流體力學

流體力學研究流體（氣體與液體）的宏觀運動與平衡，它以流體宏觀模型作為基本假說。

顯然，流體的運動取決于每個粒子的運動，但若求解每個粒子的運動即不可能也無必要。對于宏觀問題，必須在微觀與宏觀之間建立一座橋梁。

流體宏觀模型認為流體是由無數(shù)流體元（或稱流體微團）連續(xù)地組成的（即連續(xù)介質(zhì)）。所謂流體元指的是這樣的小塊流體：它的大小與放置在流體中的實物比較是微不足道的，但比分子的平均自由程卻要大得多，它包含足夠多的分子，能施行統(tǒng)計平均求出宏觀參量，少數(shù)分子出入于流體元不會影響穩(wěn)定的平均值。9.1.1易流動性

流體在靜止時不能承受切向應力，不管多小的切向應力，都會引起其中各流體元彼此間的相對位移，而且取消力的作用后，流體元之間并不恢復其原有位置。正是流體的這一基本特性使它能同剛體和彈性體區(qū)別開來。剛體和彈性體也是連續(xù)介質(zhì)，但是剛體中質(zhì)點之間的相互距離不論其上作用的外力如何將保持不變；而在彈性體中，當作用力在數(shù)值上達到某一界限時，系統(tǒng)中各點間的相互距離可以改變，但消除了力的作用之后，各點相互關系又恢復原有狀態(tài)。相反地，流體能夠有任意大的變形。因此流體在靜止時只有法應力而沒有切應力。流體的這個宏觀性質(zhì)稱為易流動性。

9.1.2粘性

流體在靜止時雖不能承受切應力，但在運動時，對相鄰兩層流體間的相對運動即相對滑動速度是有抵抗的，這種抵抗力稱為粘性應力，流體所具有的這種抵抗兩層流體相對滑動的性質(zhì)稱為粘性，粘性大小依賴于流體的性質(zhì)，并顯著地隨溫度而變化。實驗表明，粘性應力的大小與粘性及相對速度成正比。

當流體的粘性較小，運動的相對速度也不大時，所產(chǎn)生的粘性應力比起其它類型的力（如慣性力）可忽略不計。此時，我們可以近似地把流體看成是無粘性的，這樣的流體稱為理想流體。十分明顯，理想流體對于切向變形沒有任何抗拒能力。這樣對于粘性而言，我們可以將流體分成理想流體和粘性流體兩大類。應該強調(diào)指出，真正的理想流體在客觀實際中是不存在的。它只是客觀流體在某種條件下的一種近似模型。9.1.2粘性

除了粘性外，流體還有熱傳導及擴散等性質(zhì)。

流體的宏觀性質(zhì)，擴散，粘性，熱傳導等是分子輸運性質(zhì)的統(tǒng)計平均。由于分子的不規(guī)則運動，在各層流體間將交換著質(zhì)量，動量和能量，使不同流體層內(nèi)的平均物理量均勻化，這種性質(zhì)稱為分子運動的輸運性質(zhì)。質(zhì)量輸運在宏觀上表現(xiàn)為擴散現(xiàn)象，動量輸運表現(xiàn)為粘性現(xiàn)象，能量輸運則表現(xiàn)為熱傳導現(xiàn)象。9.1.3壓縮性

流體質(zhì)點的體積或密度在受到一定壓力或溫度差的條件下可以改變，這個性質(zhì)稱為壓縮性。真實流體都是可以壓縮的。它的壓縮程度依賴子流體的性質(zhì)及外界的條件。液體在通常的壓力或溫度下，壓縮性很小。因此在一般情形下液體可以近似地看成是不可壓縮的?！?.2描寫流體運動的兩種方法9.2.1拉格朗日方法（隨體法）9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?.2.3兩種方法的相互轉(zhuǎn)換9.2.1拉格朗日方法（隨體法）

在拉格朗日方法中，注意的中心即著眼點是流體質(zhì)點，確定所有流體質(zhì)點的運動規(guī)律，即它們的位置隨時間變化的規(guī)律。十分明顯，如果知道了所有流體質(zhì)點的運動規(guī)律，那么整個流體運動的狀況也就清楚了。

現(xiàn)在我們將描寫運動的觀點和方法用數(shù)學式子表達出來，為此首先必須用某種數(shù)學方法區(qū)別不同的流體質(zhì)點。通常利用初始時刻流體質(zhì)點的坐標作為區(qū)分不同流體質(zhì)點的標志。設初始時刻t=t0時，流體質(zhì)點的坐標是a，b，c，它可以是曲線坐標，也可以是直角坐標，重要的是給流體質(zhì)點以標號而不在于采取什么具體的方式。9.2.1拉格朗日方法（隨體法）

我們約定采用a，b，c三個數(shù)的組合來區(qū)別流體質(zhì)點，不同的a，b，c代表不同的質(zhì)點，于是流體質(zhì)點的運動規(guī)律可表為下列矢量形式：其中r是流體質(zhì)點的矢徑。在直角坐標系中，有分量式：變數(shù)

t；a，b，c稱為拉格朗日變數(shù)。9.2.1拉格朗日方法（隨體法）

在上式中，如果固定a，b，c而令t改變，則得某一流體質(zhì)點的運動規(guī)律，該流體質(zhì)點的運動軌跡稱為跡線。如果固定時間t而令a，b，c改變，則上式表示某一時刻不同流體質(zhì)點的位置分布函數(shù)。應該指出，在拉格朗日觀點中，矢徑函數(shù)r的定義區(qū)域不是場，因為它不是空間坐標的函數(shù)，而是質(zhì)點標號的函數(shù)。

9.2.1拉格朗日方法（隨體法）

為了得到確定流體質(zhì)點的速度,只要將上式對時間t微分而把起始坐標a，b，c當作常數(shù)就可以了，即其分量式為：9.2.1拉格朗日方法（隨體法）同樣可以得到確定流體質(zhì)點的加速度：

其分量式為：9.2.1拉格朗日方法（隨體法）

在以上各式中，如給a，b，c以不同的值而令t不變，則得到在確定時刻t流體質(zhì)點的位置、速度和加速度分布；特別是，當t=t0而a，b，c可以改變，則得各流體質(zhì)點的起始位置、速度和加速度分布。9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

歐拉方法不直接考慮個別流體質(zhì)點如何運動，而是用場的觀點研究流體運動。它只集中注意力于那些發(fā)生在空間給定點的流動情況；對于流體質(zhì)點從什么地方和如何在給定時刻達到這一點，經(jīng)過這點以后又會運行到別的什么地方和怎樣運行到那些地方的，這一切問題從歐拉方法觀點看來并不是基本的。這樣，歐拉方法是把空間某一固定點(x,y,z)的流體質(zhì)點的速度當作時間的函數(shù)來研究的；顯然，這個速度也是坐標(x,y,z)的函數(shù)。因此，9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ┢浞至繛樽償?shù)t；x,y,z稱為歐拉變數(shù)。如果在上式中把t當作可變的，而把x,y,z當作常數(shù)，則對不同的t我們得到不同時刻經(jīng)過空間中確定點的不同流體質(zhì)點的速度；而如把t當作常數(shù)，x,y,z當作變數(shù)，則可得到對于確定時刻空間中流體質(zhì)點的速度分布。9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

由于上式確定的速度函數(shù)是定義在空間點上的，它們是空間點坐標x,y,z的函數(shù)，所以我們研究的是場，如速度場等。因此當我們采用歐拉觀點描述運動時，就可以利用場論的知識。若場內(nèi)函數(shù)不依賴矢徑r則稱之為均勻場，反之稱之為非均勻場；若場內(nèi)函數(shù)不依賴時間則稱為定常場，反之稱為非定常場。9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

描述場的幾何方法是引入所謂的場線，就像靜電場中引入電力線，磁場中引入磁力線一樣，在流速場中可以引入流線。流線是這樣規(guī)定的：

流線為流體內(nèi)的一條連續(xù)的有向曲線，流線上每一點的切線方向代表流體內(nèi)微粒經(jīng)過該點時的速度方向。圖(a)給出了幾種常見的流線。9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

一般情況下空間各點的流速隨時間t變化，因此流線也是隨時間變化的。由于流線分布與一定的瞬時相對應(參見圖(c))，所以在一般情況下，流線并不代表流體中微粒運動的軌跡。

只有在穩(wěn)定流動中，流線不隨時間變化，此時流線才表示流體中微粒實際經(jīng)過的軌跡。只有此時流線才與跡線重合。9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

另外，由于流線的切線表示流體內(nèi)微粒運動的方向，所以流線永遠不會相交，因為如果流線在空間某處相交就表示流體中的微粒經(jīng)過該點時同時具有兩個不同的速度，這當然是不可能的。

在流體內(nèi)部取一微小的封閉曲線，通過曲線上各點的流線所圍成的細管就稱為流管。如圖(b)所示。

9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

由于流線不會相交，因此流管內(nèi)、外的流體都不具有穿過流管的速度，也就是說流管內(nèi)部的流體不能流到流管外面，流管外的流體也不能流入流管內(nèi)。流線的方程：9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

當過渡到推演流體質(zhì)點的加速度時，我們要從兩個不同觀點來考慮這個問題。如果我們的興趣是在這樣的問題上：即當不同流體質(zhì)點經(jīng)過空間中給定點時，該點的速度怎樣隨時間變化？那么為了回答這個問題，只要把上式對時間微分并設x,y,z為常數(shù)就可以了。這時得到的偏微分：稱為局部微商（或當?shù)匚⑸蹋?.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

另一方面，可以提出關于計算在給定時刻經(jīng)過空間中x,y,z點的流體質(zhì)點的加速度問題。在此情形，坐標x,y,z就應視為可變的，因為在無限小的時間間隔dt中，所考慮的流體質(zhì)點正在從x,y,z點進入到新位置。由于運動點本身的坐標x,y,z是時間t的函數(shù)，因此上式對時間微分便得到流體質(zhì)點加速度的下列表示式：但是故有9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ┪⑸蘢u/dt是沿著介質(zhì)（物質(zhì)）的流體質(zhì)點的軌道計算的，因此稱為個體微商或隨體微商。從解析方面看，它就是u=u(t;

r)對時間t的全微商。(u·▽)u項是速度對時間的遷移微商或隨流微商，它給出流體質(zhì)點速度由于該流體質(zhì)點在空間位移而產(chǎn)生的變化。這樣，在給定時刻經(jīng)過空間中指定點的流體質(zhì)點的加速度，是由在該點的速度矢量的改變（局部的改變）與流體質(zhì)點運行時的速度矢量的改變（遷移的改變）之和來決定的。9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

上述將隨體微商分解為局部微商和隨流微商的方法可以推廣到與流體質(zhì)點個別運動相聯(lián)系的任何其它的時間與坐標的函數(shù)——標量、矢量或張量。例如，在一定瞬間，流體質(zhì)點在空間的每一位置都對應著一個標量p（如流體質(zhì)點的溫度或密度），那么p的數(shù)值的集合構(gòu)成某一個標量場。當流體質(zhì)點運動時，由于場的非定常性（p的局部改變）和流體質(zhì)點隨時間從一點到另一點的移動（p的迂移改變），p在改變。量p對時間的全微商是：9.2.2歐拉方法（當?shù)胤ǎ?/p>

同樣，對于與運動著的個別流體質(zhì)點相聯(lián)系的任何矢量函數(shù)a或張量函數(shù)T，我們得到：9.2.3兩種方法的相互轉(zhuǎn)換

雖然，拉格朗日方法和歐拉方法從不同觀點出發(fā)描繪了流體的運動，但是這兩種方法實質(zhì)上是等價的，它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，因此它們同樣完全地描繪了一個流體的運動?，F(xiàn)在我們證明兩種方法的等價性。9.2.3兩種方法的相互轉(zhuǎn)換(1)拉格朗日法

歐拉法

設拉格朗日方法中的運動規(guī)律函數(shù)已知則速度函數(shù)是由(1)式反解得代入(2)式即得歐拉方法中的速度函數(shù)：9.2.3兩種方法的相互轉(zhuǎn)換(2)歐拉法

拉格朗日法設拉格朗日方法中的速度函數(shù)已知將其寫成：這是一個由三個方程組成的確定r的常微分方程組，解之得其中c1,c2,c3

是三個積分常數(shù)，由t=t0時r=r0的初始條件確定。即：9.2.3兩種方法的相互轉(zhuǎn)換(2)歐拉法

拉格朗日法反解得：上式可視為確定曲線坐標c1,c2,c3的方程，將c1,c2,c3取為區(qū)別不同質(zhì)點的曲線坐標a,b,c，這樣我們由(1)得到這就是拉格朗日變數(shù)中的運動規(guī)律?！?.3應力張量

作用于流體質(zhì)點的力，可以分為兩類：體積力和表面力。體積力是作用在流體所有質(zhì)點上的力，如重力，電磁力和慣性力；表面力是只作用在所分出的流體側(cè)面上的力，如流體壓力，內(nèi)摩擦力。作用在單位側(cè)面積上的表面力稱為應力。

§9.3應力張量

為了考察流體中某點M附近應力的情況，我們可以通過點取一小面元，而后求前方的流體通過此面元對后方流體作用力有多大，如圖所示。用df表示這個作用力，則就代表作用在單位面積上的表面力，即應力。應力p在法線n上的投影pn，叫作法應力，而應力在過同一點的切面上的投影pr叫作切應力。由于流體中可以存在切應力，故p的方向一般不與面元的方向（即n的方向）相同，當n的方向改變時，p的大小和方向也隨之改變?！?.3應力張量

由此可見體積力和表面力的基本差異是：體積力分布密度是空間點和時間的單值函數(shù)，也即它形成一個矢量場，而應力則在空間每一點隨受力面取向的不同而有無窮多個值。我們可以說應力是兩個矢量的函數(shù)：即空間點的位置矢量r和該點處小面元的法線單位矢量n的函數(shù)。

如果我們對于“通過M點、任意方向的小面元”所相應的應力都清楚了，那么可以認為我們對這一點的應力情況就完全清楚了。下面我們來證明，應力可以表示成小面元的單位法線矢量與某個張量的乘積。這個張量是空間點的位置的單值函數(shù)，也就是說，它將與小面元的方向無關，而同時卻可以用來確定應力p?！?.3應力張量

考慮在流體中割出的、側(cè)面平行于坐標面的一小四面體MABC，如圖所示。則這個面積的大小各為令pn,px,py,pz

分別表示相應于上述四個小面元的應力，則作用在這些小面元上的表面力就等于于是有：§9.3應力張量

在該方程中，包含體積元的第一和第二項是三階無窮小，它和其它與面積元成比例的各項比較起來可以舍去，于是我們得到即這里是斜面小面元n的法線的方向余弦。上式在坐標軸上的投影是：§9.3應力張量上式中九個應力的集合，構(gòu)成一個二階張量，稱為應力張量，我們用大寫字母P來表示它：作用在任意以n為單位法矢量的斜面元上的應力，可以通過用該單位矢量n和應力張量P