高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)訓(xùn)練匯總（歷年真題+預(yù)測(cè)題訓(xùn)練）

集合與常用邏輯用語(yǔ)

L（2017年全國(guó)/卷）已知集合4={x/x<1},序{*/3'<1）,則（）.

A.4C廬{x/*e}B.4UH

C.JUB={x/x>\.}D.4n母電

【解析】：用{x/3'<l}，.:5{x/x<0}.又：N={x/x。},?"n再5/*<0},JU

B={x/x<\}.故選A.

【答案】A

2.（2017年全國(guó)〃卷）設(shè)集合4={1,2,4}，爐{x/x?Yx+肝0}.若NC后{1},則

B=（）.

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【解析】：ND小{1},.：1GA.：1Y+?=O,即有.

.：3={x/fYx+3-O}={1,3}.故選C

【答案】C

3.（2017年全國(guó)加卷）已知集合4={（x,y）/f*=1}，爐{（x,y）/片x},則4CB中元

素的個(gè)數(shù)為（）.

A.3B.2C.1D.0

【解析】集合4表示以原點(diǎn)0為圓心.1為半徑的圓上的所有點(diǎn)的集合.

集合6表示直線產(chǎn)r上的所有點(diǎn)的集合.

由圖形(圖略)可知，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以4r15中元素的個(gè)數(shù)為2.故選B.

【答案】B

4.(2016年全國(guó)〃卷)已知集合4={1,2,3},序{x/(x+D(x-2)<O,xWZ}?則JU

B=().

A.{1}B.{1.2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

(解析】屈{x/(x+D(x~2)<O,A-eZ}={x/-l<r<2,2}={0,1}，又介{1?2.3}.

所以4U序{0,1,2,3}.

【答案】C

5.(2016年浙江卷)已知集合Q{XWR/1WJ<3},?{xGR/f24),則PU(-

&=().

A.[2,3]B.(-2,3]

C.[1,2)D.

【解析】：R={XCR/X224},

.："Q{xGR//<4}={x/-2<r<2}.

：7MxGR/lWM3).

.:尸U(=R0={x/-2<r^3)=(-2,3].

【答案】B

6.(2017年浙江卷)已知集合P={xl-\<r<l},O{x/O<r<2}，那么PU8(

A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)

【解析】a<0,n{x/oa⑵,.:AJExlra<2}.故選A.

【答案】A

7.(2017年全國(guó)/卷)設(shè)有下面四個(gè)命題：

R：若復(fù)數(shù)Z滿足:GR,則zSR；

出若復(fù)數(shù)z滿足ZYR,則zGR；

R：若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z10SR,則z『2；

R：若復(fù)數(shù)zGR，則zGR.

其中的真命題為().

A.pi,/%B.R,Rc.mD.A.A

【解析】設(shè)z=a+bi(a,beR),Zi-坳i(a,仄GR),Z2=a坳i(a,&eR).

對(duì)于R,若;GR,即焉則岳0,所以z=a+bi=aWR,所以R為真命

題.

對(duì)于A.若/GR,即(a*Z>i)2=a2*2aZ>i-Z>2eR,貝4ab=Q.當(dāng)a=O,后0

時(shí),z=a+bi=biG/R,所以R為假命題.

對(duì)于R,若zzGR,即(a坳i)(a出i)=(%a2Hha)*(a出為2ieR?則

a6+&bi=Q而ZiN2,即ai+bii=&-bzi=ai=ai,氏=~圓.因?yàn)閍Z%+aARn

,2>i=H%所以R為假命題.

對(duì)于R,若zWR,即a+biWR,則I加0nz=a-2d=aWR,所以R為真命題.

故選B.

【答案】B

8.(2016年四川卷)設(shè)p：實(shí)數(shù)xj滿足(xT)2#(y1)\2,g：實(shí)數(shù)也y滿足

y>x-i,

,y全1一匕則p是4的().

JWL

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】

P表示以點(diǎn)（1,1）為圓心,、回為半徑的圓面（含邊界），如圖.g表示的平面區(qū)

域?yàn)閳D中陰影部分（含邊界）.

由圖可知,P是q的必要不充分條件.

【答案】A

9.（2014年全國(guó)〃卷）函數(shù)f{x）在xfo處導(dǎo)數(shù)存在.若p：/1'（%）=0;q-x=a是

的極值點(diǎn),則（）.

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件

【解析】當(dāng)函數(shù)在犬力處有導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)為0時(shí),*一未必是函數(shù)的極值點(diǎn),

還要看函數(shù)在這一點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，若符號(hào)一致，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn).

而若x=*。為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)在x*。處的導(dǎo)數(shù)一定為0.所以p是q的必要

不充分條件.

【答案】C

簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

10.（2015年全國(guó)/卷）設(shè)命題則□「為（）.

A.?zjGN,z?2>2nB.

C.句&WN.4W2"D.丑」nGN.z/勿

【解析】因?yàn)椤?JxWMHx)”的否定是“BxCM□「(*)”，所以命題“切

AWN,，*”的否定是或SNXL.故選C.

【答案】C

11.(2014年全國(guó)/卷)不等式組［：；；］：'的解集記為〃有下面四個(gè)命題：

jt?i：V(x,力e〃,x也彥-2；

jt%：3(x,y)G力,x+2y22；

Pi'.^kx.y)W〃,*+2Z3;

Pt-33(x,y)GD,x也盧-1.

其中的真命題是().

A.R,RB.R,RC.P\?PzD.Pi,R

【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).

由儼+，=L

=4,

得交點(diǎn)力（2,T）.

V>T,觀察直線x+y=l與直線x+2尸0的傾斜程度，可知2y過(guò)點(diǎn)A時(shí)取

得最小值0（尸T號(hào)A表示縱截距）.結(jié)合題意知正確.

444

【答案】C

12.（2014年湖南卷）已知命題p：若x>y,則命題q：若x>y,則在命題

丘加Aq；②fNq：?pN（□?）;④（口）Vq中，真命題是（）.

A.?（S）C.@@D.?（3）

【解析】由不等式的性質(zhì)可知，命題P為真命題，命題Q為假命題，則口「為

假命題,口9為真命題.故?>Aq為假命題，②pVq為真命題，勉八（口。為真命

題,@（口刀Vq為假命題.所以選C.

【答案】C

13.（2015年山東卷）若“電xe[o,：],tanx^aT是真命題，則實(shí)數(shù)用的最小值

為.

第7頁(yè)共61頁(yè)

【解析】：,函數(shù)尸tan*在［o,"上是增函數(shù)，.：％=tan；=L依題意，m2小,

即用21,.:切的最小值為1.

【答案】1

汕淞評(píng)汕淞汕出講汕汕汕三工1%.調(diào)研I三在講野評(píng)汕出

高頻考點(diǎn):集合的概念及其運(yùn)算、命題的真假判斷.

命題特點(diǎn):試題注重基礎(chǔ)，一般是選擇題.

§1.1集合

汕三除三式生/三機(jī)三三出二J必備知枳I

一集合的概念

1.集合中元素的特征:、、無(wú)序性.

2.集合與元素的關(guān)系：a屬于集合《記作法不屬于集合人記

作.

3.常見(jiàn)數(shù)集及符號(hào)表示：自然數(shù)集(N),正整數(shù)集(V或N+),整數(shù)集(Z),有理

數(shù)集(Q),實(shí)數(shù)集(R).

4.集合的表示法:列舉法、描述法、圖示法.

5.集合間的關(guān)系

子集：4U8或.真子集:任6或.集合相等:/￡5且醫(yī)40

A=B.

空集是集合的子集，是集合的真子集.

二集合的性質(zhì)

1.集合的運(yùn)算

(1)交集：an序{*/xw力且xwA.

(2)并集：4U6={x/*eH或.

(3)補(bǔ)集：C/={x/xG〃且痣4}.

2.需要特別注意的運(yùn)算性質(zhì)和結(jié)論

4U團(tuán)F,zn初至，4C(X)名,4U(上面=既

AnB=A<^AQB.AUB=2匿A.

g判斷下列結(jié)論是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“/”，錯(cuò)誤的畫(huà)“x”.

⑴若集合A={x/y=￡},B={y/y=x},O{(x,y)/尸力，則4,瓦。表示同一個(gè)集合.

()

⑵若{乏1}={0,1},則xR,l.()

(3)若/rune,則后c()

(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合4民都有(NC歷￡](4U?成立.()

§若集合4={xSN/K回)*a-2jZ則下列結(jié)論正確的是().

A.{alQ\AB.aQA

C.{a}EAD.Q4

W集合4={x/x-2<0}、B=(xlx<W，若/n用次則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

"在線反饋

知識(shí)清單

一、1.確定性互異性

2.aejA

5.庖4顯A任何任何非空

基礎(chǔ)訓(xùn)練

L【解析】(1)錯(cuò)誤44,咫［0/8),c={Gj)/尸再表示拋物線E上所有的點(diǎn)

的集合，所以46,C表示的不是同一個(gè)集合.

(2)錯(cuò)誤,x=0.

(3)錯(cuò)誤，例如4R,結(jié)論就不成立.

(4)正確，對(duì)于任意兩個(gè)集合人員都有(40⑤￡］(4U功成立，這是集合的運(yùn)算性

質(zhì).

【答案】(l)x⑵x⑶x⑷J

2.【解析】因?yàn)槟?以小包N,所以條工,故選D.

【答案】D

3.【解析】集合4={x/x-2<0}={x/x<2},B={x/x<a\,因?yàn)?r16=4所以尾反所以

a22.

【答案】［2"電

三汕三汕汕於出汕三汕淳三汕三三旅?能力1懣三汕三汕兩三汕泗

題型集合的概念

【例1】已知集合{a,4={1,2,3,4},且下列四個(gè)關(guān)系：①a=l；覦￥1；

③c%④胖屋中有且只有一個(gè)是正確的.則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,④的個(gè)

數(shù)是.

【解析】若只有①正確，即a=l,則g不正確，所以斤1,與集合中元素的

互異性矛盾，不符合題意；

若只有②正確，則有序數(shù)組為(3,2,1,4)4"

若只有③正確，則有序數(shù)組為(3,1,2,4)；

若只有④正確，則有序數(shù)組為(2,1,4,3),(3,1?4方).(4/,3?2)八

綜上所述，有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為6.

【答案】6

點(diǎn)，

研究集合問(wèn)題，首先要抓住元素，其次看元素應(yīng)滿足的屬性.對(duì)于含有字母

的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

【變式訓(xùn)練1](1)已知集合4={0,1,2},則集合咫⑷中元素

的個(gè)數(shù)是().

A.1B.3C.5D.9

第12頁(yè)?

(2)(2017山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)集合4={*/(”-&)2。},且2843蔓4則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

【解析】(1)：力={0,1,2},.：廬{*"/入64了€/}={0,-1,-2,1,2}.?：集合8

中有5個(gè)元素.

2

⑵由題意得f(2二-a)]<1:,即fl<八at<3,-故1QW2.

[(3-a)2>1,(a<2或a>4,

【答案】⑴C(2X1.2]

題型

集合間的基本關(guān)系

[例2]已知集合4={x/-2WK7},夕{x/m+ia⑵H},若醫(yī)/，則實(shí)數(shù)勿的

取值范圍是.

【解析】當(dāng)/時(shí)，有"12251,則=2.

<m+1N—2>

當(dāng)加運(yùn)時(shí)，若住4則?2m-lW7,解得2於4.

+1<2m-l,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,4].

【答案】(-8,4]

點(diǎn)，

在集合運(yùn)算中，遇到應(yīng)4應(yīng)注意是否需要分—和肝。兩種情況討論.

【變式訓(xùn)練2]⑴已知集合4={xGR//x/22},B={x^R/-"H+2刈，則下列

結(jié)論正確的是（）.

A.4U廬RB.4A今初

C.住C/D.QCR6

（2）（2017湖南師大附中模擬）已知集合力={X/代班^,關(guān)比6={1,血.若

怎歸,則m的值為（）.

A.2B.-1C.T或2D.2或企

【解析】⑴4={x/x22或JT^-2}，咫{x/T<r<2},CR氏{X/X22或MT}?

則蕉《區(qū)

（2）由仃=7*2_2,得x=2,則4={2}.

因?yàn)锽={1，血，且4U氏所以肝2

【答案】（DC（2）A

題型

集合的運(yùn)算

【例3】如圖，已知R是實(shí)數(shù)集，集合J={x/logi(x-l)刈,B={xf.

則陰影部分表示的集合是().

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]

【解析】圖中陰影部分表示集合6CCR4：?

^={x/logi(x-1)?0}={^r/l<.x<2}^B=^x<oj=[x|O<xVJ.：CR4={X/W1

2

或*22}即44={/0代1},故選D.

【答案】D

在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸求解，使抽象問(wèn)題直觀化.

【變式訓(xùn)練3】(1)(2017鄭州調(diào)研)設(shè)集合M={x|x'x},N={x[%xW0}*則M

UN=()、

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)女(-8,1]

(2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合心{x/G-1)(戶3)<0}，心{x//x/Wl},

則如圖所示的陰影部分表示的集合是().

A.[-1,1)

B.(-3,1]

C.(-8,-3)u[-l,+oo)

D.(-3,-1)

【解析】⑴rjMx/xS}={0,1},心{x/lgVO}={x/O<r^l}?.：MJ

2[0,1].

(2)由題意可知，心(-3,1),心[-1,1],.：陰影部分表示的集合為g(。

【答案】(DA(2)0

方法數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

對(duì)于集合的運(yùn)算，常借助數(shù)軸、Venn圖求解.

【突破訓(xùn)練】向50名從事地質(zhì)研究的專家調(diào)查對(duì)四川省46兩地在震后原

址上重建的態(tài)度,有如下結(jié)果:贊成力地在震后原址上重建的人數(shù)是全體的也其

余的不贊成，贊成6地在震后原址上重建的比贊成4地在震后原址上重建的多3

人，其余的不贊成;另外，對(duì)A6兩地都不贊成在震后原址上重德的專家數(shù)比對(duì)

4,6兩地都贊成的專家數(shù)的1多1人.問(wèn)：對(duì)4,6兩地都贊成的專家和都不贊成的

專家各有多少人？

【解析】贊成4地重建的專家人數(shù)為50h考0,贊成6地重建的專家人

數(shù)為30+3=33.

如圖，記50名專家組成的集合為〃，贊成4地在震后原址上重建的專家全體

為集合4；贊成8地在震后原址上重建的專家全體為集合區(qū)

設(shè)對(duì)4,5兩地都贊成的專家人數(shù)為x,則對(duì)46兩地都不贊成的專家人數(shù)為

>1,贊成A地而不贊成6地的專家人數(shù)為30-*,贊成6地而不贊成4地的專家人

數(shù)為33-x

依題意，（30-x）+（33-x）+x噌+1）=50,解得T=2L

所以對(duì)48兩地都贊成的專家有21人，都不贊成的專家有8人.

正汕懣三汕三壬王?三懣三正三三練案I壬三三汕三懣懣汕三

1.（2017濰坊模擬）已知集合4={*/*2-3、，2-0,入仁10,屬{*/0。<5,x￡時(shí),則滿足

條件公④6的集合。的個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

【解析】由f-3X+2R,得x=l或.：/={1,2}.

由題意知戶{1,2,3,4},.：滿足條件的集合?？梢允?/p>

{1,2}?{1*2,3},{1.2.4}3*4},共4個(gè).

【答案】D

2.（2017南昌月考）設(shè)集合/Ha?,lo&a},Q={2\同.若mQ={0}.則加g）.

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,12.3）

【解析】：/n8{0},.：0GR只能log2a-0,.:企工才刁?又OWQ,：2=2豆

#0,.：兒0.故P={0.1},<H2,0）一:尸UMO,1,2}.

【答案】B

3.（2017河南八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢）已知?dú)w{1,4,6,8,9},4={1,6,8},6={4,6},則4

n（c曲等于（）.

A.{4,6}B.{1,8）

C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}

【解析】因?yàn)闉閧1,4,6,8,9},4={1,6,8},比{4,6},所以C比{1.8,9}.因此4

n（M={i,8}.

【答案】B

4.（2017湖南省東部六校聯(lián)考）已知集合#={-2,-1,0,1}，對(duì)x|i<2*<4,xG

z）,JUiJMCiN=（）.

A.{-2,-1,0,1.2)B.{-1,0.1.2}

C.{-1.0,1}D.{0,1}

【解析】由;<2'W4,解得TWW2.又xWZ..：心{-1,0C,

^{-1,0,11.

【答案】c

5.(2017石家莊教學(xué)質(zhì)檢(二))已知集合#-{-1,1}，對(duì)x|；<2],則下列結(jié)論正

確的是().

A.住心.蛇兒

C."倬立D.MJ收？

【解析】：2-2<0,即至J),解得%<0或達(dá)，.：2(-8,0)U(i+oo).又：*

XX4\4/

心正確,A?C?D錯(cuò)誤.

【答案】B

6.(2017山東臨沂質(zhì)檢)已知全集GR,集合4={x&-3x+2刈，咫{x/x-aWO},若。

痣4則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.(-8,1)B.(-8.2]C.[1,*?°)D.[2.*?0)

【解析】因?yàn)閤J3x+2X),所以x>2或x<!?

所以A={x/x>2或x<l}.

因?yàn)槲瞷x/xWa},所以C岳?{x/%>a}.

因?yàn)閏瘍4,借助數(shù)軸可知a22,所以選D.

【答案】D

7.（2017開(kāi)封市一模）設(shè)集合4=5/止=3A-L/eZ},Q{x//x-l/>3},則4n（C

㈤-（）-

A.{-1,2}B.{-2,-1,1,23}

C.{1,4}D.0

【解析】由/xT/>3,得xT>3或x-l<-3,即x>4或x<-2,所以B={x/x>4或

x<-2]$廬{x/-2WK4}.當(dāng)kZ時(shí),zz=Y；當(dāng)攵=0時(shí),*T；當(dāng)A=1時(shí),〃之；當(dāng)k=2

時(shí)，上5.所以4n&為={_1,2}.

【答案】A

8.（2017江蘇蘇州市常熟二模）已知全集乃之,集合4={x/0a<5,xS/*戶{x/x<

則4c（。而=.

【解析】4={x/0<r<5,xW"={l,2,3,4}?B=（xl運(yùn)，則,比{x/x>l,x

e"={2,3,4,5,…「則4n（。戒={2,3.4}.

【答案】{2,3,4}

9.（2017山西考前質(zhì)檢）已知全集為{工仁2/-2在后4},4={-1,0,1,2,3}.若醫(yī)。

A則集合6的個(gè)數(shù)是.

【解析】由題意得為0,1,2,3,4},所以C/={-2,4},所以集合6的個(gè)

數(shù)是22H.

【答案】4

10.(2017山東棗莊一模)已知集合4={x/(x+l)5-2)20},長(zhǎng){x/log3(2-x)Wl},

則RC(CR⑥=().

A.?B.{x/x>2或XT}

C.{ar/jr<-l}D.{x/x22或

【解析】集合4={x/(x+l)(x-2)20}={x/x22或MT},夕{x/log3(2-x)W

1}={x/-lWx<2},

CR廬{x/x22或,

則4n={X/X22或x<-l}.

【答案】D

11.(2017云南楚雄州一模)若集合4={y/尸2*+2}，咫{x/-/+x+220}.則().

A.AQBB.4U廬R

C.4C6={2}D.HC6=0

【解析】：?產(chǎn)2》2)2,.：4={y/y>2}.

由-X2以+220,即f-x-ZWO,解得TWK2,

.:廬{x/TWK2}.

【答案】D

12.(2017上海市七寶中學(xué)模擬)設(shè)心則對(duì)任意的整數(shù)外形

如4A,4A+1,4A+2,4A+3的數(shù)中，不是集合〃中的元素是().

A.4/2B.4A*1C.4〃+2D.4〃*3

【解析】：?4〃=(A+1)2-ST)2,

：?4Z?+1=(2A+1)2-(2A)2,.：4A+1W^

:?4"3=(292)2-(2>1)2..：也"3s花

若4"2WM則存在x,yWZ使得f于2〃戔.

.：4/?也=(*切(x-y).

:'x+j>和x-y的奇偶性相同.

若xtr和x-y都是奇數(shù)，則(x功(x-0為奇數(shù)，而4"2是偶數(shù)；

若x/y和x-y都是偶數(shù)，則(x+負(fù)(x-y)能被4整除，而4A+2不能被4整除*

.：40蹴3(

【答案】C

13.（2017湖北武漢十校聯(lián)考）已知集合4={入/0。<2},集合B={x/-161},集合

C={x/mx+\>^，若G4U04心則實(shí)數(shù)用的取值范圍為（）.

A.{m/~2W=1}B.|-i<m<lj

C.|-l^m<i]D.[m|-^<m<j]

【解析】由題意得力UE={x/T<r<2}.

:?集合C={xlmx+\Xi\*（4U0媼仁

①當(dāng)zs<0時(shí)，x<、，.：二22?.：山2；?.：；Wo<0；

mm22

②當(dāng)加0時(shí)，滿足題意；

③當(dāng)或0時(shí),x>\,.：二這-1,.：-1,.：OOW1.

mm

綜上可知，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為{m|1$1}.

【答案】B

14.（2017上海中學(xué)高考模擬）集合S={1,2,3,4,5.6}"是S的一個(gè)子集，當(dāng)xGN

時(shí)，若*-1莖4*網(wǎng)史]4則稱x為4的一個(gè)“孤立元素”，那么S中無(wú)“孤立元素”

且含有4個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)是.

【解析】S中無(wú)“孤立元素”且含有4個(gè)元素的子集是

{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6}?{2,345}?{2?3“5”6}?{3?鴛5,6}?共6個(gè).

【答案】6

§1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

，必備知識(shí),

用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以的陳述句叫作命題，其中

的語(yǔ)句叫作真命題,的語(yǔ)句叫作假命題.

二四種命題及其相互關(guān)系

1.四種命題間的相互關(guān)系

互互

否否

為/\逆

互/'否

逆否命題

2.四種命題的真假關(guān)系

(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有的真假性.

(2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性.

三充分條件與必要條件

1.如果用g,那么p是q的條件,q是p的條件.

2.如果那么p是q的條件.

3.如果聲/q且曲/p,那么p是g的條件.

S左學(xué)右考

@判斷下列結(jié)論是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“J”，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”.

(1)“1+2x-3<0”是命題.()

(2)當(dāng)q是p的必要條件時(shí),p是q的充分條件.()

(3)“若p不成立，則g不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”.()

目若條件p：/x/W2.條件g：xWa,且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍

是.

已知明產(chǎn)是兩個(gè)平面，直線則“是“1_L戶”的().

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

在線反饋

知識(shí)清單

一、判斷真假判斷為真判斷為假

二、1.若q,則p若口外則

2.(1)相同(2)沒(méi)有關(guān)系

三、L充分必要2.充要3.既不充分也不必要

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.【解析】(1)錯(cuò)誤，"，+2x-3<0"不能判斷真假.

(2)正確，由充分條件的定義知正確.

(3)正確，因?yàn)椤叭魀不成立，則g不成立”的逆否命題是“若g成立，則p成立”,

所以正確.

【答案】(1)X(2)7(3)V

2.【解析】由/x/W2,知p_2/x<2.因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以p對(duì)應(yīng)

的集合是q對(duì)應(yīng)的集合的真子集，所以a22.

【答案】［238）

3.【解析】AL3，】國(guó)Q與Q_LA反之不成立*.：“Q_L￡”是“/_!￡”的必

要不充分條件.

【答案】C

，關(guān)鍵能力.

題型

四種命題及其關(guān)系

【例1】下列命題中為真命題的是（）.

A.命題“若x>l,則Z>1”的否命題

B.命題“若x>y映x>ly『的逆命題

C.命題“若x=l,則/打-2=0”的否命題

D.命題“若bl.則x>l"的逆否命題

X

【解析】對(duì)于A,否命題為“若則，W1”.易知當(dāng)x>2時(shí)故

否命題為假命題;對(duì)于B,逆命題為“若x>/y/,則x>y".其為真命題;對(duì)于C,否

命題為“若左盧1,則4/x-2#0”,易知當(dāng)x=-2時(shí),f+x-2=0,故否命題為假命題;

對(duì)于D,逆否命題為“若W1,貝壯W1”，易知其為假命題.故選B.

X

【答案】B

點(diǎn):

當(dāng)一個(gè)命題不易直接判斷其真假時(shí).直接判斷該命題的真假可轉(zhuǎn)化為判斷

其等價(jià)命題的真假..

【變式訓(xùn)練1】原命題為“若劣，◎互為共舸復(fù)數(shù)，則/?/=〃/*,關(guān)于其逆

命題、否命題、逆否命題的真假性判斷依次如下，則正確的是（）.

A.真、假、真B.假、假、真

C.真、賓、假D.假、假、假

【解析】由共朝復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得原命題為真命題，因此其逆否命題也為真命

題.

當(dāng)?=1+2亡22之刊時(shí)，顯然/z"=/z2/,但?與Z2不互為共聊，復(fù)數(shù)，所以原命題

的逆命題為假命題,從而原命題的否命題也為假命題.

【答案】B

題型

充分條件、必要條件的判斷

【例2】下列說(shuō)法正確的是().

A.“x=T”是的必要不充分條件

B.p：4rl8=4q：任屬則p是q的充分不必要條件

C.已知數(shù)列｛a｝,若p對(duì)于任意的AWN1點(diǎn)R(aa")都在直線尸2x+l

上,g：｛a｝為等差數(shù)列，則p是q的充要條件

D.“*<0”是“l(fā)n(x+l)e”的必要不充分條件

【解析1A錯(cuò)誤，由f~5x~6肛解得x=T或所以"x=T"是"4'5x~6M)”

的充分不必要條件.

B錯(cuò)誤，由HDS引，得NU6,所以p是g的必要不充分條件.

C錯(cuò)誤，因?yàn)辄c(diǎn)2(A,&)在直線片2x+l上，所以an=2fl*l(flCNO,則

尸25+1)+1-(2*1)」.又由A的任意性可知數(shù)列｛備｝是公差為2的等差數(shù)列.

即gq.

反之則不成立，如:令則｛a｝為等差數(shù)列，但點(diǎn)5,而不在直線片2%丹上*

從而段/p.所以p是g的充分不必要條件.

D正確，因?yàn)閘n(x+l)e0Oa+l<10Ta<O,所以“x<0”是“l(fā)n(x+l)<0"

的必要不充分條件.故選D.

【答案】D

判斷充分條件、必要條件的方法有定義法，集合法,等價(jià)轉(zhuǎn)化法.

【變式訓(xùn)練2]“a<0”是“函數(shù)/U）=/x-a"/x/在區(qū)間0?8）上為增函

數(shù)”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】當(dāng)a<0時(shí),xe0,f（x）=x-a+x=2x~a,其為增函數(shù)，此時(shí)充分性成立；

當(dāng)aR時(shí),f（x）=2/x/,其在區(qū)間[0/8）上為增函數(shù)，所以必要性不成立.故

選A.

【答案】A

題型

充分條件、必要條件的應(yīng)用

【例3】方程/+2戶14至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（）.

A.0QW1B.a<l

C.aWlD.0QW1或a<0

【解析】當(dāng)aR時(shí)，原方程為一元一次方程2戶14,有一個(gè)負(fù)實(shí)根.

當(dāng)aWO時(shí)，原方程為一元二次方程,有實(shí)根的充要條件是ANYaeO,即a

WL

設(shè)此時(shí)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為蜀，及，則x產(chǎn)及1,國(guó)用2?

aa

（a<l,

當(dāng)方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一個(gè)正實(shí)根時(shí)，有i/Sa<0;

一Vun

la

但L

當(dāng)方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，有｛7<。，=°<aW1.

U>0

5

綜上所述,aWL

【答案】C

點(diǎn)，

解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的

關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.

【變式訓(xùn)練3】（2017常德一中月考）若是“x>a”的必要不充

分條件，則a的最小值為.

【解析】由解得x<-2或x>3.

因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件,

所以{x/x>a}是{x/x<-2或x>3}的真子集，即a23?

故a的最小值為工

【答案】3

方法集合與充分條件、必要條件“聯(lián)手”求參數(shù)

集合的運(yùn)算常與充分條件、必要條件交匯命題，根據(jù)充分條件、必要條件求

參數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系求解，再建立不等式（組）求解.

設(shè)集合4={x/x滿足條件p},戶'{x/x滿足條件q},則有：

掃碼有講

1.若AQ6,則p是q的充分條件;若/基民則p是q的充分不必要條件.

2.若氏4則p是g的必要條件;若醫(yī)4,則p是g的必要不充分條件.

3.若A=B,貝！Ip是q的充要條件.

【突破訓(xùn)練】已知p|1-胡這2,中1-同期,且口「是口。的必要

不充分條件，則實(shí)數(shù)必的取值范圍為.

【解析】由卜-胡W2,得-2WH10,所以對(duì)應(yīng)的集合為{x/x>10或

x<-2］.

設(shè)A={x/x>\Q或z<-2}.

因?yàn)閝：1fW后1+m（n兇）*

所以口。對(duì)應(yīng)的集合為{x/x》》+l或X<1-ffl,zo?}.

設(shè)B=（x/x>m+\或x<l-m,蘇0}.

因?yàn)槭恰酢醯谋匾怀浞謼l件,所以正4

m>0,

所以11-m￡—2.且不能同時(shí)取得等號(hào)，

1+mN10,

解得應(yīng)29,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為［9"8）.

【答案】［9"8）

1.（2017大連質(zhì)檢）命題“若a,b,c成等比數(shù)列,則B=ac”的逆否命題是（

A.“若a,瓦c成等比數(shù)列，則^Wac”

B.“若a,b.c不成等比數(shù)列，則"#ac"

C.“若8=ac,則a”,c成等比數(shù)列”

D.“若8#ac,則a,瓦c不成等比數(shù)列”

【解析】根據(jù)原命題與其逆否命題的關(guān)系，易得命題“若a,b,c成等比數(shù)列,

則B=ac”的逆否命題是“若則凡友。不成等比數(shù)列”.

【答案】D

2.（2017合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）“x>2.是“f+2x~8卻”成立的（）.

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】由1+2x6X）,解得*7或x>2,所以“x>2”是+2r8?”成立

的充分不必要條件，故選B.

【答案】B

3.（2017江南十校聯(lián)考）下列命題的逆命題為真命題的是（）.

A.若x>2,則（x-2）（x+l）為

B.若/曠24,則燈2

C.若x+yt,則中W1

D.若a^b,則ac^bc'

【解析】A錯(cuò)誤,其逆命題為“若（x-2）（x+1）X）,則x>2"，顯然錯(cuò)誤;B正確，

其逆命題為“若x尸2,則f"24”，由基本不等式可知正確;C錯(cuò)誤，其逆命題為

”若燈<1,則r）產(chǎn)2”,如x^=T,gWL但**產(chǎn)經(jīng)；口錯(cuò)誤，其逆命題為“若ac

NA?,則a》b"，如味0,滿足a/》b8但不一定得到a>b.故選B.

【答案】B

4.（2017上海模擬）原命題“若4U肝氏則an#/"與其逆命題、否命題、逆

否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.4

【解析】由題意可知，否命題為“若au"我則anw"，其為真命題;逆否

命題為“若40次4,則4U及配，其為真命題.由等價(jià)命題的真假性相同可知，該

命題的逆命題與原命題也為真命題.故選D.

【答案】D

5.（2017南昌調(diào)研）“折-1”是"直線如葉（2加1），+1巾與直線3片奴尸垂直”

的（）.

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

第35頁(yè)?

【解析】由直線照+（2zsT）y+1=0與直線尸9旬垂直可知3必々?（2加1）4,

.:肝0或m=T，.："加=-1"是"直線mx+⑵B-Dy*l=O與直線3乂做6（9=0垂直”

的充分不必要條件.

【答案】B

6.（2017西安調(diào)研）"sina=cosa"是"cos2a4）”的（）.

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析1cos2a=0等價(jià)于cos"a~sin?aR,即cosa=±sina.故"sina

氣osa”是“cos2aR”的充分不必要條件.

【答案】B

7.（2017山東省臨沂市高三（上）期末）直線“A滿足展ja,血。，則“九Lm”是

“兒1,。"的（）.

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】由A_LH,推不出A_La.由〃_La,能推出nLm.因此*“/2_L/是“而

_La”的必要不充分條件.

【答案】A

8.（2017荊門(mén)模擬）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）.

①“若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個(gè)整數(shù)能被5整除”的逆命題；

②“若一個(gè)三角形有兩條邊相等，則這個(gè)三角形有兩個(gè)角相等”的否命題：

③“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的逆否命題；

④“每個(gè)正方形都是平行四邊形”的否定.

A.1B.2C.3D.4

【解析】對(duì)于④“若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個(gè)整數(shù)能被5整除”的

逆命題為“若一個(gè)整數(shù)能被5整除，則這個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0",故①為假命題;

對(duì)于②，“若一個(gè)三角形有兩條邊相等，則這個(gè)三角形有兩個(gè)角相等”的逆命題

為“若一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形有兩條邊相等"，為真命題，由原

命題的逆命題與否命題的等價(jià)性知②為真命題;對(duì)于③，“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱“正確，由原命題與逆否命題的等價(jià)性知③為真命題;對(duì)于④,“每個(gè)正方

形都是平行四邊形”正確，則“每個(gè)正方形都是平行四邊形”的否定是假命題，

即④是假命題.故選B.

【答案】B

9.（2017華北十校模擬）有下列三個(gè)命題：

①“面積相等的三角形全等"的否命題；

②“若-1,則f-2x廿0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；

③“若/n丑,則羔歹的逆否命題.

第37頁(yè)?

其中真命題是.（填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)）

【解析】對(duì)于。“面積相等的三角形全等”的否命題是“面積不相等的三

角形不全等”，顯然覿真命題;對(duì)于②，若f-2戶肝0有實(shí)數(shù)解，則4

解得慶1,所以“若=1,則有實(shí)數(shù)解”是真命題，故其逆否命題是真

命題;對(duì)于③，若4n咫氏則醫(yī)4故原命題是假命題,所以其逆否命題是假命題.

【答案】。②

10.（2017湖南衡陽(yáng)期末）已知P：黑函數(shù)產(chǎn)（，-所1）/在（0"8）上單調(diào)遞

增,q：/所2/<1,則p是《的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【解析】：案函數(shù)尸3HD『在（0,+8）上單調(diào)遞增,.4RT=L是0,解

得游2由/ffl-2/<1,解得1QK3.故P是q的充分不必要條件.

【答案】A

11.（2017武漢聯(lián)考）原命題為“若燈=1,則加y互為倒數(shù)”，則（）.

A.其逆命題與逆否命題是真命題，否命題是假命題

B.其逆命題是假命題,否命題和逆否命題是真命題

C.其逆命題和否命題是真命題，逆否命題是假命題

D.其逆命題、否命題、逆否命題都是真命題

【解析】原命題“若刀=1,則互為倒數(shù)”是真命題.

原命題的逆命題為“若互為倒數(shù)，則燈=1*，其是真命題.

因?yàn)槟婷}和否命題互為逆否命題，所以否命題是真命題.

原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，故其逆否命題是真命題.

【答案】D

12.(2017廣西模擬)已知命題“若函數(shù)f(力氣'加在(Q.+8)上是增函數(shù)，則。

《1”，則下列結(jié)論正確的是().

A.否命題“若函數(shù)fU)F*的在(0"8)上是減函數(shù)，則91”是真命題

B.逆否命題“若也＞1,則函數(shù)f(x)=e*如在(0"8)上不是增函數(shù)”是真命

題

C.逆否命題“若公1,則函數(shù)fU)=e"加在(0"8)上是減函數(shù)”是真命題

D.逆否命題“若"1,則函數(shù)■在(0,+8)上是增函數(shù)”是假命題

【解析】TFCOb-aur,.：/*'(*)氣"-za

又：丁(力在(0,+8)上是增函數(shù)，

.：f'(x)k-02O在(0,*8)上恒成立，.:辰1?

.:原命題是真命題，其逆否命題“若求1,則函數(shù)人力氣,-照在(0.+8)上不

是增函數(shù)”也是真命題，.:B正確,CD錯(cuò)誤.A錯(cuò)誤，否命題應(yīng)為“若函數(shù)

在(0,+8)上不是增函數(shù)，則加>1”.故選B.

【答案】B

13.(2017山東濰坊模擬)若“m>a”是“函數(shù)的圖象不過(guò)第三象限”

的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】：?函數(shù)的圖象不過(guò)第三象限，?:I*。。，解得皿》

一.:?“小a”是“函數(shù)爪而=0)“%的圖象不過(guò)第三象限”的必要不充分條件,

【答案】(4")

14.(2017上海市風(fēng)華中學(xué)期中)定義:若應(yīng)《冬蠅(mWZ),則用叫作離實(shí)數(shù)x

最近的整數(shù)，記作3，即折㈤.給出關(guān)于函數(shù)/U)寸-3的四個(gè)命題：

①定義域?yàn)镽,值域?yàn)?T*］；

②點(diǎn)(A,0)(AWZ)是函數(shù)式外圖象的對(duì)稱中心；

③函數(shù)/(%)的最小正周期為1；

④函數(shù)4)在(-得上是增函數(shù).

其中，真命題的序號(hào)是.

【解析】令xWa,ae(T，m，則f(x)f{x}=&e(H］，,：①正確.

第40頁(yè)?

令耳貝)丑K

.：/(3#-4彳),即函數(shù)ftr)不關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，?:②錯(cuò)誤.

:=(x+l)-{*+1}三r-{x}=f(x)?

.：函數(shù)f(x)的最小正周期為1,.：③正確.

當(dāng)月時(shí)，楨,噌月

當(dāng)號(hào)時(shí)**=o??JK*

?啕啕，?:所誤.

【答案】(D?

§1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

，必備知識(shí)，

簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.命題中的“”“”“”叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞.

2.命題p/\q,pVq,Up的真假判定

二全稱命題與存在命題

1.全稱量詞：短語(yǔ)“”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱量詞,

用符號(hào)“叼”表示.

2.全稱命題:含有的命題，叫作全稱命題.全稱命題“對(duì)"中任意一

個(gè)司有p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為.

3.存在量詞:短語(yǔ)“”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞,

用符號(hào)“”表示.

4.特稱命題:含有存在量詞的命題,叫作特稱命題.特稱命題“存在"中的一

個(gè)元素4，使P(加成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為.

三含有一個(gè)量詞的命題的否定

命題命題的否定

句技_____

加p5)

auw_____

Kp(4).

第43頁(yè)?

nr左學(xué)右考

@判斷下列結(jié)論是否正確*正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”.

(1)命題p且q為假命題,則命題pg都是假命題.