第四章流體動力學(xué)根本定理及其應(yīng)用4-1歐拉運(yùn)動微分方程和伯努利方程的前提條件是什么，其中每一項(xiàng)代表什么意義？答：〔1〕歐拉運(yùn)動微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用，其矢量表達(dá)式為：其物理意義為：從左至右，方程每一項(xiàng)分別表示單位質(zhì)量理想流體的局部慣性力、遷移慣性力、質(zhì)量力和壓力外表力?！?〕伯努利方程的應(yīng)用前提條件是：理想流體的定常運(yùn)動，質(zhì)量力有勢，正壓流體，沿流線積分。單位質(zhì)量理想流體的伯努利方程的表達(dá)式為：，從左至右方程每項(xiàng)分別表示單位質(zhì)量理想流體的動能、壓力能和位能，方程右端常數(shù)稱流線常數(shù)，因此方程表示沿流線流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒。4-2設(shè)進(jìn)入汽化器的空氣體積流量為，進(jìn)氣管最狹窄斷面直徑D=40mm，噴油嘴直徑d=10mm。試確定汽化器的真空度。又假設(shè)噴油嘴內(nèi)徑d=6mm，汽油液面距噴油嘴高度為50cm，試計(jì)算噴油量。汽油的重度。答：〔1〕求A點(diǎn)處空氣的速度：設(shè)進(jìn)氣管最狹窄處的空氣速度為，壓力為，那么根據(jù)流管的連續(xù)方程可以得到：，因此：。〔2〕求真空度選一條流線，流線上一點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處F，一點(diǎn)為A點(diǎn)；并且：在F點(diǎn)：，；在A點(diǎn)：，。將以上述條件代入到伯努利方程中，可以得到：因此真空度為：假設(shè)取空氣的密度為，那么計(jì)算得到：。〔3〕求噴油量：設(shè)噴油嘴處汽油的速度為，并設(shè)空氣的密度為，重度為，汽油的重度為。選一條流線，流線上一點(diǎn)為上述的A點(diǎn)，另一點(diǎn)為汽油液面上的B點(diǎn)；并且：在A點(diǎn)：，，；在B點(diǎn)：，，；代入到伯努利方程中，可以得到：；整理得到：；因此汽油噴出速度為：；其中空氣重度；，并注意到噴油嘴的直徑是6mm，而不是原來的10mm，那么計(jì)算得到：因此汽油流量為：。4-3如下圖，水流流入形彎管的體積流量Q=0.01m3/s，彎管截面由=50cm2減小到=10cm2，流速和均勻，假設(shè)截面上的壓力為一個工程大氣壓，求水流對彎管的作用力及作用點(diǎn)的位置。。答：〔1〕求截面和上的流速和：由連續(xù)方程可知：，；〔2〕求上的壓力：上的壓力1個工程大氣壓；由伯努利方程：得到：?！?〕求水流對彎管的作用力：由動量定理可以得到：。其中和分別為在和上，外界對水流的作用力；在此需要注意到，對于整個彎管，大氣壓力對其的作用力合力為0。因此：截面上作用力為：，截面上作用力為：。因此：〔4〕求作用力的作用點(diǎn)：設(shè)作用點(diǎn)距截面中心線的距離為，兩管中心線之間的距離為。由動量矩定理可以得到：；即：。4-4如下圖，彎管的直徑由d1=20cm減小到d2=15cm，偏轉(zhuǎn)角為60°，設(shè)粗端表壓力p1=7840N/m2，流過彎管流體的體積流量Q=0.08m3答：首先應(yīng)注意到，表壓力讀數(shù)指相對壓力。也就是說，截面處壓力和利用伯努利方程得到的截面的壓力的值，均為相對壓力。又由于大氣壓力對彎管的作用力合力為0，因此在和截面上，均應(yīng)以相對壓力值計(jì)算?！?〕利用連續(xù)方程求截面和上的流速和：，；〔2〕利用伯努利方程求截面的相對壓力：根據(jù)伯努利方程：可以得到：；〔3〕求管壁對流體的作用力和：①求方向作用力分量：由動量定理：其中為截面上外界對管內(nèi)流體的作用力；整理得到：②求方向作用力分量：由動量定理：，其中為截面上外界對管內(nèi)流體的作用力，整理得到：〔4〕求力的作用點(diǎn)：如下圖，設(shè)流體對彎管的作用力和與軸和軸的距離分別為和，由于和上所有外力和流體動量均通過坐標(biāo)原點(diǎn)，由動量矩定理可知，即合力作用點(diǎn)通過坐標(biāo)原點(diǎn)。4-5如下圖，平板垂直于水柱方向，設(shè)水柱流來的速度為v0=30m/s，水柱的體積流量Q=294m3/s，分流量Q1=118m3/s答：〔1〕由伯努利方程可知；〔2〕設(shè)流束寬度分別為，和，那么有，；又由連續(xù)方程可知：因此：；〔3〕應(yīng)用動量定理求平板對流體的作用力和偏轉(zhuǎn)角：①求偏轉(zhuǎn)角度：在方向，平板對流體的作用力，即：；整理得到：將代入，可以得到：，即：。②求方向作用力分量：由動量定理得到：整理得到：4-6圖示水箱1中的水經(jīng)光滑無阻力的圓孔口水平射出，沖到一平板上。平板封蓋著另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度為h1，水箱2中的水位高度為h2，兩孔口中心重合，而且直徑d1=d2/2。假設(shè)射流的形狀是對稱的，沖擊到平板后轉(zhuǎn)向平行于平板的方向，并向四周均勻流出。假定流動是無粘性不可壓定常的，平板和水質(zhì)量力不計(jì)。當(dāng)h1和水的密度時，求保持平板封蓋住水箱2的孔口是h2最大值。答：〔1〕求水箱1出口處速度：在水箱1的自由液面上選取A點(diǎn)，在出口截面上選取B點(diǎn)；A點(diǎn)：，，，其中為大氣壓力；B點(diǎn)：，，。由過A、B兩點(diǎn)的伯努利方程：得到：；因此：，；〔2〕求水流對封板的作用力：由動量定理，沿垂直于封板的方向：；〔3〕求水箱2的最大高度：在封板右側(cè)，水箱2形心處的靜壓力為，因此封板受到水箱2的靜水壓力：。當(dāng)封板左右兩側(cè)壓力相同時，即時：注意到，整理可得：。即水箱2液面最大高度為。4-7工程中常用文丘里〔Venturi〕管測量管路中水的流量。管路和收縮管段截面積分別為S1、S2，水的密度和U形測壓計(jì)中液體的密度分別為，且。假設(shè)不計(jì)水的粘性，試導(dǎo)出圖示傾斜管路中水的流量Q與測壓計(jì)中液體的高度差讀數(shù)h之間的關(guān)系式。答：設(shè)正常管路截面1-1和收縮段截面2-2的流速分別為和，那么由連續(xù)方程可知：；又設(shè)管路的流量為，那么：，；選取沿管路軸線的流線，由伯努利方程可得到：，整理得到：；〔1〕取形測壓計(jì)內(nèi)液體的左側(cè)A點(diǎn)處水平面為等壓面，那么有：，；由于，那么可得到：；整理可得：；〔2〕將〔2〕代入到〔1〕中，可得：；再經(jīng)整理得到：，。4-8圓管內(nèi)不可壓縮定常流動如下圖。入口處流速U均勻，在某截面處為拋物形速度分布：，其中為離管軸的徑向距離，為一未知常數(shù)。入口處和處管截面壓力均勻分布，分別為和，流體密度為，不計(jì)重力?！?〕試確定常數(shù)；〔2〕證明作用在至間，管壁上總的摩擦阻力。答：〔1〕入口處流量為：；由連續(xù)方程可知，處截面的流量也是。又由于通過截面半徑處環(huán)形微元面積上的流量為：對其積分可得到：；即：；因此得到：；那么速度分布為：。〔2〕入口處流體的動量為：；截面上，通過半徑為處的環(huán)形面積流體的動量為：；將上式積分得到：；由動量定理可知，動量的變化量等于外力的合力，因此：；其中為圓管對流體的摩擦阻力，整理得到：。4-9一馬蹄形旋渦如下圖，兩端向右延伸至無窮遠(yuǎn)處。試分別計(jì)算R、P、Q三點(diǎn)的誘導(dǎo)速度。答：由畢奧-沙伐爾定律可知，渦線對空間一點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為：；〔1〕求渦線對R點(diǎn)的誘導(dǎo)速度：誘導(dǎo)速度由3局部渦線產(chǎn)生，即渦線1、2和3：渦線1：方向垂直紙面向外：；其中，；；因此：。渦線2：方向垂