習了哪些知識.

定義、運算（加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、坐標）、共線向量定理、平面向量基

本定理等。2、用這些知識解決了哪些問題

平行、垂直、夾角、長度

推進新課

探究一（長度問題）

長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關系？

對角線長度的平方=兩鄰邊的平方和.

平行四邊形有類似的數(shù)量關系嗎？

例1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖，

AC=AB+AD,DB=AB-AD,

你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

分析：不妨設設A3=a,AO=B,

(選擇這組基底，其它線段對應向量用它們表示.)

則

AC=a+b,DB—a—b,

涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積，為此，我們計算口4)麗

解：

=4/46=0+歷(￡+楊

=a*a+a*b+b*a+b*b(1)

=同+24+印

同理

回『=@-2》+問2.(2)

觀察(1),(2)兩式的特點，我們發(fā)現(xiàn)，(1)+(2)得

|AC|2+1麗卜2(p|2+呼)=2(|AB|2+J而卜

即平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

有沒有其他的方法證明上述結論？

活動:①教師引導學生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關

系.利用類比的思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關系.指導學生猜想出結論:

平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.

②教師引導學生探究證明方法，并點撥學生對各種方法分析比較，平行四邊形是

學生熟悉的重要的幾何圖形，在平面幾何的學習中，學生得到了它的許多性質(zhì)，有

些性質(zhì)的得出比較麻煩，有些性質(zhì)的得出比較簡單.讓學生體會研究幾何可以采

取不同的方法，這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.

以AB所在直線為x軸,A為坐標原點建立直角坐標系.

設B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).

|AC12=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,

IBD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.

A|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB12+1AD|2).

為解決重點問題所作的鋪墊已經(jīng)完成，向前發(fā)展可以說水到渠成.教師充分

讓學生對以上各種方法進行分析比較，討論認清向量方法的優(yōu)越性，適時引導學

生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.由于平面幾何經(jīng)常涉及距離

(線段長度)、夾角問題,而平面向量的運算,特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及

向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時,

先用向量表示相應的點、線段、夾角等幾何元素.然后通過向量的運算，特別是數(shù)

量積來研究點、線段等元素之間的關系.最后再把運算結果“翻譯”成幾何關系,

得到幾何問題的結論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何

問題轉化為向量問題；

(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題；

⑶把運算結果“翻譯”成幾何關系.

曠c

4

2.5-

2

例4圖2.5-2oABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC

交1R,T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？

相動：為了培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力，讓學生能動態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中

AR、?氏PC之間的相等關系,教學中可以充分利用多媒體，作出上述圖形,測量AR、

RT、TC的長度，讓學生發(fā)現(xiàn)AR=RT=TC,拖動平行四邊形的頂點，動態(tài)觀察發(fā)

現(xiàn),AR=RT=TC這個規(guī)律不變，因此猜想AR=RT=TC.事實上，由于R、T是對角線AC

上的兩點,要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關

系即可.又因為AR、RT、TC、AC共線，所以只需判斷而、標區(qū)與北之間的關

系即可.探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得

到結論.第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素,將

平面幾何問題轉化為向量問題;第二步，通過向量運算,研究幾何元素之間的關系;

第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系:AR=RT=TC.

解:如圖

設AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,則AC=a+b.

由于AR與AC共線,所以我們設r=n(a+b),neR.

—*..I

又因為旗==a--b,

2

礪與礪共線，

―?―?1

所以我們設ER=mEB=m(a-—b).

2

因為族=族+而，

所以r=—b+m(a~—b).

22

因此n(a+b)=—b+m(a-b),

2

即(n-m)a+(n+生-)b=:0.

2

由于向量a、b不共線，要使上式為0,必須

n-m=O,

<m-\八

nH--------=0.

I2

解得n=m=-.

3

—,,I，

所以AR—-AC,

3

?1.

同理TC=±AC.

3

—?1——?

于是RT=—AC.

3

所以AR=RT=TC.

點評:教材中本例重在說明是如何利用向量的辦法找出這個相等關系的，因此在

書寫時可簡化一些程序.指導學生在今后的訓練中，不必列出三個步驟.

探究二（角度問題）

例3.若正方形OABC的邊長為1,點D、E分別為AB、BC的中點，試求

cosZDOE.

卡埼

分析：建立坐標系，利用向量的坐標運算求夾角.

解：以0為坐標原點，以OA、0C所在的直線為坐標軸建立如圖所示的直角坐標

系，

cosZPOE="

網(wǎng)網(wǎng)

歷=(1,2),礪=(」)

22lx—+—xl

=22二4A.

讓x近5

22

建立適當?shù)淖鴺讼?，利用向量運算的坐標形式，可使解題思路明確，過程簡潔.

課堂練習

B

圖9

已知AC為。0的一條直徑，ZABC是圓周角.

求證：NABC=90°.

證明：

設AO=a,OB=b,

則AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.

因為AB,BC=(a+b)?(a-b)=|a|2-1b12=0,

所以詬，記.

由此，得NABC=90°.

點評:充分利用圓的特性，設出向量.

課堂小結

1.由學生歸納總結本節(jié)學習的數(shù)學知識有哪些:平行四邊形向量加、減法的幾何

模型，用向量方法解決平面幾何問題的步驟,即“三步曲”.特別是這“三步曲”，

要提醒學生理解領悟它的實質(zhì)，達到熟練掌握的程度.

2.本節(jié)都學習了哪些數(shù)學方法：向量法，向量法與幾何法、解析法的比較，將平面

幾何問題轉化為向量問題的化歸的思想方法,深切體會向量的工具性這一特點.

3、用向量方法解決平面幾何問題(長度、夾角、垂直等)

①選取恰當?shù)幕?用來表示待研究的向量

②建立平面直角坐標系進行坐標運算。

作業(yè)

課本習題2.5A組1、2,

人教版高中數(shù)學必修四251平面幾何中的向量方法

學情分析

“授人以魚,不如授人以漁“，最有價值的知識是關于方法的知識。學

生作為教學活動的主題，在學習過程中的參與狀態(tài)和參與度是影響教

學效果最重要的因素。在教法學法方面,采用啟發(fā)式、探討式的教學

方法，引導學生自主探究，合作交流。教師創(chuàng)造疑問，學生想辦法解決疑

問,通過教師的啟發(fā)點撥，學生以自己的努力找到了解決問題的方法。

人教版高中數(shù)學必修四251平面幾何中的向量方法

評測練習

雙基達標（限時20分鐘）

1.在△ABC中，若D、E分別是A3、AC的中點，則（）.

—?-?

A.BD=CE

—?—?

8.8。與。后共線

C.BE=BC

D.DE與BC共線

解析如圖，可知OE〃故DE與共線.

答案D

2.在四邊形ABCO中，AB=-CD,ACBD=0,則四邊形為（）.

A.平行四邊形B.矩形

C.等腰梯形D.菱形

解析'：AB=-CD,即AB=OC,

：.AB^DC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

又ACBD=0,

：.AC±BD,

即ACLBO,.?.□ABC。是菱形.

答案D

3若物體在共點力Fi=(lg2,1g2),正2=(lg5,1g2)的作用下產(chǎn)生位移s=(21g5,1),

則共點力對物體所做的功卬為().

A.1g2B.1g5C.1D.2

解析W=(Fi+F2)-s=(lg2+lg5,21g2)-(21g5,1)=(1,21g2).(21g5,l)=21g5+21g

2=2,故選D.

答案D

4.在平面直角坐標系中，正方形OABC的對角線。8cl____號，1)

的兩端點分別為。(0,0)，8(1,1)，則ABAC=_______.I________

O|Ax

解析由已知得A(I,O),c(o,i),

/MB=(0,l),AC=(-1,1),

-A-A

：.ABAC=1.

答案1

5.一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進60m,若牽繩與行進方向夾角為30。，纖

夫的拉力為50N.則纖夫?qū)Υ龅墓?

解析所做的功W=60X50Xcos30°=150(h/3J.

答案150MJ

—?-?

6.已知點A(l,0),直線/：y=2x—6,點R是直線/上的一點，若RA=2AP,求

點P的軌跡方程.

解設尸(x,y),R(x\,yi),則

—?—?

凡4=(1—xi,—yi),AP=(x—1,y)；

-A-A

由/M=2AP得(1-xi,—yi)=2(x—l,y),

xi=-2x+3

即，

VI=一

代入直線/的方程得y=2x.

所以，點尸的軌跡方程為y=2x.

綜合提高（限時25分鐘）

7.已知在△ABC中，AB=a,AC=b,且a仍<0,則△ABC的形狀為（）.

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等腰直角三角形

解析Vfl-/>=|a||Z,|cosZBAC<Q,/.cosZBAC<0,

：.90°<ZBAC<lS0°,故△ABC是鈍角三角形.

答案A

8.點。是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足。4.OB=OBOC=OCOA,則點

。是△48。的（）.

A.三個內(nèi)角的角平分線的交點

B.三條邊的垂直平分線的交點

C.三條中線的交點

D.三條高的交點

解析'：OAOB=OBOC,

(QA-OC?08=0.

:.O8C4=0.

/.OB_LAC同理OC±AB,

二0為垂心.

答案D

9.一個重20N的物體從傾斜角30。，斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端,

則重力做的功是.

解析由力的正交分解知識可知沿斜面下滑的分力大小

|F|=1x20N=10N,

W=|F|-|s|=10J.

或由斜面高為2m,W=|G|-/i=20x1J=10J.

答案10J

10.已知作用于原點的兩個力為=(3,4),g=(2,-5),現(xiàn)增加一個力F,使這

三個力晶，F(xiàn)i,b的合力為0,則尸=.

解析VFI+F2+F=0,：.F=-Fi-F2=(-3,-4)+(-2,5)=(-5,l).

答案(-5,1)

11.(2012?寧波高一檢測)已知RtZ\ABCZC=90°,設AC=m,BC=n,

⑴若。為斜邊4?的中點，求證：CD=1AB；

(2)若E為CD的中點，連接AE并延長交8C于凡求Af的長(用力、〃表示).

解以C為坐標原點，以邊CB、C4所在的直線分別為x軸、y軸建立坐標系,

如圖，A(0,m)，8(〃,0).

,,,nm\

為AB的中點，...。仁，yj,

CD=1/4+加2,A8=#/+“2,

—1―r1

CD=2AB'即CD=^AB.

(2)???E為CO的中點,

AF=(x,—m),

\"A.E、=共線,：.AF=XAE,

即x=?即《事，0).?'>=|yln2+9m2.

12.(創(chuàng)新拓展)如圖所示，用兩根分別長5啦m

和10m的繩子將100N的物體吊在水平屋頂AB上,

平衡后G點距屋頂?shù)木嚯x恰好為5m,求A處受力的大小.

解由已知條件可知AG與鉛直方向成45。角，與鉛直方向成60。角，設A處

所受的力為凡，B處所受的力為歷,，

?《|F?|cos45°=|n|cos30°,

,*l|Ffl|sin45°+|F/)|sin30。=100,

解得I凡|=15味一5M,故A處受力的大小為(15瓶

人教版高中數(shù)學必修四251平面幾何中的向量方法

效果分析

本節(jié)課學生學習用向量方法解決平面幾何問題的步驟，即“三步

曲”.特別是這“三步曲”，學生能理解領悟它的實質(zhì)，達到熟練掌握

并能分析解決相關問題。學生能利用向量的幾何法簡捷地解決了平面

幾何問題.將平面幾何問題轉化為向量問題的化歸的思想方法，深切

體會向量的工具性這一特點.

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