高中數學必修第一冊課后限時訓練62指數函數與對數函數

題組1

1.化畔黯的結果為（）

A.1B.2C.3D.0

鋌析2恒(他-1°°)_(lg21001ga)=2[lgl00+lg(]ga)]:2

24-lg(lga)-2+lg(lga)-2+lg(lga)一"，

答案：B

2.關于函數；（x）=G）”與函數g（x）=log，x|在區(qū)間（一8,0）內的單調性的描述正確的是（）

A.犬x）和g（x）都單調遞增

B.凡r）和g（x）都單調遞減

C.火x）單調遞增，g（x）單調遞減

D.4x）單調遞減，g（x）單調遞增

解析：段）=（；）在區(qū)間（—8,0）內單調遞減，g（x）=logjjx|為偶函數，當xC（0,+oo）時，g（x）=log了單調遞

減，所以g（x）在區(qū)間（—8,0）內單調遞增.

答案：D

3.已知“X）是函數y=log2X的反函數，則y=/（l—x）的圖象是（）

解析：因為./U）是函數y=log2%的反函數,

所以?r）=2士

所以）,卻一x）=2ir=CyI其函數的圖象可由函數），=（丁的圖象向右平移1個單位長度得到，故選C.

答案：C

4.函數式x）=7tx+k>g2尤的零點所在區(qū)間為（）

解析：因為在4個選項中，只有段）/（*0,又函數/U）的圖象是連續(xù)不斷的，所以函數段）的零點所在

區(qū)間為。3

答案：c

5.己知4=logo.6().5,&=ln0.5,c=0.6°$,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

解析：因為y=log().6X在區(qū)間(0,+oo)內為減函數，所以logo,60.6<k)go.60.5,即〃>1.

同理，In0.5<ln1=0,即6co.

又0<0.6°-5<0.6°,所以0<c<1.

所以a>c>B.

答案:B

6.已知關于x的方程-2|=〃?有兩個實數解，則實數加的取值范圍是（）

A.（0,+00）B.[0,2J

C.（0,2）D.（2,+00）

解析：畫出函數火x）=|3*+i—2|的圖象（圖略），由圖象可知，要使直線）=加與段）的圖象有兩個不同的交點，

需滿足0cm<2.

答案：C

2X—1Y<1

'~'則函數段）的零點為__________.

{1+logx,X>1,

2

解析：當xW1時，由火x）=2*-1=0,解得x=0；

當X>1時，由式X）=l+lOg2X=0,解得x=,

又因為x>l,所以此時方程無解.

綜上，函數貝X）的零點只有0.

答案：0

8.函數段）=IOg2代?log遮（2x）的最小值為.

解析：由題意得x>0,所以

22

Xx）=log2Vx-log>/2（2r）=ilog2X-log2（4jc）=^log2X-（log24+21og2X）=log2x+（log2X）=（log2x+3-i

當且僅當X=當時,有*x）min=-7.

L4

套案?—1

口米.4

9.已知函數yu尸出一X-Q（〃>O,且對1）有且僅有兩個零點，則實數〃的取值范圍是.

解析：分〃>1與0<。<1兩種情況，畫出函數與函數y=x+a的圖象，如圖所示.

由圖知，當時，兩個函數的圖象有兩個交點；當0<。<1時，兩個函數的圖象有一個交點.

所以實數。的取值范圍是（1,+00）.

答案：（1,+00）

10.已知函數年）招2”+萬30其中常數。，力滿足川存0.

⑴若附>0,判斷函數應￥）的單調性；

⑵若外<0,求不等式yu+i）?U）的解集.

解析：⑴當〃>0,人>0時，因為y產?！薄?"31在區(qū)上都單調遞增，所以函數人x）在R上單調遞增;

當〃<0,*0時，因為yi=a-23>2=63，在R上都單調遞減，所以函數兀0在R上單調遞減.

綜上可知，當外>0時，函數7U）在R上單調遞增.

（2VU+1）Fx）=s2*+2Z?3>0.

①當"0,/?>o時，0>一梟解得x>iogm（一治）；

②當a>0,/?<0時，(|)<一條解得工<1唯(一盤)

故當〃<0,。>0時，所求的解集為+>嘴(一給，;

卜內灣(一給).

當4>0,。<0時，所求的解集為k

11.已知函數Xx)=log2(2'+1).

(1)求證：函數1X)在區(qū)間(一8,+8)內單調遞增；

(2)若g(x)=log2(2x—1)(X>0)，且關于x的方程g(x)="任/U)在區(qū)間[1，2]上有解，求機的取值范圍.

⑴證明：任取X],檢《(-8,+00),且沏<x2，

則於])-7(X2)=10g2(2xi+1)—10g2(2x2+1)=log2翁詈.

因為xi<無2,所以o〈孕］:卜1,

/X2+1

所以log2t§Tl<0,所以?穴加)<於2).

所以函數兀￥)在區(qū)間(-8,+8)內單調遞增.

(2)解析：因為g(x)=m+j(x)f所以g(x)—J(x)=ni.

設h(x)=g(x)—/(x)=Iog2(2A—1)—Iog2(2v+l)=log2^y=log2(l—

設1式即<12式2,則3W2XI+1<2X2+1W5,

即

3-2打+12X2+1-5

即叁-2-2<_2

2xi+l2到+1、51

-1<I__2.__L_<5

"3'^2xi+l<l2X2+1~51

.：log2gw/z(xi)</j(X2)Wk)g2,

即〃(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞增且值域為[臉白log2|].

要使g(x)—fix)=m有解,

故機的取值范圍為[logzg，log?1].

題組2

1.下列區(qū)間中，函數兀v)=|ln(2r)|在其上單調遞增的是()

A.(-00,1]B.[-1,1]C.[o,1]D.[1,2)

解析：當2—"X21,即xWl時，/(x)=|ln(2—x)|=ln(2—尤)，此時函數大乂)在區(qū)間(-8,1]上單調遞減.

當0<2—xWl,即lWx<2時，%)=|ln(2-r)|=-ln(2-x),此時函數凡r)在區(qū)間(1,2)內單調遞增，故選D.

答案：D

2.兩個函數的圖象經過平移后能夠重合，稱這兩個函數為“同形”函數，給出下列四個函數:力(x)=21og2(x+l),

我(x)=k>g2(x+2),^(x)=log2X2,啟x)=log2(2x),則是"同形”函數的是()

A.及(x)與,(x)B.力(x)與力(x)

C.力(x)與亦(x)D.力(x)與力(x)

解析：因為y4(x)=log2(2x)=l+log2X,所以力(X)=log2(X+2)的圖象沿著X軸先向右平移2個單位長度得到

y=log2X的圖象，再沿著y軸向上平移1個單位長度可得到Aa)=log2(2x)=l+log2X的圖象，根據“同形"函數

的定義，及(X)與.啟(X)為“同形”函數.力(x)=log2/=21og2\x\與f\(X)=21og2(x+1)不“同形"，故選A.

答案：A

3.已知函數?！?e,若a,〃,c互不相等，且式a)=ys)"c),則"c的取值范圍是__________.

(2—In%,x>e,

解析：畫出函數?r)的圖象如圖所示.

設不4方設a<b<c,則直線與函數/(x)的圖象交點的橫坐標從左到右依次為mb,

C.

由圖象易知0<a<1</?<e<c<e2,所以式a)=|lna\=_Ina,J(b)=\\nb\=\nB.

2

因此一lna=ln。，Ina+\nb=OfInab=]n1,于是〃b=l.所以而c=c￡(e,e).

答案：(e,e2)

4.如圖，矩形ABC。的三個頂點A,B,C分別在函數月og邈，y=xty=(穿的圖象上，且矩形的邊分

別平行于兩坐標軸.若點4的縱坐標為2,則點D的坐標為.

解析：由題中圖象可知，點A(XA，2)在函數y=log、3的圖象上，所以2=loggX4,

TT

1

點B(XB，2)在函數的圖象上,

1

所以2=系即用=4.

D

由點8為(4,2),可知點C為(4,>'C).

又點C(4,yc)在函數y=(式的圖象上，所以%=停了=今

又XD=XA=：,”>=)(=[,所以點D的坐標為弓，弓).

答案:出5)

5.已知函數火x)=log“(l-x)+loga(x+3)(0<a<l).

(1)求函數的定義域；

(2)若函數;(X)的最小值為-2,求a的值.

解析：⑴要使函數/(x)有意義，則有)’解得一3<X<1.

(X+3>0,

故函數人力的定義域為(-3,1).

(2)函數_/U)可化為

/0)=10劭[(1—x)(x+3)]

22

=k）g“（—x—2x+3）=logfl[—（x+l）+4].

因為一3<x<l,所以0<一（x+iy+4W4.

因為0<a<l,所以log?[—（x+1）2+4]log?4.

所以log?4=-2,即（P=4,解得4=4-2=熱

6.已知函數人工）=|?V+log擊

⑴求函數兀v）的定義域；

（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（3）若函數g（x）=yu-X2）七娉｝求函數g（x）的零點.

解析：（1）要使函數/（x）有意義，則有上空>0,解得一故函數y（x）的定義域為（-1,1）.

1—X

（2）函數兀0為奇函數.理由如下：