高中數(shù)學統(tǒng)計圖表全歸納

頻率分布直方圖

1.隨機觀測生產(chǎn)某種們零件的某工廠20名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,

44,48,37,25,45,43,31,49,34,33,43,38,32,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布

表如下：

分組頻數(shù)頻率

[25,30J20.10

(30,35]40.20

(35,40]50.25

(40,45]m

fm

(45,50]nL

(1)確定樣本頻率分布表中m,n,7m和fn的值；

(2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；

(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取3人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35］的概率.

【解答】解：(1)20名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：

30,42,41,36,44,48,37,25,45,43,31,49,34,33,43,38,32,46,39,36.

(40,50J區(qū)間內的頻數(shù)%=6,(45,50］區(qū)間內的頻數(shù)”=3,工=4=0.3,力=,=0.15.

(2)由頻率分布直方圖，畫出頻率分布列如下圖：

(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35］的頻率為0.2,

設所取的3人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35］的人數(shù)為則4~8(3,0.2),

P(^..l)=l-P(^=0)=l-(l-0.2)3=0.488.

至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35］的概率為0.488.

2.為了了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A,3兩組，每組

100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相

同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如圖所示的直

方圖：

八頻率/組距f頻率/組距

0.30

S^00

150.20

O.1

*100.15

O.O5

O.b

O0.05

1.52.53.54.55.56.57一5百分比2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

根據(jù)頻率分布直方圖估計，事件C：“乙離子殘留在體內的百分比不高于5.5”發(fā)生的概率尸(C)=0.30.

(1)根據(jù)所給的頻率分布直方圖估計各段頻數(shù)(在答題卡填寫兩個頻數(shù)分布表);

(附:頻數(shù)分布表)

A組實[0，[1.5,[2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

驗甲離1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100]

子殘留

頻數(shù)表

5組實[0，[1.5,[2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

驗甲離1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100J

子殘留

頻數(shù)表

(2)請估計甲離子殘留百分比的眾數(shù)和中位數(shù)，請估計乙離子殘留百分比的平均值.

【解答】解：(1)事件C：“乙離子殘留在體內的百分比不高于5.5”發(fā)生的概率P(C)=0.30,

.-.0.05+Z>+().15=0.30,

.\Z?=O.l,

=1-(0.05+0.1+0.15+0.2+0.15)=0.35,

A組實[0,[1.5,[2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

驗甲離1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100]

子殘留

01520302010500

頻數(shù)表

5組實[0，[1.5,|2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

驗甲離1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100]

子殘留

00510153520150

頻數(shù)表

(2)由甲離子殘留百分比直方圖可知，［3.5,4.5)組的頻數(shù)最大，取區(qū)間中點值，所以甲離子殘留百分比的眾

數(shù)是4,

因為0.15+0.20=0.35v0.5,ffij0.15+0.20+0.30=0,65>0.5,

所以中位數(shù)在［3.5,4.5）這組，設甲離子殘留百分比的中位數(shù)為x,

所以0.15+0.20+（x—3.5）x0.30=0.5,

解得：x=4,

所以甲離子殘留百分比的中位數(shù)為4,

乙離子殘留百分比的平均值為：

（3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15）x1=0.15+0.4+0.75+2.1+1.4+1.2=6.

二：莖葉圖

3.為推動校園冰雪運動，某學校決定學生全員參與冰雪健身操運動.為了調查學生對冰雪健身操的喜歡程度，

現(xiàn)從全校學生中隨機抽取了20名男生和20名女生的測評成績（滿分為100分）組成一個樣本，得到如圖所示的

莖葉圖，并且認為得分不低于80分的學生為喜歡.

喜歡不喜歡合計男生成績女生成績

5214

60512

男生

865326。45

C

943117456C

4

88781244579

女生

C

2094C9

合計1

（1）請根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為該校學生是否喜歡冰雪健身操與性別有

關？

（2）從樣本中隨機抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜歡冰雪健身操的概率；

（3）用樣本估計總體，將樣本頻率視為概率，現(xiàn)從全校男生、女生中各隨機抽取1人，求其中喜歡冰雪健身操

的人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.

n(a(J?bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=,其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

尸（狂人）0.1500.1000.0500.0250.0100.001

“。2.0722.7063.8415.0246.63510.828

【解答】解：（1）列聯(lián)表如下:

喜歡不喜歡合計

男生51520

女生101020

合計152540

^=40X(5X10-15X10)^1667>107

15x25x20x20

有85%的把握認為該校學生是否喜歡冰雪健身操與性別有關.

(2)記事件A為“從樣本中隨機抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜歡冰雪健身操”,

C；C；C；C；1

則P(A)ll+sn

C20c202

(3)由題意可得，X所有可能取值為0,1,2,

31311311

P(X=O)=—x-=—，尸(x=l)=—x-+-x-=一p(X=2)=-x-=l,

42842422428

故X的分布列為:

X012

P3]_]_

828

3113

feE(X)=0x-+lx-+2x-=-.

8284

4.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,3兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意

度評分如下:

A地區(qū):62738192958574645376

78869566977888827689

3地區(qū):73836251914653736482

93486581745654766579

(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散

程度(不要求計算出具體值，得出結論即可)；關注公眾號《品數(shù)學》，高中數(shù)學資料群(734924357)

(II)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

上述A,3兩地區(qū)分別隨機調查的20個用戶中，再分別隨機抽取1人，求其中來自A地區(qū)的用戶的滿意度等級

高于來自3地區(qū)的用戶的滿意度等級的概率;

(IH)設上述A地區(qū)隨機抽查的20個用戶的滿意度評分的平均數(shù)為"，方差為s；;3地區(qū)隨機抽查的20個用

戶的滿意度評分的平均數(shù)為方差為其；比較"與焉，s；與s；的大小(直接寫出結論).

.4地區(qū)B地區(qū)

4

35

6426

8866437

e9865218

解：(I)75529由題意知，兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下.

.4地區(qū)3地區(qū)

468

31364

64262455

886643733469

9865218321

7552913

通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;

A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，8地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.

(II)記事件C：”A地區(qū)用戶的滿意度等級高于3地區(qū)用戶的滿意度等級”

記C,“為事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”，

記Cm為事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”，

記。加為事件：“3地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.

記C-2為事件：“3地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”.

則CM與。用相互獨立，CA2與。2相互獨立，CM與。2互斥，于是：C=CUICCe2CA2.

所以尸(C)=P(CBlCAl［JCB2CA2)=P(CBlCAl)+P(CB2CA2)

=P(CW)P(CA1)+P(CB2)P(C42).

由題知，金，cA2,0，』發(fā)生的頻率分別為余捺，2，

故尸0)=果尸(CQ4,P&)嗡,仁)端,

故尸(C)=—X—+—xA=0.48.即C的概率為0.48.

20202020

(III)xA>xB,S；<S)

5.某校高三(5)班的一次數(shù)學小測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖,

(1)求全班人數(shù)，并計算頻率分布直方圖中［80,90］間的矩形的高；

(2)若要從分數(shù)在［80,100］之間的試卷中任選三份來分析學生失分情況，其中“表示分數(shù)在［80,90］之間被

選上的人數(shù)，v表示分數(shù)在之［90,100］間被選上的人數(shù)，記變量4=“-v,求J的分布列和期望.

【解答】解：(1)由莖葉圖、頻率分布直方圖，知：

分數(shù)在［50,60)之間的頻率為2,頻率為0.008x10=0.08,

全班人數(shù)為：二一=25,

0.08

..分數(shù)在［80,90)之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4,

頻率分布直方圖中［80,90)間的矩形的高為2+10=0.016.

(2)〃=3,v=0時，<=3,尸(4=3)=*=(,

C'C'3

〃=2,丫=1時，彳=1,P(J=1)=&2=~1

r'c'1

〃=2,丫=2時，=—1<p(g=-1)=—=—>

C?5

.?3的分布列為:

g-113

P3j_

555

131

E（^）=（-l）x-+lx-+3x-=l.

三：其他類型圖表

類型一：柱狀圖

6.在某大學自主招生考試中，所有選報n類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目

的考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“數(shù)

學與邏輯”科目的成績等級為8的考生有10人.

（1）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)；

（2）已知參加本考場測試的考生中，恰有2人的兩科成績等級均為A.在至少一科成績等級為A的考生中，隨

機抽取2人進行訪談，求這2人的兩科成績等級均為A的概率.

【解答】解：（1）“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為8的考生有10人，

.?.該考場有10+0.25=40（人）.關注公眾號《品數(shù)學》，高中數(shù)學資料群（734924357）

.??該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為

40x（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40x0.075=3.

（2）兩科考試中，共有6個A,又恰有2人的兩科成績等級均為A,

??.還有2人只有一個科目成績等級為A.

設這4人為甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是兩科成績等級都是A的同學，

則在至少一科成績等級為A的考生中，隨機抽取2人進行訪談，

基本事件空間為。=｛（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。ㄒ?，丙），

（乙，?。?，（丙，?。?，一共有6個基本事件.

設“隨機抽取2人進行訪談，這2人的兩科成績等級均為A”為事件M,

事件M中包含的基本事件有1個，為(甲，乙)，則P(M)=1.

故這2人的兩科成績等級均為A的概率為4.

6

7.在某大學自主招生考生中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目

的考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“數(shù)

學與邏輯”科目的成績?yōu)?的考生有20人.

(1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；

(2)若等級A,B,C,D,石分別對應5分，4分，3分，2分，1分.

⑺求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分；

3)若該考場共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，從這7中隨機抽取兩人，求兩人

成績之和大于等于18的概率.

【解答】解：(1)該考場共有20?0.25=80人，所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)為

80x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=80x0.075=6；

(2)⑴該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為

lx(80x0.2)+2x(80x0.1)+3x(80x0.375)+4x(80x0.25)+5x(80x0.075)=八

---------------------------------------------------------------------------------------------------=2.9;

80

(而)設兩人成績之和大于等于18的事件為A,則P(A)+—+—=

212121217

8.某高校自主招生考試中，所有去面試的考生全部參加了“語言表達能力”和“競爭與團隊意識”兩個科目的

測試，成績分別為A、B.C、。、E五個等級，某考場考生的兩科測試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖，其中“語言表

達能力”成績等級為5的考生有10人.

(I)求該考場考生中“競爭與團隊意識”科目成績等級為A的人數(shù)；

(II)已知等級A、B、C、D、E分別對應5分，4分，3分，2分，1分.

⑺求該考場學生“語言表達能力”科目的平均分；

5)求該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，從這10人中隨機抽取2人，求

2人成績之和的分布列和數(shù)學期望.

OEUCBA98

【解答】解：（I）因為“語言表達能力”科目中成績等級為6的考生有10人，所以該考場有10+0.25=40人…

（1分）

所以該考場考生中“競爭與團隊意識”科目中成績等級為A的人數(shù)為40x（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3

（II）（i）該考場考生“語言表達能力”科目的平均分為

40(1x0.2+2x0.1+3x0.375+4x0.25+5x0.075)C八

-----------------------------------------------------------------------------=2.9

40

(〃)設兩人成績之和為J,則g的值可以為16,17,18,19,20

P&=16)=圣，57)窄q,%=18)=竿Gq

CqOJjo13J。

C；C；_44=_L

PC=19)=高一石，PC20）-蕊=石

所以4的分布列為

X1617181920

P141341

315454545

^f^E^=16xl+17x—+18x—+19x—+20x—=—

3154545455

所以J的數(shù)學期望為學

類型二：折線圖

9.隨著大數(shù)據(jù)統(tǒng)計的廣泛應用，給人們的出行帶來了越來越多的方便.郭叔一家計劃在8月11日至8月20日

暑假期間游覽上海Diswy主題公園.通過上網(wǎng)搜索旅游局的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，該9s”e），主題公園在此期間“游覽舒

適度”（即在園人數(shù)與景區(qū)主管部門核定的最大瞬時容量之比，40%以下為舒適，40%-60%為一般，60%以

上為擁擠）情況如圖所示.郭叔預計隨機的在8月11日至8月19日中的某一天到達該主題公園，并游覽2

天.

8月11日8月12日8月13日8月14日8月15日8月16日8月17日8月18日8月19日8月20日

（I）求郭叔連續(xù)兩天都遇上擁擠的概率；

（II）設X是郭叔游覽期間遇上舒適的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（III）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大？（直接寫出結論不要求證明，計算）

【解答】解：設4表示事件“郭叔8月11日起第i日連續(xù)兩天游覽主題公園”0=1,2,…，9）.

根據(jù)題意，P（A）=1

（I）設3為事件“郭叔連續(xù)兩天都遇上擁擠"，則B=&U4

2

所以尸（B）=P（AU4）=P（a）+尸（4）=§.

（II）x的所有可能取值為0,1,2,

p（x=0）=P（4unJ4）=P（4）+）+24）=；，

4

p（x=I）=p（41AJAJ4）=p（A）+尸（A）+p（A）+p（4）=§'

p（x=2）=p（A[&）=p（A）+p（&）=|.

所以x的分布列為：

X012

P142

399

故X的期望EX=0」+1X3+2X2=§.

3999

（III）有圖可知，8月12,8月13,8月14連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大.

10.某校為研究學生語言學科的學習情況，現(xiàn)對高二200名學生英語和語文某次考試成績進行抽樣分析.將200

名學生編號為001,002,200,采用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取10名學生，將10名學生的兩科成績（單

位:分）繪成折線圖如下:

語文

英語

（I）若第一段抽取的學生編號是006,寫出第五段抽取的學生編號；

（II）在這兩科成績差超過20分的學生中隨機抽取2人進行訪談，求2人成績均是語文成績高于英語成績的概

率；關注公眾號《品數(shù)學》，高中數(shù)學資料群（734924357）

（III）根據(jù)折線圖，比較該校高二年級學生的語文和英語兩科成績，寫出你的結論和理由.

【解答】解：（I）第一段抽取的學生編號是006,間隔為20,第五段抽取的學生編號為086：

（II）這兩科成績差超過20分的學生，共5人，語文成績高于英語成績，有3人，從中隨機抽取2人進行訪談，

有C；=10種，2人成績均是語文成績高于英語成績，有3種，故2人成績均是語文成績高于英語成績的概率

(III)根據(jù)折線圖，可以估計該校高二年級學生的語文成績平均分高，語文成績相對更穩(wěn)定.

11.期末考試結束，高二(1)班班主任張老師從班里的40名學生中，隨機抽取10名同學的語文和數(shù)學成績進

行抽樣分析，研究學生偏科現(xiàn)象.將10名學生編號為1,2,3……10,再將他們的兩科成績(單位：分)繪成

折線圖如下：

(I)從這10名學生中隨機抽取一名學生，求抽取的這名學生兩科成績相差大于10分的概率；

(II)從兩科成績均超過70分的學生中隨機抽取2人進行訪談，求這2人中恰有一個是語文成績高于數(shù)學成績

的概率；

(III)設該班語文和數(shù)學兩科成績的平均值分別為x「方差分別為A、D2,根據(jù)折線圖，試推斷和X2,

A和Q的大小關系(直接寫出結論，不需證明).

【解答】解：(I)設“抽取的這名學生兩科成績相差大于10分”為事件A,

由圖可得數(shù)學、語文成績相差大于10分的學生編號分別是2,5,6,7,8,共有5人，

所以尸(A)=1.

2

(n)設“抽取的這2人中恰有一個是語文成績高于數(shù)學成績”為事件B,

因為兩科成績均超過70分的學生編號分別是1,3,4,9,10,

則構成的樣本空間O={(1,3),(1,4)(1,9),(1,10),(3,4),(3,9),(3,10),(4,9),(4,10),(9,10)),共10

個樣本點，事件8包含{(1,3),(1,9),(3,4),(3,10),(4,9),(9,10)},共6個樣本點，

所以這2人中恰有一個是語文成績高于數(shù)學成績的概率P(8)=1=|.

(III)Xt>X2,Dt<D2.

類型三：雙統(tǒng)計圖

⑵在某一次數(shù)學測驗中，從全校抽出八名同學并記錄其測驗成績(滿分100分)進行統(tǒng)計?按照[50.60),[60,

70),[70,80),L80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了分數(shù)

在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).

(1)求”和頻率分布直方圖中的x,)，的值；

(2)在抽出的名學生中，從分數(shù)在80分以上(含80分)的同學中隨機選取2名，求所抽取的2名同學至少有

一名的成績在［90,100］內的概率.

【解答】解：(1)由莖葉圖可知，成績在區(qū)間［50,60)內有8名學生，

所以：-=0.016x10,/7=50;關注公眾號《品數(shù)學》，高中數(shù)學資料群(734924357)

n

工日2341-<0.040+0.016+0.010+0.004)x103八

于是：y=-----=0.004；x=----------------------------乙----=0.030，

50x1010

(2)由(1)可知〃=50,所以分數(shù)在80分以上(含80分)的同學共有：

(0.010+0.004)x10x50=7A

設事件A為“所抽取的2名同學至少有一名的成績在［90,100內”，則事件A的

對立事件為：“所抽取的2名同學的成績均在［80,90)內”并記為事件3；

所以，P(A)=\-P(B)=1-12=11.

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13.為響應“綠色出行”號召某市先后推出了“共享單車和''新能源分時租賃汽車”，并計劃在甲、乙兩個工廠

中選擇一個工廠生產(chǎn)汽車輪胎，現(xiàn)分別從甲、乙兩廠各隨機選取10個輪胎，將每個輪胎的寬度(單位：山利)記

錄下來并繪制出如下的折線圖：

(1)分別計算甲、乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均值；

(2)輪胎的寬度在［194,196］內，則稱這個輪胎是標準輪胎根據(jù)甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪

【解答】解：(1)甲廠這批輪胎寬度的平均值為：

晶=-^(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(C/M),

乙廠這批輪胎寬度的平均值為：

和=,(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)