第十三章機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波實(shí)驗(yàn)十六用單擺測量重力加速度基礎(chǔ)梳理夯根基考點(diǎn)研析提能力內(nèi)容索引課時(shí)測評基礎(chǔ)梳理夯根基一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?．知道利用單擺測量重力加速度的原理。2．掌握利用單擺測量重力加速度的方法。二、實(shí)驗(yàn)原理與器材1．實(shí)驗(yàn)原理：單擺在擺角很小(小于5°)時(shí)的擺動(dòng)，可看成簡諧運(yùn)動(dòng)，其固有周期T＝2π，可得g＝

，通過實(shí)驗(yàn)方法測出擺長l和周期T，即可計(jì)算得到當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?．實(shí)驗(yàn)器材：帶孔小鋼球一個(gè)、細(xì)線一條(約1m長)、鐵架臺(tái)、鐵夾、米尺、停表、游標(biāo)卡尺。實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖所示。三、實(shí)驗(yàn)步驟與操作1．制單擺：讓線的一端穿過小球上的小孔，然后打一個(gè)比小孔大一些的線結(jié)，做成單擺。2．固單擺：把線的上端固定在鐵架臺(tái)的鐵夾上，讓鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標(biāo)記。3．測擺長：用米尺量出懸線長l′(準(zhǔn)確到

mm)，用游標(biāo)卡尺測出小球的直徑d(準(zhǔn)確到

mm)，然后計(jì)算出懸點(diǎn)到球心的距離l＝l′＋

即為擺長。4．測周期：把單擺從平衡位置拉開一個(gè)很小的角度(不超過5°)，然后放開小球讓它擺動(dòng)，用停表測出單擺完成30～50次全振動(dòng)的時(shí)間，計(jì)算出平均完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間就是單擺的振動(dòng)周期。5．變條件：改變擺長重做幾次。6．理器材：將實(shí)驗(yàn)器材放回原處。四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理1．公式法：利用T＝

求出周期，然后利用公式g＝

求重力加速度；通過改變擺長，測得多個(gè)重力加速度g1、g2、g3…gn，求得重力加速度的平均值：g＝

。2．圖像法由單擺的周期公式T＝2π可得l＝

T2，因此以擺長l為縱軸，以T2為橫軸作出的l-T2圖像是一條過原點(diǎn)的直線，如圖所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，五、誤差分析1．本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求：懸點(diǎn)是否固定、小球與細(xì)線是否符合要求、是單擺運(yùn)動(dòng)還是圓錐擺運(yùn)動(dòng)等。2．本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來源于(1)振動(dòng)時(shí)間t(單擺周期T＝

)的測量：是否從擺球通過平衡位置開始計(jì)時(shí)、多記或漏記全振動(dòng)的次數(shù)、停表的讀數(shù)等。(2)長度的測量：測量擺線長、擺球的直徑讀數(shù)時(shí)的誤差等。六、注意事項(xiàng)1．實(shí)驗(yàn)所用的單擺應(yīng)符合理論要求，即線要細(xì)且彈性要小，擺球用密度和質(zhì)量較大的小球，并且要在擺角不超過5°的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。2．要使單擺在豎直平面內(nèi)振動(dòng)，不能使其形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放。3．測量擺長時(shí)，擺長應(yīng)為懸線長與擺球的半徑之和。4．測量單擺周期時(shí)，應(yīng)從擺球通過平衡位置開始計(jì)時(shí)，并且采用倒數(shù)到0開始計(jì)時(shí)的方法，4、3、2、1、0、1、2、3…在數(shù)“0”的同時(shí)按下停表開始計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)。5．要注意進(jìn)行多次測量，并取平均值。返回考點(diǎn)研析提能力類型一教材原型實(shí)驗(yàn)(2023·山東青島質(zhì)檢)用單擺測定重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示。(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)在下列器材中選用(選填選項(xiàng)前的字母)A．長度為1m左右的細(xì)線B．長度為30cm左右的細(xì)線C．直徑為1.8cm的塑料球D．直徑為1.8cm的鐵球例1√√在用單擺測重力加速度的實(shí)驗(yàn)基本條件是擺線長度遠(yuǎn)大于小球直徑，小球的密度越大越好，故擺線應(yīng)選取長約1m左右的不可伸縮的細(xì)線，擺球應(yīng)選取體積小而質(zhì)量大的鐵球，以減小實(shí)驗(yàn)誤差，故選AD。(2)測出懸點(diǎn)O到小球球心的距離(擺長)L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t,則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。n次全振動(dòng)的時(shí)間為t，則振動(dòng)周期為T＝

，根據(jù)單擺周期公式T＝2π

，可推出g＝

。(3)下表是某同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理。請計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝______s，g＝_____m/s2。組次123擺場L/cm80.0090.00100.0050次全振動(dòng)所用的時(shí)間t/s90.095.5100.5振動(dòng)周期T/s1.801.91

重力加速度g/(m·s－2)9.749.73

50次全振動(dòng)的時(shí)間為100.5s，則振動(dòng)周期為T＝

＝2.01s，代入公式求得g＝

≈9.77m/s2。2.019.77(4)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像，也可以求出重力加速度g,已知三位同學(xué)做出的T2-L圖線的示意圖如圖乙中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點(diǎn)，圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠t相對于圖線b,下列分析正確的是________(選填選項(xiàng)前的字母)。A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長LB．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次C．圖線c對應(yīng)的g值小于圖線b對應(yīng)的g值√由T2＝

L可知T2-L圖像的斜率k＝

，b曲線為正確的圖像。斜率越小，對應(yīng)的重力加速度g越大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在圖像中圖線與縱軸正半軸相交表示計(jì)算擺長偏小，如漏加小球半徑，與縱軸負(fù)半軸相交表示擺長偏大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若誤將49次全振動(dòng)記為50次，則周期測量值偏小，g值測量值偏大，對應(yīng)的圖像斜率偏小，選項(xiàng)B正確。故選B。(5)某同學(xué)在家里測重力加速度。他找到細(xì)線和鐵鎖，制成一個(gè)單擺，如圖丙所示，由于家里只有一根量程為30cm的刻度尺，于是他在細(xì)線上的A點(diǎn)做了一個(gè)標(biāo)記，使得懸點(diǎn)O到A點(diǎn)間的細(xì)線長度小于刻度尺量程。保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長度不變，通過改變O、A間細(xì)線長度以改變擺長。實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)O、A間細(xì)線的長度分別為l1和l2時(shí)，測得相應(yīng)單擺的周期為T1、T2，由此可得重力加速度g＝_________(用l1、l2、T1、T2表示)。設(shè)A到鐵鎖重心的距離為l，則第一次的實(shí)際擺長為l＋l1，第二次的實(shí)際擺長為l＋l2，由周期公式T1＝2π，T2＝2π，聯(lián)立消去l，解得g＝

。(2023·江西鷹潭二模)如圖甲為一光滑圓弧槽AOC，由于不知其圓心位置，故無法直接測量槽的半徑R。為了準(zhǔn)確測量槽的半徑R，小劉同學(xué)讓一光滑小鋼球在圓弧槽最低位置O附近做小弧度的圓周運(yùn)動(dòng)(可視為簡諧運(yùn)動(dòng))，已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間。其實(shí)驗(yàn)步驟如下：(1)用游標(biāo)卡尺測得小鋼球的直徑d如圖乙所示，其讀數(shù)d＝______mm；例218.610分度游標(biāo)卡尺的精確值為0.1mm，由題圖乙可知小鋼球的直徑為d＝18mm＋6×0.1mm＝18.6mm。(2)當(dāng)小鋼球第1次經(jīng)最低位置O且向右運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，第n次經(jīng)最低位置O且向右運(yùn)動(dòng)時(shí)停止計(jì)時(shí)，總時(shí)間為t，則小鋼球運(yùn)動(dòng)的周期T＝________(用字母n、t表示)；第n次經(jīng)最低位置O且向右運(yùn)動(dòng)時(shí)停止計(jì)時(shí)，則經(jīng)過了n－1個(gè)周期，所以周期為T＝

。(3)通過計(jì)算可得圓弧槽的半徑R＝________(用字母π、T、d、g表示)。小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期為T＝2π，解得R＝對點(diǎn)練．(2023·河南鶴壁三模)如圖甲所示的曲面玻璃在建筑領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，通常被應(yīng)用于玻璃外墻、弧形樓梯、浴室等場景?，F(xiàn)有一柱面形狀的圓弧玻璃，某實(shí)驗(yàn)小組設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用單擺周期公式測量其截面的曲率半徑，實(shí)驗(yàn)器材有：待測曲面玻璃一塊(柱面形狀，弧面半徑R約為1m)，秒表，光滑的小鐵球等。實(shí)驗(yàn)步驟如下：(1)用游標(biāo)卡尺測量小鐵球的直徑，讀數(shù)如圖丙所示，則小鐵球直徑d＝_____cm。1.20由題圖丙中主尺及游標(biāo)尺的示數(shù)可知小球直徑d＝11mm＋10×0.1mm＝12.0mm＝1.20cm。(2)將曲面玻璃凸面朝下固定在水平地面上，形成曲面凹槽，其垂直軸線的豎直截面如圖乙所示，將小球靜止在凹槽底部，記錄其靜止時(shí)的平衡位置O。(3)將小鐵球由靠近玻璃底部的某位置由靜止釋放，在平衡位置按下秒表開始計(jì)時(shí)，同時(shí)數(shù)下數(shù)字“0”，若同方向再次經(jīng)過該位置時(shí)記為“1”，在數(shù)到“30”時(shí)停止秒表，讀出這段時(shí)間t，算出振動(dòng)周期T＝___。從小鐵球經(jīng)過平衡位置開始計(jì)時(shí)，0～t時(shí)間內(nèi)同方向經(jīng)過平衡位置30次，則小鐵球的振動(dòng)周期T＝

。(4)若重力加速度大小為g，用測得的數(shù)據(jù)表示弧形玻璃的截面半徑R＝___________(用測得物理量的字母表示)。振動(dòng)周期T＝2π，其中T＝

、l＝R－

，則弧形玻璃的截面半徑R＝(5)若在計(jì)時(shí)時(shí)將全振動(dòng)的次數(shù)多數(shù)了一次，則弧形玻璃截面半徑R的測量值將______(選填“偏大”“偏小”“不變”)。若在計(jì)時(shí)時(shí)將全振動(dòng)的次數(shù)多數(shù)了一次，則周期T將偏小，由(4)可知弧形玻璃截面半徑R的測量值將偏小。偏小類型二拓展創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)

如圖甲所示，某學(xué)習(xí)小組在實(shí)驗(yàn)室做“探究單擺的周期與擺長的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)。(1)若用秒表測出單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t。請寫出周期的表達(dá)式T＝___。例3單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間為t，則周期的表達(dá)式T＝

。(2)若利用拉力傳感器記錄拉力隨時(shí)間變化的關(guān)系，由圖乙可知，該單擺的周期T＝____s。單擺擺動(dòng)過程中，每次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)拉力最大，每次經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)拉力最小，拉力變化的周期為1.0s，故單擺的周期為2.0s。2.0(3)在多次改變擺線長度測量后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)作出周期與擺線長度的關(guān)系(T2-L)圖線，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝kL＋b，由此可知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝____，擺球半徑r＝__(用k、b、π表示)。根據(jù)T＝2π得T2＝

l，知圖線的斜率k＝

，因此g＝

；而l＝L＋r，圖線擬合得到方程為T2＝kL＋b，因此擺球半徑r＝

。創(chuàng)新點(diǎn)評1．實(shí)驗(yàn)?zāi)康膭?chuàng)新：由“用單擺測量重力加速度”創(chuàng)新為“探究單擺的周期與擺長的關(guān)系”，但實(shí)驗(yàn)原理不變。2．實(shí)驗(yàn)器材創(chuàng)新：使用拉力傳感器繪制拉力隨時(shí)間變化的F-t圖像。3．?dāng)?shù)據(jù)處理創(chuàng)新：由F-t圖線分析單擺的周期。

對點(diǎn)練1．(2023·湖南長沙三模)智能手機(jī)自帶許多傳感器，某同學(xué)想到使用其中的磁感應(yīng)強(qiáng)度傳感器，結(jié)合單擺原理測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。具體操作如下：(1)用游標(biāo)卡尺測量小鋼球的直徑d，測得結(jié)果如圖甲所示，其讀數(shù)d＝_____mm；根據(jù)題圖甲可知，該游標(biāo)卡尺的游標(biāo)尺為10分度值，則可知精度為0.1mm，且游標(biāo)尺第2格與主尺刻度線對齊，而主尺讀數(shù)為10mm，則可知小鋼球的直徑d＝10mm＋2×0.1mm＝10.2mm。10.2(2)將細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小鋼球，用毫米刻度尺測量出細(xì)繩的長度L；(3)如圖乙所示，將強(qiáng)磁鐵吸附于小鋼球下側(cè)，在單擺的正下方放置一手機(jī)，打開手機(jī)中測量磁感應(yīng)強(qiáng)度的應(yīng)用軟件；(4)使單擺小角度擺動(dòng)，每當(dāng)鋼球經(jīng)過手機(jī)時(shí)，磁傳感器會(huì)采集到一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的峰值。采集到磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖像如圖丙，由圖得單擺的周期T＝_____s(保留2位有效數(shù)字)；當(dāng)磁場最強(qiáng)時(shí)，擺球在手機(jī)的正上方，即單擺的最低點(diǎn)，根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖像，可知相鄰兩次磁場最強(qiáng)的時(shí)間為單擺的半個(gè)周期，由此可得單擺的周期為T＝2.0s。2.0(5)若該同學(xué)把O點(diǎn)到鋼球中心的距離作為單擺擺長，則重力加速度的表達(dá)式可表示為_________________(用L、d、T進(jìn)行表示)；由題意可知，單擺的擺長為l＝L＋根據(jù)單擺的周期公式T＝2π可得g＝

。(6)根據(jù)以上操作，該同學(xué)實(shí)驗(yàn)得出重力加速度值與當(dāng)?shù)刂亓铀俣认啾葧?huì)_____(選填“偏大”“偏小”“相等”)。單擺的回復(fù)力來自重力的分力，當(dāng)擺球下方吸附磁鐵后，整體不再是規(guī)則的幾何形狀，擺球的重心不再是其幾何中心，相應(yīng)下移，若仍然用O點(diǎn)到擺球幾何中心的距離作為擺長，則根據(jù)重力加速度與擺長的關(guān)系式可知，所測重力加速度將偏小。偏小對點(diǎn)練2．某同學(xué)設(shè)計(jì)利用如圖甲所示裝置驗(yàn)證單擺的周期公式，其中傳感器可以記錄光強(qiáng)隨時(shí)間的變化情況。將傳感器固定在懸點(diǎn)正下方，當(dāng)小球擺到最低點(diǎn)時(shí)遮擋光線，計(jì)算機(jī)采集數(shù)據(jù)后得到的光強(qiáng)—時(shí)間圖像如圖乙所示。(1)此傳感器是將光信號轉(zhuǎn)化為______信號的裝置；此傳感器是將光信號轉(zhuǎn)化為時(shí)間信號的裝置。時(shí)間(2)由圖乙可得，第1次光強(qiáng)最小到第N次光強(qiáng)最小的時(shí)間為t，則該單擺的周期可表示為T1＝______；(用N、t表示)該單擺的周期可表示為T1＝

(3)該同學(xué)測出小球直徑D、繩長L，若已知重力加速度g，則單擺周期公式可表示為T2＝______________(用D、L、g表示)。在誤差允許范圍內(nèi)T1＝T2，即可驗(yàn)證公式正確。由單擺周期公式T＝2π，l＝L＋

，可得T2＝2π。返回課時(shí)測評1．(10分)(2023·廣東珠海一模)小明學(xué)習(xí)“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)后，利用甲圖裝置做了該實(shí)驗(yàn)。(1)測量擺長時(shí)，先用毫米刻度尺測得擺球懸掛后的擺線長(從懸點(diǎn)到擺球的最上端)為L，再用游標(biāo)卡尺測得擺球的直徑，讀數(shù)如乙圖所示，則d＝______cm，若再測得單擺周期為T，則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝___________(用L、d、T表示)。2.150游標(biāo)卡尺的讀數(shù)為主尺的讀數(shù)與游標(biāo)尺讀數(shù)之和，所以d＝21mm＋10×0.05mm＝2.150cm根據(jù)周期公式T＝2π

可得(2)在安裝裝置時(shí)，擺線上端有三種系掛方式，下列方式哪種是正確的____(填對應(yīng)序號)。為防止擺球搖擺及實(shí)驗(yàn)過程擺長變化，應(yīng)該用夾子固定擺線懸點(diǎn)。故選③。③(3)在測量周期時(shí)，若從擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)且記數(shù)為1，到第n次經(jīng)過最低點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則單擺周期為T＝_____(用n、t表示)。從擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)且記數(shù)為1，到第n次經(jīng)過最低點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則單擺全振動(dòng)的次數(shù)為N＝

，則單擺的周期為T＝(4)假如把該裝置搬到月球上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，改變單擺的擺長l，多次測量單擺在不同擺長下所對應(yīng)的周期T，并描繪出T2-l圖像如圖丙所示，則可得月球重力加速度大小為_____m/s2。根據(jù)單擺周期公式T＝2π可得g月＝由題圖丙可知T2＝2π2s2，l＝0.8m可得g月＝1.6m/s2。1.62．(10分)(2024·山東煙臺(tái)模擬)用如圖甲所示實(shí)驗(yàn)裝置做“用單擺測重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。(1)為了減小測量誤差，下列說法正確的是________(選填字母代號)；A．將鋼球換成塑料球B．當(dāng)擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)C．把擺球從平衡位置拉開一個(gè)很大的角度后釋放D．記錄一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期，根據(jù)公式計(jì)算重力加速度g√實(shí)驗(yàn)中為了減小阻力的影響，應(yīng)選擇材質(zhì)密度大的小球，故A錯(cuò)誤；為了減小測量誤差，應(yīng)從擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，故B正確；小球做單擺運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足擺角小于5°，故C錯(cuò)誤；應(yīng)記錄多次全振動(dòng)的時(shí)間求出平均值作為周期，再根據(jù)公式計(jì)算重力加速度g，故D錯(cuò)誤。故選B。(2)若測得的重力加速度g值偏小，可能的原因是__________(選填字母代號)；A．把懸點(diǎn)到擺球下端的長度記為擺長B．把擺線的長度記為擺長C．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，在振動(dòng)過程中出現(xiàn)松動(dòng)D．實(shí)驗(yàn)中誤將擺球經(jīng)過平衡位置49次記為50次√√把懸點(diǎn)到擺球下端的長度記為擺長，則l偏大，由g＝

可知g偏大；把擺線的長度記為擺長，則

l偏小，由g＝

可知g偏??；擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，在振動(dòng)過程中出現(xiàn)松動(dòng)，則實(shí)際擺長變大，計(jì)算所用的擺長偏小，則由g＝

可知g偏??；實(shí)驗(yàn)中誤將擺球經(jīng)過平衡位置49次記為50次，則T偏小，由g＝

可知g偏大。故選BC。(3)某同學(xué)利用質(zhì)量分布不均勻的球體作擺球測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，但是擺球的重心不在球心，在球心與懸點(diǎn)的連線上。他仍將從懸點(diǎn)到球心的距離當(dāng)作擺長L，通過改變擺線的長度，測得6組L和對應(yīng)的周期T，畫出T

2-L圖線如圖乙所示，然后在圖線上選取A、B兩個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為

，

。

由圖可計(jì)算出重力加速度g＝____________。若擺球重心在球心以上x處，則T＝2π可得T2＝由題圖乙可得解得g＝

。3．(10分)(2023·河北廊坊一模)一學(xué)生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)。(1)用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測微器，擰動(dòng)微調(diào)旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動(dòng)刻度上的零刻度線未對齊，如圖(a)所示，該示數(shù)為____________mm；螺旋測微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖(b)所示，該示數(shù)為_______________________mm，則擺球的直徑為_____