模塊綜合測(cè)評(píng)

(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.(2020江西景德鎮(zhèn)期末)直線fcr-y-l=0與直線x+2y-2=0的交點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

()

222'

*+8)D(*)

ggA

顫由題意可得2。解律產(chǎn)吊產(chǎn)鬻

人口,、

：?--4->0且-2-k--1-<0,

l+2fcl+2k

2.(2020浙江湖州期末)在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量為a=(l,-2,1),平面a的法向量為

11=(2,3,4),則()

A./〃aB./±a

C./ua或/〃aD./與a相交但不垂直

ggc

解析由a-n=2xl+(-2)x3+lx4=0,可知a_l_n..：/〃a或/c?.

3.已知圓G：/+。+加)2=2與圓C2:(W+?=8恰有兩條公切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(l,3)

C.(3,+oo)D.(-3,-l)U(l,3)

Wgp

解析|丁圓Ci：x2+(y+,H)2=2與圓C2：(x-w)2+y2=8恰有兩條公切線，

.:兩圓相交.

由圓心C1(O,-M,半徑/?=夜，圓心。2(m,0),半徑r=2近，

則1(:心|=也|訓(xùn),

若兩圓相交,則滿足r-/?<|C|C2|<7?+r,

即方<V2|/n|<3V2,

所以1<|/?|<3,

解得或1<m<3.

4.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)

是()

A.36B.24C.72D.144

ggc

噩根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①把3位女生分為2組，有髭=3種情況，

②將2位男生全排列，有A,=2種情況，

③2位男生全排列后形成的3個(gè)空位，在其中任選2個(gè)，安排2個(gè)女生組，需要考慮2個(gè)女生組內(nèi)兩人

之間的順序，

有A專A2=12種情況，

故有3x2x12=72種不同排法，

故選C.

5?橢圓島+5=1(心0)的焦點(diǎn)為九尸2,上頂點(diǎn)為A,若/尸小尸2=三,則，〃=()

A.lB.V2C.V3D.2

ggc

|解析[設(shè)原點(diǎn)為0,由題意可得c=yjm2+1-m2-

又因?yàn)?尸14尸2=四,可得

36

可得tanZF)A0=—=工解得m=y/3.

m3

6.過雙曲線C:^-g=l的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A,若以雙曲線C的右焦點(diǎn)

F為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過A,0兩點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為()

A.V3B.2C.V5D.3

ggB

胸畫因?yàn)殡p曲線的漸近線方程產(chǎn)±\,

所以A(a,力或43,-力,因此|AF|=c=2,

即J(2-a)2+爐=2,整理可得“2+戶4a=0,

因?yàn)椤?+/=02=4,解得“=],

所以雙曲線的離心率為e=--2.

a

7.(2020江蘇如皋期末)埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人類的想象在埃

及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857,因?yàn)?/p>

142857x2=285714,142857x3=428571,142857x4=571428,…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字

還有如下發(fā)現(xiàn)：142+857=999,428+571=999,285+714=999,…，從這組神秘?cái)?shù)字中任選3個(gè)數(shù)字構(gòu)成一

個(gè)三位數(shù)x,剩下的三個(gè)數(shù)字構(gòu)成另一個(gè)三位數(shù)y,若x+y=999,則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個(gè)數(shù)為

()

A.48B.60C.96D.120

ggA

|解析|根據(jù)題意，數(shù)字142857中，兩個(gè)數(shù)字之和為9的組合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3組，若x+)，=999,

對(duì)于x,其百位數(shù)字可以為6個(gè)數(shù)字中任意1個(gè),假設(shè)為1,則y的百位數(shù)字必須為8,則的百位數(shù)字

有禺種選法,x的十位數(shù)字可以為剩下4個(gè)數(shù)字中任意1個(gè),假設(shè)為2,則)，的十位數(shù)字必須為7,則

的十位數(shù)字有禺種選法內(nèi)的個(gè)位數(shù)字可以為剩下2個(gè)數(shù)字中任意1個(gè),y的個(gè)位數(shù)字為最后1個(gè)，則

x,y的個(gè)位數(shù)字有?種選法，則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個(gè)數(shù)為禺禺G=48(個(gè)).

8.某市為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬中小學(xué)生參加網(wǎng)絡(luò)古詩詞知識(shí)答題比賽，總分100

分，經(jīng)過分析比賽成績(jī)，發(fā)現(xiàn)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(82,16),請(qǐng)估計(jì)比賽成績(jī)不小于90分的學(xué)生人數(shù)

約為()

參考數(shù)據(jù):尸(//-O<XW"+(7)W.6826,P(/，-2O<XW〃+2<7)=0.9544,尸(/，-3c<XW〃+3。)=0.9974

A.2280B.3170

C.3415D.460

gm]A

解畫由正態(tài)分布N(82,16),可得〃=82,k4,

貝"P(74<X<90)=P(82-2x4<X<82+2x4)~0.9544.

.：P(X>90)?|x(l-0.9544)=0.0228.

估計(jì)比賽成績(jī)不小于90分的學(xué)生人數(shù)約為100000x0.0228=2280.

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分.

9.已知點(diǎn)尸是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果湘=(2,-1,-4),而=(4,2,0),Q=(-1,2,-1).下列

結(jié)論正確的有()

XAPVAB

B.APA.AD

C.萬是平面ABCD的一個(gè)法向量

D.AP||~BD

|答案|ABC

|解析|對(duì)于A,萬??=2x(-l)+(-l)x2+(-4)x(-l)=0,；.AP1同，即AP_LA8,A正確；

對(duì)于BjP■同=(-1)x4+2x2+(-l)x0=0,AP1而，即AP±AD,B正確；

對(duì)于C,由而1荏，且萬1而，得出Q是平面ABCD的一個(gè)法向量,C正確；

對(duì)于D,由都是平面ABCD的法向量,得出方1.而，則D錯(cuò)誤.

10.(2020山東煙臺(tái)模擬)已知("2+專)"(〃>0)的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開

式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是()

A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

D.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為45

答案|BCD

解麗：?（加+專）"3>0）的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

???第=Cg,解得n=10.

:?展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,

/3+1嚴(yán)=1024.

原二項(xiàng)式為Q+J?其展開式的通項(xiàng)公式為Tr+i=C{0?（/嚴(yán)匕（*），=依％2吟，

展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為3XI024=512,故A錯(cuò)；

因?yàn)楸绢}中二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)一樣，且展開式有11項(xiàng),故展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大,B對(duì)；

令20-|r=0=r=8,即展開式中存在常數(shù)項(xiàng),C對(duì)；

令20-|r=15=r=2,C?=45,D對(duì).

11.在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球,4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白

球的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X=2）=|

B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布

D.E（X）號(hào)

I答案|ACD

隆明由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤,C正確；

隨機(jī)變量X的所有可能為0,1,2,34

P（x=o）=f/，

P（X=1）駕=5

P（X=2）=凈=

b10/

P（X=3）=舉=—,

''4°35，

尸（X=4）=早=—,

'/Cj0210'

故E（X）=0x5+以2+2x|+3x2+4x由=/故A,D正確.故選ACD.

12.

(2021江蘇海安檢測(cè))雙紐線像數(shù)字“8”,不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同時(shí)也具有

特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美，是形成其他一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的重要幾

何元素.曲線仁。2+)2)2=4(/-)2)是雙紐線，如圖，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

B.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2

C.曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線方程為(f+9)2=4(產(chǎn)/)

D.若直線y^kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-8,-1]U[1,+8)

答案|BCD

解析Y=0時(shí),/=4》2>%=0或2或-2,三個(gè)整點(diǎn)(0,0),(2,0),(-2,0),結(jié)合圖象可知,-2WxW2,令x=±l,得

)2=2g-3<1,此時(shí)無整點(diǎn)解.

.：曲線C經(jīng)過橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，共有3個(gè)整點(diǎn),A錯(cuò)誤；

22

‘2)W4,曲線C上任取一點(diǎn)尸(x,y)到原點(diǎn)的距離d-yjx4-y<2,B正確；

曲線C上任取一點(diǎn)M關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為N,

設(shè)N(x,y),則在曲線C上，

.：(f+)2)2=4(/-/),C正確.

與曲線C一定有公共點(diǎn)(0,0),

；y=kx與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則/(1+3)2=4/(1-斤),.：1-3W0,

.:后1或%W-1,D正確.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.某校一次高三數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)中,經(jīng)過抽樣分析，成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(110,，),且

P(90WXW110)=0.3,該校有1000人參加此次統(tǒng)考，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的人數(shù)

為.

客剽200

解畫因?yàn)閄近似服從正態(tài)分布N(11。,/)，且P(90〈XWl10)=0.3,

所以P(90WX<130)=2尸(90WXW110)=0.6,

所以P(X^130)=|[1-P(90^X<130)]=|x(l-0.6)=0.2,

1000x0.2=200(A),

所以估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的人數(shù)為200.

14.(2021浙江杭州月考)某種型號(hào)的機(jī)器使用總時(shí)間X(單位:年)(其中X，4,XdN+)與所需支出的維修

總費(fèi)用y(單位:萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

M012

Y2：556

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得y與X之間的線性回歸方程為y=0.7X+a,若該設(shè)備維修總費(fèi)用超過12萬元就報(bào)

廢，據(jù)此模型預(yù)測(cè)該設(shè)備最多可使用年(填整數(shù)).

答案|20

盥畫亍=[x(6+8+10+12)=9,歹=；x(2+3+5+6)=4,樣本中心為(9,4),代入線性回歸方程求得：=-2.3,

故線性回歸方程為y=0.7X-2.3,當(dāng)y=0.7X-2.3W12nXW詈,故整數(shù)X最大為20.

15.(2020浙江麗水期末)四棱錐S-A8CD的底面是平行四邊形，豆=2前，若前=標(biāo)+)，而+z荏，則

x+y+z=

解畫因?yàn)槎?2前,所以無=:衣，因?yàn)樗睦忮FS-ABCO的底面是平行四邊形，則前+屈=/，所以

BE=BC-VCE=AD+^CS=AD-i-^AS-AC)=AD+/AS-AB-AD)=^AS+料D-建,又

----->......?—....->1212

BE=xAB+yAD+zAS,^以x=-],y=g,z=5,故x+y+z=-.

16.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(l,0),過拋物線上的一點(diǎn)A(頂點(diǎn)除外)作切線/,且切線/與

X軸交于點(diǎn)氏則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若瞿法則k=.

答案[2=4*1

解畫拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0),可得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,因?yàn)閽佄锞€關(guān)于

x軸對(duì)稱，所以只研究y=2爪的情況，設(shè)A(加,2g^i),易知過點(diǎn)A的切線方程為y-2y/m—煮(x-附,所以

仇-孫0),由兩點(diǎn)間距離公式可知|E4|=J(m-1)2+(2標(biāo))2=1+〃?,|尸3|=1+肛所以巧=1=4,即k=\.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)(2020安徽黃山期末)圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(-4,l),B(-3,2),且圓心C在直線/:尤-廣2=0上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)尸(3,-1)作直線〃?交圓C于點(diǎn)MN且|MN|=8,求直線m的方程.

國(guó)](1)由已知得kAB=1,線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(73)

2'2)

.：A8的垂直平分線方程為x+y+2=0.

則由江0,="解得、二之所以圓心CG2),

因此半徑r=\AC\=5,

所以圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為『+(y+2/=25.

⑵由|MN|=8可得圓心C到直線〃?的距離^=V52-42=3,

,:當(dāng)直線“斜率不存在時(shí)，其方程為戶3,

當(dāng)直線機(jī)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y+l=k(x-3),則"=啜詈=3,解得k=-g,此時(shí)m的方程為4x+3y-9=0,

所以直線，〃的方程為x=3或4x+3y-9=0.

18.(12分)(2020湖北宜昌期末)某校舉行高一年級(jí)組織“知識(shí)競(jìng)答”活動(dòng).每位參賽者第一關(guān)需回答三

個(gè)問題，第一個(gè)問題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得0分;第二個(gè)問題回答正確得20分，回答錯(cuò)誤得-10

分;第三個(gè)問題回答正確得30分，回答錯(cuò)誤得-20分.規(guī)定，每位參賽者回答這三個(gè)問題的總得分不低

于30分就算闖關(guān)成功.若某位參賽者回答前兩個(gè)問題正確的概率都是I，回答第三個(gè)問題正確的概率

是且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

(1)求這位參賽者僅回答正確兩個(gè)問題的概率；

(2)求這位參賽者回答這三個(gè)問題的總得分j的分布列和期望;

(3)求這位參賽者闖關(guān)成功的概率.

網(wǎng)⑴設(shè)事件4表示“參賽者回答對(duì)第i個(gè)問題”/=1,2,3,

xxxxxx

則+P(AiA2Ai)+P(A1A2A3)=f3J+33J+jf2=,-

(2)<f=-30,-20,0,l0,20,30,50,60,

P(勺一30)=尸(4灰彳3)=看，

P(^=-20)=P(AiA2A3)=l，

----1

P(e=0)=P(i41A2A3)=i

PQ=10)=尸(4A243)=￡

P《=20)=P(4萬2A3)=2，

lo

—

P《=30)=尸(A44)=g,

P《=50)=P(4iAM3)=g,

2

P(f=60)1A2A3)=",

=P(Ay

的分布列為：

(3)由(2)得這位參賽者闖關(guān)成功的概率為尸(。=30)+P《=50)+P《=60)=g.

19.(12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A\B\C\D\中4)=AA|=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

(1)證明:5E_L4Q;

(2)當(dāng)E為A8的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AC與。E所成角的余弦值；

(3)AE等于何值時(shí),二面角D\-EC-D的大小為三

網(wǎng)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA,DC,DDi分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則

Ai(l,0,l),D((0,0,l),￡(U,0)4(1,0,0),C(0,2,0),0(0,0,0).

⑴???西=(1,0,1),雇=(l,x,-l),

.?.西?庠=l+0-l=0,.：OiE_LAQ;

⑵:E為AB中點(diǎn)，則￡(1,1,0),

從而艱=(1,11),前=(-1,2.0),

設(shè)AC與DiE所成的角為6,

|2CD〔E|_1-1+2+01

則cos0-

\AC\\D^E\~V5xV315,

⑶設(shè)平面O]EC的法向量為n=3,仇c),平面DEC的一個(gè)法向量為E.

???CE=(1?-2。)瓦？=(02-1),西二。0,1),

由『更=0,有色c六

\n-CE=0,屹+b(x-2)=0,

令力=1,從而c=2,a=2-x,**n=(2-x,1,2),

\n-DD^\2V2

由題意,COS2=

4同西J(X-2)2+52,

?：x=2+g(不合題意,舍去)，或x=2-V3.

?:當(dāng)AE=2-V5時(shí),二面角Di-EC?D的大小為三.

4

20.(12分)(2020四川瀘州期末)某品牌手機(jī)廠商推出新款旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手

機(jī)上市時(shí)間(X個(gè)月)市場(chǎng)占有率(Y%)的兒組相關(guān)數(shù)據(jù):

1：>345

Y2：1418

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完成下列問題：

(1)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)用變量間的相關(guān)關(guān)系分析該款旗艦機(jī)型手機(jī)市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì),并預(yù)測(cè)自上市起經(jīng)過多少個(gè)

月，該款旗艦機(jī)型手機(jī)市場(chǎng)占有率能超過49%(精確到月).

n___n

A

Extyi-TvcyS(xt^x)(yi-y)A5

附:最小二乘法估計(jì)分別為b=嗎----—=曰??-------,a=y-b五其中亍=3,歹=10,￡(x/-x)2=10.

￡xj-nx2￡(Xf-X)2i=l

i=li=l

g(l)vx=3,y=10,

5

故￡(XrX)(}v-y)=-2x(-8)4-(-1)x(-5)+0X1+1X4+2X8=41,

i=l

5A￡(Xi-x)(yt-y)

已知E(X廣02=]0,.?"------=—=4.1,

i=l員⑺習(xí)2---10

i=i

a=y-bx=10-4.1x3=-2.3,

.：Y關(guān)于X的線性回歸方程為y=4.1X-2.3;

(2)由上面的線性回歸方程可知，上市時(shí)間與市場(chǎng)占有率正相關(guān)，即上市時(shí)間每增加1個(gè)月，市場(chǎng)占有率

都增加4.1個(gè)百分點(diǎn)，由y=4.1X-2.3>49,解得X22.5R3,預(yù)測(cè)自上市起經(jīng)過13個(gè)月，該款旗艦機(jī)型手

機(jī)市場(chǎng)占有率能超過49%.

21.(12分)(2020湖南湘潭月考)某相關(guān)部門推出了環(huán)境執(zhí)法力度的評(píng)價(jià)與環(huán)境質(zhì)量的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，每項(xiàng)

評(píng)價(jià)只有滿意和不滿意兩個(gè)選項(xiàng)，市民可以隨意進(jìn)行評(píng)價(jià)，某工作人員利用隨機(jī)抽樣的方法抽取了

200位市民的信息，發(fā)現(xiàn)對(duì)環(huán)境質(zhì)量滿意的占60%,對(duì)執(zhí)法力度滿意的占75%,其中對(duì)環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法

力度都滿意的有80人.

(1)是否有99%的把握判斷環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度有關(guān)？

(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng)，針對(duì)抽取的200位市民，對(duì)執(zhí)法力度不滿意的人抽取3位征求意見，用4表示3

人中對(duì)環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度都不滿意的人數(shù),求的分布列與期望.

n(ad-bc)2

公式:*=，其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

網(wǎng)(1)對(duì)環(huán)境滿意的有200x60%=120(人)，

對(duì)執(zhí)法力度滿意的有200x75%=150(人)，

對(duì)環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度都滿意的有人，填寫列聯(lián)表如下:

80-

對(duì)執(zhí)法

對(duì)執(zhí)法總

力

滿意度力計(jì)

度不滿

度滿意

意

對(duì)環(huán)境

質(zhì)8040120

量滿意

對(duì)環(huán)境

質(zhì)

701080

量不滿

意

總計(jì)15050200

、癡2200x(80x10-40x70)2100/

計(jì)舁-----------------=——>6.635,

人120X80X150X509

所以有99%的把握判斷環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度有關(guān).

(2)由題意知，隨機(jī)變量J的可能取值為0,1,2,3;

翳%=])=等=39

98’

p(勺2)=警/，嶙3)=普=高

則4的分布列為: