第7單元數(shù)列（基礎(chǔ)篇）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=12，S5=90，則等差數(shù)列{an}公差d=（）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【解析】∵a1=12，S5=90，∴，解得d=3，故選C．2．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列中，且，，可得，又因?yàn)椋?，則，故選D．3．在等差數(shù)列中，，則（）A．72 B．60 C．48 D．36【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，，故本題選B．4．中國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”．其大意：現(xiàn)有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的里程數(shù)是前一天的一半，連續(xù)走了7天，共走了700里，則這匹馬第7天所走的路程等于（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】A【解析】設(shè)馬每天所走的路程是，是公比為的等比數(shù)列，這些項(xiàng)的和為700，，，故答案為A．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)的值為（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，所以，又，所以，，且，所以，，所以滿足的最大正整數(shù)的值為10．6．已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列，則（）A．15 B． C．30 D．25【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，解得．∴．故選D．7．在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則數(shù)列的前11項(xiàng)和等于（）A．66 B．132 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，是方程的兩根，所以，又，所以，，故選D．8．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前15項(xiàng)和為（）A．110 B．114 C．124 D．125【答案】B【解析】由題意，次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)的楊輝三角形的第行，令，可得二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和，其中第1行為，第2行為，第3行為，以此類推，即每一行的數(shù)字之和構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的對邊數(shù)列，則楊輝三角形中前行的數(shù)字之和為，若除去所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的數(shù)字的個(gè)數(shù)為，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，令，解得，所以前15項(xiàng)的和表示前7行的數(shù)列之和，減去所有的1，即，即前15項(xiàng)的數(shù)字之和為114，故選B．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則通項(xiàng)公式等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且時(shí)，，則，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，本題正確選項(xiàng)C．10．已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用排除法，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，排除A；當(dāng)時(shí)，，B符合題意；當(dāng)時(shí)，，排除C；當(dāng)時(shí)，，排除D，故選B．11．已知數(shù)列：，那么數(shù)列前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：，，，本題正確選項(xiàng)B．12．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴．∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．∴，則．故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知等比數(shù)列滿足，且，則_______．【答案】8【解析】∵，∴，則，∴，故答案為8．14．若三數(shù)成等比數(shù)列，其積為8，首末兩數(shù)之和為4，則公比q的值為_______．【答案】1【解析】三數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，可設(shè)三數(shù)為，，，可得，求出，公比的值為1．15．在數(shù)列中，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．【答案】【解析】由，，可得，，，……，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為，本題正確結(jié)果．16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為__________．【答案】2【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，整理得，又，解得，存在兩項(xiàng)，使得，，整理得，，則的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，但此時(shí)，．又，所以只有當(dāng)，時(shí)，取得最小值是2．故答案為2．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知等差數(shù)列的公差不為0，，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）成等比數(shù)列，，即，化簡得，∵公差，，，，．（2）由（1）知，故是首項(xiàng)為4、公差為2的等差數(shù)列，所以．18．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）見詳解．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為()，由題意得，則，化簡得，解得，所以．（2）證明：，所以．19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，整理可得，，解得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．（2）由題意可得：，所以，兩式相減可得，∴．20．（12分）已知數(shù)列滿足，，．（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】（1）證明見解析，；（2）見解析．【解析】（1）由，得，即，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得：，，，又，，，即．21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由條件，得，即，，所以{an}的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，（1）當(dāng)（k=1，2，3，…）即n為奇數(shù)時(shí)，，，；（2）當(dāng)（k=1，2，3，…）：即n為偶數(shù)時(shí)，，，，綜上所述，．22．（12分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見證明，；（2）．【解析】（1）證明：∵，且，當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，有，即，即．于是，即．∵，∴為常數(shù)，∴數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴．（2）由（1）可得，∴，，即對任意都成立，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，令，，在上為增函數(shù)，；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，又，在為增函數(shù)，，∴由①②可知：，綜上所述的取值范圍為．第7單元數(shù)列（提高篇）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，故選A．2．已知等比數(shù)列中，，，則的值是（）A．16 B．14 C．6 D．5【答案】D【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，由，得，，本題正確選項(xiàng)D．3．等比數(shù)列中，，，則（）A．240 B．±240 C．480 D．±480【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列中的公比為，由，，得，解得，．4．我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為（）A．369 B．321 C．45 D．41【答案】A【解析】根據(jù)題意可知，幻方對角線上的數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對角線的兩個(gè)數(shù)相加正好等于，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故選A．5．已知1，，，9四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，1，，，，9五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則（）A．8 B．-8 C．±8 D．【答案】A【解析】由1，，，9成等差數(shù)列，得公差，由1，，，，9成等比數(shù)列，得，∴，當(dāng)時(shí)，1，，成等比數(shù)列，此時(shí)無解，所以，∴．故選A．6．已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，滿足，且，，成等差數(shù)列，則（）A． B．6 C．7 D．9【答案】C【解析】數(shù)列是公比不為l的等比數(shù)列，滿足，即，且，，成等差數(shù)列，得，即，解得，則．故選C．7．將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5，9，14，20，，為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2016項(xiàng)與5的差，即（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知的圖形我們可以得出圖形的編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為：n=1時(shí)，；n=2時(shí)，；…，由此我們可以推斷：，∴．故選C．8．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．15【答案】B【解析】因?yàn)?，故答案選B．9．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，，（），則（）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【解析】由，得，又，∴，∴，即數(shù)列{1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，則．∴．故選B．10．?dāng)?shù)列滿足：，若數(shù)列是等比數(shù)列，則的值是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列為等比數(shù)列，即，上式恒成立，可知，本題正確選項(xiàng)B．11．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則（）A．2019 B． C．2 D．【答案】A【解析】，，為等比數(shù)列，則，，即．12．已知是公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，成等比數(shù)列，，若數(shù)列的前項(xiàng)和對任意的恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，成等比數(shù)列得，又是公比不為1的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則，整理得，，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則當(dāng)n=1時(shí)取到最小值為，可得，即的最大值為，故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知是等差數(shù)列，，則_________．【答案】36【解析】是等差數(shù)列，，，得出，又由．14．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，也適用，所以．15．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．請寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】（答案不唯一）【解析】，則數(shù)列是遞增的，，即最小，只要前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，或前5項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)為0，即可，所以，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（答案不唯一）．16．已知函數(shù)，數(shù)列中，，則數(shù)列的前40項(xiàng)之和__________．【答案】【解析】函數(shù)且數(shù)列中，，可得；；；；；；…，可得數(shù)列為，，，，，，，，，，…，即有數(shù)列的前項(xiàng)之和：，本題正確結(jié)果．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)的公比為q，的公差為d，由題意，由已知，有，即，所以的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為．（2），分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到．18．（12分）己知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，滿足，．（2）由（1）可知，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．19．（12分）已知數(shù)列滿足：，．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，；（2）．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以是首?xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）可知：，所以由，①；②，①-②得．20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和及的最小值．【答案】（1）；（2），最小值．【解析】（1）當(dāng)n=1時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得．則，故是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，．（2），則，兩式作差得，所以，令，有，對恒成立，則數(shù)列是遞減數(shù)列，故為遞增數(shù)列，則．21．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，，由，可得，即，又是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，，由題意得：，由兩式相除，得，