平面向量的概念

學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

了解平面向量的實際背景，理解平面向

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

量的相關(guān)概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的幾何表示數(shù)學(xué)抽象

概念

理解兩個向量相等的含義以及共線向量

相等向量與共線向量數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

的概念

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P2—P4的內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個向量（向量的模）能否比較大小？

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量協(xié)與向量或是相等向量嗎？

二、合作探究

探究點1：

向量的相關(guān)概念

例1：給出下列命題：

①若勸=況，則A,B,C,。四點是平行四邊形的四個頂點；

②在%BCD中，一定有碇=氏;

③若a=兒b=c,貝Ia=c.

其中所有正確命題的序號為.

解析：城=慶,A,B,C,。四點可能在同一條直線上，故①不正確；在口A3CD中，|曲

\=\Dt\,牯與況平行且方向相同，故勸=成，故②正確；a=b,則⑷=|臼，且a與8的方向

相同；b=c,則|。|=匕|,且8與c的方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故。=如故③

正確.

答案：②③

探究點2：

向量的表示

例2：在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格的邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

(1)0A,使|溫|=46，點A在點。北偏東45。方向上；

(2)A^,使|曲|=4,點5在點A正東方向上；

(3)Bt,使|覺|=6,點C在點3北偏東30。方向上.

解：(1)由于點A在點。北偏東45。方向上，所以在坐標(biāo)紙上點A距點。的橫向小方格

數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|兩=4也，小方格的邊長為1,所以點A距點。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)都為4,于是點A的位置可以確定，畫出向量國，如圖所示.

(2)由于點3在點A正東方向上，且|屈|=4,所以在坐標(biāo)紙上點3距點A的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點5的位置可以確定，畫出向量感，如圖所示.

(3)由于點C在點3北偏東30。方向上，且|覺|=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標(biāo)紙上點

C距點5的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3/15.2,于是點C的位置可以確定，畫出向

量覺，如圖所示.

探究點3：

共線向量與相等向量

例3：如圖所示，。是正六邊形A3CDER的中心，且?=a,O^=b,在每兩點所確定的

向量中.

(1)與。的長度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與a共線的向量有哪些？

解：(1)與a的長度相等、方向相反的向量有仍，Bt,Ab,Ft.

（2）與a共線的向量有助，Bt,Ob,Ft,Ch,Db,Ab,DA,Ab.

互動探究

1.變條件、變問法：本例中若求=c,其他條件不變，試分別寫出與a,4c相等的向

量.

解：與a相等的向量有防，Db,3；與8相等的向量有成，Ed,忒;與c相等的向量

有劭，Eb,m

2.變問法：本例條件不變，與勸共線的向量有哪些？

解：與◎共線的向量有防，Bt,ob,Ft,ch,Dt,Ab,DA,OA.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量.

（2）有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個要素：起點、左向、長度.

③表示：在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、3為終點的有向線段

記作他.

④長度：線段A3的長度也叫做有向線段助的長度，記作曲.

（3）向量的表示

■名師點撥

（1）判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素.

（2）用有向線段表示向量時，要注意勸的方向是由點A指向點3,點A是向量的起點，

點3是向量的終點.

2.向量的有關(guān)概念

（1）向量的模（長度）：向量感的大小，稱為向量腦的旨度（或稱模），記作庭I.

（2）零向量：長度為2的向量，記作0.

（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

3.兩個向量間的關(guān)系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量.若a,〃是平行向量，記

作a//b.

規(guī)定：零向量與任意向量平行,即對任意向量a,都有0〃a.

(2)相等向量：長度相等且方向相同的向量,若a,8是相等向量，記作”=氏

■名師點撥

(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別.

(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.

(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

四、精煉反饋

1.如圖，在口A3CD中，點E,R分別是A3,CD的中點，圖中與蜃平行的向量的個數(shù)為

()

AER

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.圖中與雉平行的向量為防，F(xiàn)t),死共3個.

2.下列結(jié)論中正確的是()

①若且⑷=|〃|,則a=Z>；

②若a=方，則a〃〃且|a|=|Z>|；

③若a與方向相同且⑷=|臼，則。=岳

④若a邦,則a與b方向相反且|a明例.

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：選B.兩個向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯誤，a,〃可能反向；②③正

確；④兩向量不相等，可能是不同向或者長度不相等或者不同向且長度不相等.

3.已知。是正方形A3CD對角線的交點，在以。，A,B,C,。這5點中任意一點為起

點，另一點為終點的所有向量中，寫出：

(1)與配相等的向量；

(2)與防長度相等的向量；

(3)與力A共線