函數(shù)、數(shù)列以及極限的綜合題

例已知函數(shù)y=/(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線.當〃WyW〃+l(〃=0,l,2,3)

時，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)6/1),設(shè)數(shù)列｛x“｝由/(X,,)="(〃=1,2,…)定

義.求：

(1)求X]、x2和xn的表達式；

(2)求/(x)的表達式，并寫出其定義域；

(3)證明：y=/(x)的圖像與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.

分析：本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推

理和綜合的能力.

(1)由斜率分式求出石、x2,同樣由斜率公式求出關(guān)于X,的遞推式，然后求出相，(2)

由點斜式求出-J段的/(x)的表達式，用極限的方法求出定義域.(3)y=/(x)與

y=x沒有交點，只要b>l時/(x)>x,或0</?<1時/(x)<x恒成立，當6>1,由于

/(x)—x>/(x?)-xn,只要證/(%?)-%?>0.

解：(1)依題意/(0)=0,又由/(%)=1,當OKyKl時，函數(shù)y=/(x)的圖象是

斜率為=1的線段，故由//)二八。)=i得％=1.

玉-0

又由/(々)=2,當IKy<2時，函數(shù)y=/(x)的圖象是斜率為b的線段，故由

&上&?=即X2-X1=4得％=1+，.

x2-%1bh

記方=。?由函數(shù)y=fM的圖象中第n段線段的斜率為bn+],故得

X"-X"T

又/(X")-〃J(X“T)=〃T；

?4?X?~Xn-\=(：)"T

,n=1,2,--?

由此知數(shù)列｛%-乙j為等比數(shù)列，其首項為1,公比為L

b

〃1［匕一(

因〃H1,得相=》('尢-X,z)=1+-+???+—r=——

k=\bbb

(2)當0<y〈l時，從(1)可知y=x,即當OWxWl時，f(x)=x.

當〃幾+1時，即當天〃Wx?時，由(1)可知

n

/(%)=〃+b(x-Xn)(xn<x<xn+},n=1,2,3,-?-).

b-(:)"一

為求函數(shù)/(x)的定義域，須對X”=——也—(〃=1,2,3,…)進行討論.

b-\

1yb

當b>1時，limx=lim--------=-----;

〃T8nM—>00b—1b—1

O<Z?<1時，〃foo,也趨向于無窮大.

b

綜上，當。〉1時，y=/(x)的定義域為［0,——);

b-1

當0<人<1時，y=/(x)的定義域為［0,+8).

(3)證法1首先證明當6<1,1<x<上-時，恒有/(x)>x成立.

b-\

對任意的XG(1,—2—),存在X“使X“<X<X“+］,此時有

b-\

/(x)-/(%?)=b'\x-xH)>x-x?(n>1),

：.f(x)-x>f(xn)-xn.

又/(x.)=〃〉l+g+…+產(chǎn)=%，

：.f(xn)-xn>0,

：.f(x)-x>f(xn)-xn>0,

即有/(x)>X成立.

其次，當力<1,仿上述證明，可知當X>1時，恒有/(x)<x成立.

故函數(shù)/(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫會標大于1的交點.

證法2首先證明當/?>1,1<》<—2_時，恒有/(x)>x成立.

6—1

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(i)由(1)知當〃=1時，在(L/]上，y=/(x)=1+8(工一1),所以

f(x)-x=(x-1)(/?-1)>0成立.

(ii)假設(shè)〃=攵時在(8,4+J上恒有/(x)>x成立.

可得/(Xp)=k+l〉k1,

在?+i，々+2]上，f(x)=k+1+bk+'(x=4+1),

k+

所以f(x)-x=k+\+b'(x-xk+[)-x

—S*3—l)(x—X*+])+(A+1—X*+l)>0也成立..

由(i)與(證)知，對所有自然數(shù)〃在(當/“+』上都即1<尤<2時，恒有/(x)>X.

b-1

其次，當。<1,仿上述證明，可知當X<1時，恒有/(x)<x成立.

說明：本題不僅考查直線方程、數(shù)列、函數(shù)、不等式知識，還著重考查綜合運用數(shù)學(xué)

知識、思想方法解決問題的能力.解答本題首先必須具備較強的閱讀理解能力，圖象想像能

力，本題的(2)用求極限的方法求定義域，反映了高考命題“不拘泥于大綱”的原則，不

過從實踐上看，與現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)實際有些超前，本題的難度系數(shù)為0.02,三人平均不足1

分，創(chuàng)了近年高考得分低的記錄.

命題人設(shè)計試卷時為使考生不放棄難題，將本題放在倒數(shù)第二題的位置.本題得分低一

方面是試題“超前”，另一方面反映考生能力差，現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)備考主要是“大運用量”的

模仿訓(xùn)練，創(chuàng)新精神提倡不夠，一遇情境新穎的問題學(xué)生就毫無辦法.以后堅持考不等式證

明題的方向不會改變，試題難度會適度降低.

判斷數(shù)列極限命題的真假

例判斷下列命題的真假：

(1)數(shù)列0,1,0,1,…，1+(7),…的極限是0和1.

2

(2)數(shù)歹！H,--------------r,,,,,(—l)，，+l-----T，…的極限是0-

22-22

(3)數(shù)列sinl,sinL,sin,,…，sin',?一的極限不存在.

23n

（4）數(shù)列…,/府的極限是0.

33/315八

分析：判斷一個數(shù)列否存在極限，極限是多少，主要依據(jù)極限的定義，即數(shù)列的變化

趨勢.

解：（1）一個數(shù)列的極限如果存在，它的極限是唯一的，不能是兩個或更多個，是假命

題.

（2）隨著〃無限增大，數(shù)列1）"M?擊｝的項無限趨近于0,因此它的極限是0,

是真命題.

（3）隨著n無限增大，數(shù)列｛，｝的項無限趨近于0,因此數(shù)列卜n，,無限趨近于0,

是假命題.

（4）有窮數(shù)列無極限，是假命題.

說明：（3）中容易認為極限不存在.

（4）容易錯誤認為是真命題，盡管數(shù)列1—j■隨著n的增大而逐漸趨近于0,但由于

數(shù)列只有10001項，是有窮數(shù)列，不存在極限.

根據(jù)數(shù)列的極限確定參數(shù)的范圍

例若lim［匕=0,則。的取值范圍是（）

2a）

A.a-1B.ac-l或〃C.-l<a<—D.a<一工或a>l

333

分析：由lima"=0（a為常數(shù)），知同<1,所以由已知可得上@<1,解這個不等

is2a

式就可求得〃的取值范圍.

左力u1-（1-八/日1-〃1

解：由hm----=0,得----<1,

2a）2a

所以<|2tz|,

兩邊平方，得：（1一。）2<4/,

2+2a-1〉0,（3a-l）（a+1）>0,

所以a<一1或

3

答案B

\—Cl

說明：解題過程容易誤認為只有——=0,得。=1,錯選A.解決含有涉及到求字母

2a

取值范圍的問題時，常常要利用集合的包含關(guān)系，充要條件來考慮問題.

分析數(shù)列求極限

例已知數(shù)列1.9,1.99,1.999,…，1.99--99,

(1)寫出它的通項％;

(2)計算1%-21；

(3)第幾項以后所有的項與2的差的絕對值小于0.01?

(4)第幾項以后所有的項與2的差的絕對值小于0.001?

(5)指出這個數(shù)列的極限.

分析：觀察數(shù)列的特點，可以通過特殊數(shù)歸納總結(jié)規(guī)律，簡化數(shù)列通項的一般形式，再

求極限.

解：(1)可將數(shù)列改寫為

”個

(2-0.1),(2-0.01),(2-0.001),--(2-0.00--01),-

于是此數(shù)列的通項勺=2—--

"10"

(2)1%—21=1(2---)-21=-.

"10"10"

(3)令1見,—21<0.01即」一<0.01,解得n>2

"10"

故這個數(shù)列的第2項以后的所有項與2的差的絕對值均小于0.01.

(4)令1%-21<0.001即一^-<0.001,解得〃>3

"10"

故這個數(shù)列的第3項以后的所有項與2的差的絕對值均小于0.001.

(5)lim(2-----)=2

-10〃

說明：可以通過特殊數(shù)幫助理解無限接近的意義，從而幫助求解極限.

求數(shù)列奇數(shù)項和的極限

例數(shù)列｛%｝的前n項和記為S“，已知a?=55?-3(/JGN+),求

lim(q+%+…+生〃-1)的值?

分析：為求4]+%+…+。2”-1當〃-8的極限，應(yīng)先求出凡的表達式.從已知條件中

給出4與S〃的關(guān)系式，可以利用S.-S,I=>2)，設(shè)法求出％的表達式.

3

解：由q=S]及〃[=5S]—3=5q—3,可得〃]=].

又〃22時，％=S“—S’-，則a“=5S,—3=;a,i—5S,i—3

兩式相減，得an=a,”=5an,an=一：*

31

于是，數(shù)列｛%｝是以W為首項，公比為一I的無窮等比數(shù)列.

進而可得，數(shù)列為,%,%，…，。2,1，…，是以卬=』為首項，公比為4=(-4]=-!-的

4I4)16

無窮等比數(shù)列，于是可求出極限.

3

[./4124

lim(?,+a+---+a_,)=~~~

"T832n1_?155

16

說明：這同1999年全國高考文史類試題.對于這類求極限的題目，必須先用數(shù)列的性

質(zhì)求出%的通項公式，或確定數(shù)列的特征再求極限.由于所求數(shù)列是一個公式時<1的無

窮等比數(shù)列，所以在解題時，可以不必再求極限，而直接代入無窮等比數(shù)列求和的公式

s=『4<i).

i-q

等比數(shù)列和的極限

已知數(shù)列｛%｝滿足條件：q=l,a2^r(r>0),且｛%%+J是公比為g(q>0)

的等比數(shù)列.設(shè)a=a,+a(n=1,72,7…)，求a與lim—,期S=b.+b+---+b.

n2zn-iz2nHcni/2H

,18Sn

解：因為4113.=31=g,

aaa

?n+\?

所以也L="2"+l+°2"+2=。2"一岡+"2,4=q=0.

b""2"-l+a2na2n-\+42”

仇=1+rN0,所以｛bn｝是首項為1+r,公比為q的等比數(shù)列，從