2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了《全國大學生數(shù)學建模競賽章程》和《全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）：&&&所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?&&參賽隊員(打印并簽名)：1.&&&2.&&&3.&&&指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：&&& （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）日期：2013年9賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：車道被占用對城市道路通行能力的影響摘要在現(xiàn)代這個交通擁擠非常嚴重的時代，突發(fā)的交通事故更是加劇了交通擁擠的程度，嚴重影響道路交通的運行效率。確定交通事故影響范圍及其對道路交通通行能力的影響程度，對于交通管理部門制定合理、有效的擁擠疏導措施具有非常重要意義。針對這個問題，我們可以在做出合理假設的基礎上，通過對附件中的視頻數(shù)據(jù)進行分析歸納，綜合考慮交通事故對道路通行能力的影響因素，并將各因素之間的關系進行分析總結，以期能夠解決實際問題1、根據(jù)視頻1（附件1），觀察交通事故發(fā)生后車輛通過事故橫斷面的實際車流量隨著時間變化的情況，進行數(shù)據(jù)的收集；結合交通信號燈的變化，利用MATLAB對視頻數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)道路實際通行能力的圖像以及函數(shù)擬合，進而描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間，事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。2、根據(jù)問題1所得結論，結合視頻2（附件2）的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到實際通行能力函數(shù)的參數(shù)；通過對能力函數(shù)的比較分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異，并對造成其差異的原因進行解釋說明。3、構建數(shù)學模型，結合視頻1（附件1），對路段上游車流量界定一個參照點，通過對該參照點的比較，討論交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間之間的關系，并利用實際交通數(shù)據(jù)進行模型的合理性驗證。4、對第四部分所敘述問題，利用第三部分所得模型，估算從事故發(fā)生開始到車輛排隊長度將到達上游路口所經(jīng)過的時間長度。關鍵詞：車道占用排隊長度實際通行能力車流量

一、問題重述車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象。由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強等特點，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時間短，也可能引起車輛排隊，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。車道被占用的情況種類繁多、復雜，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設計道路渠化方案、設置路邊停車位和設置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。視頻1和視頻2中的兩個交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用兩條車道。請研究以下問題：根據(jù)視頻1，描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。根據(jù)問題1所得結論，結合視頻2，分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異。構建數(shù)學模型，分析視頻1中交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系。假如視頻1中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h,事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續(xù)不撤離。請估算，從事故發(fā)生開始，經(jīng)過多長時間，車輛排隊長度將到達上游路口。注：只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的交通流量，且換算成標準車當量數(shù)。二、問題分析該課題是一個交通事故所引起的車道被占對城市道路通行能力影響模型的建立問題。突發(fā)的交通事故加劇了城市交通擁擠的程度，嚴重影響道路交通的運行效率。如不及時處理，所造成的擁擠很可能會由點擴展到線面，引起交通網(wǎng)絡癱瘓，交通擁擠和交通事故是互為因果的兩種交通現(xiàn)象，一直是交通運行管理的重中之重。確定交通事故影響范圍及其對道路交通通行能力的影響程度，對于交通管理部門制定合理、有效的擁擠疏導措施具有非常重要意義。針對這個問題，我們可以在做出合理假設的基礎上，通過對附件中的視頻數(shù)據(jù)進行分析歸納，綜合考慮交通事故對道路通行能力的影響因素，并將各因素之間的關系進行分析總結，以期能夠解決實際問題。本文主要按照以下步驟進行研究：第一部分：根據(jù)視頻1（附件1），觀察交通事故發(fā)生后車輛通過事故橫斷面的實際車流量隨著時間變化的情況，進行數(shù)據(jù)的收集；結合交通信號燈的變化，利用MATLAB對視頻數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)道路實際通行能力的圖像以及函數(shù)擬合，進而描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間，事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。第二部分：根據(jù)問題1所得結論，結合視頻2（附件2）的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到實際通行能力函數(shù)的參數(shù)；通過對能力函數(shù)的比較分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異，并對造成其差異的原因進行解釋說明。第三部分：構建數(shù)學模型，分析視頻1（附件1）中交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系，并利用實際交通數(shù)據(jù)進行模型的合理性驗證。第四部分：假如視頻1（附件1）中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h,事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續(xù)不撤離。利用第三部分所得模型，估算從事故發(fā)生開始到車輛排隊長度將到達上游路口所經(jīng)過的時間長度。三、模型假設假設1：忽略兩輪車，只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的交通流量，且換算成標準車當量數(shù)；假設2：交通事故發(fā)生地點上下游道路路面縱坡平緩并有開闊的視野、良好的平面線形和路面狀況；假設3：車禍前后上下游交通組織方案無變化；假設4：車輛排隊長度設定為由事故發(fā)生處第一輛車和與其車速相同的最后一輛車的距離四、模型符號說明:道路的實際通行能力；：表示當車禍發(fā)生后完全擋住左轉車道和直行車時，交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力；：表示當車禍發(fā)生后完全擋住右轉車道和直行車時，交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力；:表示視頻1中車隊所能到達的最大長度；：表示上游十字路口的車流量是在車禍條件下該段道路通行能力下所能承受的最大車流量；：表示上游十字路口的隨時間變化的車流量；：表示車禍導致的隨時間變化的車輛排隊長度；：表示排隊車輛之間的車頭距；：表示當上游車流量大于路段合理承受量，每個周期的最大排隊長度增加量：表示第四個問題中車禍地點距離上游路口的距離；：表示車禍地點距離路段上游車流量為1500pcu/h,從事故發(fā)生開始，車輛排隊長度將到達上游路口經(jīng)過的時間周期個數(shù)；：表示車禍地點距離路段上游車流量為1500pcu/h,從事故發(fā)生開始，車輛排隊長度將到達上游路口經(jīng)過的時間周期；:事故發(fā)生的時刻；：該交通事故橫斷面車輛實際通行能力的變化周期。五、模型建立與求解5.1問題一的求解根據(jù)視頻1（附件1），觀察交通事故發(fā)生后車輛通過事故橫斷面的實際車流量隨著時間變化的情況，進行數(shù)據(jù)的收集；結合交通信號燈的變化，利用MATLAB對視頻數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)道路實際通行能力的圖像以及函數(shù)擬合，進而描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間，事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。處理的過程中參考視頻1所呈現(xiàn)自事故發(fā)生至撤離期間上游車流量以及交通信號燈的變化的情況，以10s為一個時間間隔，對視頻中車輛通行數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計整理（根據(jù)交通量調(diào)查中車型劃分及車輛折算相關系數(shù)的相關規(guī)定，通行能力采用小型車當量數(shù)計算，其中大型客車按照1.5的折算系數(shù)折算為標準車當量數(shù)）得到該事故橫斷面的166個樣本點的實際通行能力數(shù)據(jù)，之后利用MATLAB軟件分別做出這166個樣本點的散點圖并用折線連接得到折線圖。5.1.1視頻1數(shù)據(jù)分析根據(jù)由該交通事故橫斷面實際通行能力的樣本點所得到的散點圖及折線圖首先對道路事故發(fā)生至撤離期間的數(shù)據(jù)進行分析，得到以下（圖5.1.1（橫坐標：交通事故發(fā)生后時間/s；縱坐標：對應時間的流通能力pcu/h）圖5.1.1車禍發(fā)生期間道路事故所處橫斷面實際通行能力的變化1、交通事故發(fā)生3分鐘以內(nèi)，由于受駕駛員的反應時滯等其它因素的影響該事故橫斷面的通行能力的波動比較大。2、交通事故發(fā)生地點上下游道路路面縱坡平緩并有開闊的視野、良好的平面線形和路面狀況，加上駕駛員已經(jīng)適應了路面的的狀況因而交通事故發(fā)生400s之后該事故所處橫斷面的實際通行能力的變化幅度不大。3、從總體上來看，可你看出整個事故期間該橫截面的實際通行能力大致呈周期性變化并且事故發(fā)生以后其實際通行能力基本上以1100pcu/h為中心軸上下波動，但由于描點取數(shù)的原因，圖像所呈現(xiàn)出來的整個趨勢并不能完美的呈現(xiàn)其實際通行能力的變化，因而在以后的分析中我們選取了其中一個時間段進行具體的分析。5.1.2生成擬合圖像與函數(shù)為了更好的了解該事故橫斷面的實際通行能力的變化，選取事故發(fā)生至處理之間的300秒即5個周期，對該時間段的數(shù)據(jù)利用MATLABR軟件利用傅立葉函數(shù)進行擬合得到數(shù)據(jù)的擬合圖即圖5.1.2（橫坐標：車禍發(fā)生后時間/s；縱坐標：對應時間的流通能力pcu/h）（圖5.1.2）車禍發(fā)生5分鐘內(nèi)道路通行能力隨時間變化情況與此同時也得到了相應的擬合函數(shù)，對該擬合函數(shù)進行參數(shù)估計得到的參數(shù)估計值為：其中所以即：該擬合函數(shù)的擬合優(yōu)度。該函數(shù)表示交通事故發(fā)生至徹底解除期間5分鐘內(nèi)事故橫斷面道路實際通行能力隨時間變化的情況，利用周期性可以推知整個交通事故期間事故橫斷面通行能力的變化情況也應該符合該函數(shù)所呈現(xiàn)的趨勢。5.1.3周期數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析根據(jù)由視頻1得到的數(shù)據(jù)以周期為單位對數(shù)據(jù)進行整理，統(tǒng)計出交通事故發(fā)生每個周期內(nèi)的道路通行能力并且轉化成以小時為單位的數(shù)據(jù)得到如表5.1.3所示的數(shù)據(jù)統(tǒng)計資料：第1分鐘1200第2分鐘1110第3分鐘900第4分鐘900第5分鐘1050第6分鐘1050第7分鐘1140第8分鐘1260第9分鐘1260第10分鐘1080第11分鐘1080第12分鐘1170第13分鐘1170第14分鐘1080第15分鐘1020表5.1.3事故發(fā)生后隨時間變化的道路通行能力從整體上來看，交通事故發(fā)生后前5分鐘之內(nèi)給事故橫斷面車量的實際通行能力比較弱，5分鐘之后該事故橫截面的實際通行能力趨于穩(wěn)定，相鄰兩個周期內(nèi)的實際通行能力基本上是保持一致的，實際通行能力的變化不大。結合5.1.2中所做的分析以及圖5.1.2，我們注意到表5.1.3及其相關結論可以更好的印證事故發(fā)生后該事故橫斷面的實際通行能力數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來的變化趨勢的周期應該是比較小的，因而之前利用傅立葉函數(shù)對該事故橫斷面的實際通行能力數(shù)據(jù)進行擬合是比較合理的。5.1.4結論綜合數(shù)據(jù)的整個分析過程，對擬合的函數(shù)以及相關的圖像進行分析，基本可以得出這樣的結論：視頻中自交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力隨著時間的推移變化趨勢大體呈現(xiàn)這樣一種狀況：道路的實際通行能力以60s為周期的，進行周期性的增加或減少減少，大致符合的變化規(guī)律，實際通行能力最大為939.01pcu/h，最小為1124.99pcu/h。5.2問題二的求解根據(jù)問題1所得結論，結合視頻2（附件2）的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到實際通行能力函數(shù)的參數(shù)；通過對能力函數(shù)的比較分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異，并對造成其差異的原因進行解釋說明。5.2.1視頻2數(shù)據(jù)分析根據(jù)問題1所得結論，結合視頻2（附件2），根據(jù)第一步中所得函數(shù)，利用最小二乘法對視頻2的數(shù)據(jù)進行處理，得到相應的函數(shù)。由第一步可得，當車禍發(fā)生后完全擋住左轉車道和直行車時，交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化呈現(xiàn)為函數(shù)：其中：由于故取由此，當車禍發(fā)生后完全擋住右轉車道和直行車時，交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化周期與第一種情況相同，呈現(xiàn)為函數(shù)：然后利用最小二乘法進行參數(shù)估計，可構造出如下所示的目標函數(shù)：將目標函數(shù)分別對、、求偏導，可得：令解之得由駐點的唯一性可知：，即，其中=，1。5.2.2交通事故所占車道不同，對通行能力的影響分析根據(jù)兩種交通事故所引起的道路通行能力的函數(shù)進行比較要比較同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異，即比較函數(shù)值的變化率：我們知道，如果兩個函數(shù)的周期相同，那么在同一周期內(nèi)，如果一個函數(shù)的變化幅度大于另外一個，則其變化率高于另一個函數(shù)?；诖隧椃治?，我們可以知道：上述和兩個函數(shù)的周期雖然相同，但由于92.99>83.14，所以的變化比的變化快，因此，當車禍完全擋住右轉車道和直行車時對該橫斷面實際通行能力影響比車禍完全擋住左轉車道和直行車時對該橫斷面實際通行能力大。圖5.2.2視頻1中交通位置示意圖根據(jù)圖5-2-2可得，該路段左轉流量比例為35%，直行流量比率為44%，右轉流量比例為21%，可得，左轉車道車輛比例為35%，直行車道車輛比例為44%，右轉車道車輛比例為21%，則左轉車道車輛流量大于右轉車道車輛流量，因此，當車禍完全擋住右轉車道和直行車時對該橫斷面實際通行能力影響比車禍完全擋住左轉車道和直行車時對該橫斷面實際通行能力大。正好符合上述模型所得結果。5.3問題三的求解在本題中，我們通過構建數(shù)學模型，分析視頻1（附件1）中交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系，并利用實際交通數(shù)據(jù)進行模型的合理性驗證。5.3.1上游路口交通量的模型建立由視頻1可知交通事故發(fā)生后路段車輛的最長排隊長度為米，而且出現(xiàn)最大排隊長度的時間間隔為60s。結合視頻1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：當排隊長度達到最大時，交通事故發(fā)生地橫斷面的實際通行能力會變化至最低，而且這個時候正好上游路口綠燈亮起車輛再次通行。假設車輛排隊時的標準車輛長度為4.5米，車間距為2米，則車頭距為米。由于車輛排隊長度能夠達到最大長度米，因此，上游路口的車流量是在交通事故發(fā)生條件下該段道路實際通行能力下所能承受的最大車流量，即，因此，視頻1中交通事故所處路段上游路口即時車流量隨時間變化的規(guī)律為：，即。5.3.2車輛排隊長度的模型建立（1）當上游路口車流量時，同時當時，有當時，有；即，然后根據(jù)問題一的求解結論可知交通事故發(fā)生與撤離期間，交通事故所處橫斷面的實際通行能力與事故發(fā)生時間之間滿足關系式：，令米，米，計算可得。因此可得到車輛排隊為：（2）當上游路口車流量時，由于上游車流量大于該合理承受量，所以會導致每個周期的最大排隊長度增加，且，此時，車輛排隊長度為：。5.4問題四的解答根據(jù)問題三得到的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系。由問題四條件可得，當排隊長度為米時，車輛排隊到達上游路口。此時，將米，pcu/h，代入上式得則從事故發(fā)生開始，當車輛排隊達到上游路口時，時間由此可知，假如視頻1中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h,事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續(xù)不撤離。則據(jù)估計可知，從事故發(fā)生開始，經(jīng)過車輛排隊長度將達到上游。六、模型評價通過對以上所的模型進行合理性評價，可得到以下幾點心得：6.1模型的優(yōu)點：6.1.1對于問題（1）所收集的數(shù)據(jù)完全基于視頻，真實可靠；6.1.2先利用整體數(shù)據(jù)連線圖觀察數(shù)據(jù)的相關特點，據(jù)此對傅里葉擬合函數(shù)的周期進行控制，得到的結論較貼近實際；6.1.3運用MATLAB進行擬合，得到了比較精確的擬合圖像和擬合函數(shù)，具有較高的可信度；6.1.4針對問題（3），巧妙地運用數(shù)學知識，結合相關數(shù)據(jù)圖進行分類討論，比較全面地解決了問題。6.2模型的缺點：6.2.1有些假設條件，比如假設3：車禍前