第11單元直線與圓（基礎(chǔ)篇）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線垂直的直線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直線的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選C．2．直線，，的斜率分別為，，，如圖所示，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)三條直線的傾斜角為，根據(jù)三條直線的圖形，可得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，故，即，故選A．3．已知圓，則圓心到直線的距離等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，則圓心，則圓心到直線的距離等，故選D．4．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則（）A．2 B．4 C． D．與的取值有關(guān)【答案】B【解析】由圓，得圓心，半徑，又直線恒過(guò)圓心，則弦長(zhǎng)，故選B．5．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，圓方程，即為，∴圓心坐標(biāo)為，半徑為1．設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，∴所求圓的圓心坐標(biāo)為，∴所求圓的方程為．故選D．6．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，的中點(diǎn)為，，故，解得，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A．7．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)為圓的弦AB的中點(diǎn)，圓心與點(diǎn)P確定直線的斜率為，故弦AB所在直線的斜率為2，所以直線AB的直線方程，即．8．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】將曲線的方程，化簡(jiǎn)為，即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：由圓心到直線的距離等于半徑2，可得，解得或，結(jié)合圖象可得，故選D．9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程為（）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】，圓心坐標(biāo)坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線存在斜率，切線方程為，圓心到它的距離為，所以有，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線不存在斜率時(shí)，即，顯然圓心到它的距離為，所以不是圓的切線，因此切線方程為，故本題選C．10．已知且為常數(shù)，圓，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦最短時(shí)，直線的方程為，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】圓C：化簡(jiǎn)為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖：由題意可得，當(dāng)弦最短時(shí)，過(guò)圓心與點(diǎn)（1，2）的直線與直線垂直．則，即．故選B．11．過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，若是正三角形，則直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓，即，圓心為（1，0），半徑，設(shè)正的高為h，由題意知，為正的中心，∴M到直線l的距離，又，即，∴由垂徑定理可得，可得，∴由題意知設(shè)直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則直線l的方程為，即，則有，解可得或0（舍），故選D．12．已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，那么k的取值范圍是（）A． B．2 C． D．2【答案】B【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為d，若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，則，則有，設(shè)與的夾角即，若，即，變形可得，則，當(dāng)時(shí)，，若，則，解可得，則k的取值范圍為，故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知兩條直線：，：，則與的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)椋嚎苫癁椋耘c的距離為．故答案為．14．已知兩直線與的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______．【答案】【解析】由與的交點(diǎn)，所以，，．15．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”意思是：在兩條直角邊分別為八步和十五步的直角三角形中容納一個(gè)圓，請(qǐng)計(jì)算該圓直徑的最大值為_(kāi)_______步．【答案】6【解析】如圖所示：，設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為步，，由圓的切線性質(zhì)可知：過(guò)圓切點(diǎn)的半徑垂直過(guò)該切點(diǎn)的切線，所以有，所以該圓直徑的最大值為6步．16．已知圓上存在兩點(diǎn)A，B，P為直線x＝5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP⊥BP，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取值范圍是_______．【答案】[2，6]【解析】要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，顯然當(dāng)PA切圓C于點(diǎn)A，PB切圓C于點(diǎn)B時(shí)，∠APB最大，此時(shí)∠CPA最大為45°，則，即，設(shè)點(diǎn)，則，解得．故答案為[2，6]．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）直線的斜率，則邊上高所在直線斜率，則邊上的高所在的直線方程為，即．（2）的方程為，．點(diǎn)到直線的距離，，則的面積．18．（12分）已知過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)．（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若一條光線從點(diǎn)出發(fā)射向直線，經(jīng)反射后恰好過(guò)點(diǎn)，求這條光線從到經(jīng)過(guò)的路程．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知有：，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，．（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)，依題意有，解得，，，這條光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為．19．（12分）已知圓的方程為，求：（1）斜率為且與圓相切的直線方程；（2）過(guò)定點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（l）設(shè)切線方程為，則圓心到該直線的距離，解得或，所求切線方程為或．（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則圓心到該直線的距離，解得，切線方程為，即，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線也是圓的切線，綜上所述：所求切線方程為或．20．（12分）已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)距離的2倍．（1）求點(diǎn)的軌跡；（2）若過(guò)點(diǎn)作軌跡的切線，求此切線的方程．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或．【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，坐標(biāo)代入得，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓．（2）設(shè)是圓的切線，則有，當(dāng)不存在時(shí)，恰好與圓切于點(diǎn)，綜合得：切線方程為或．21．（12分）在平面內(nèi)，已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線：與的軌跡交于，兩點(diǎn)，是否存在直線，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在直線l，使得，此時(shí)．【解析】（1）設(shè)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)，且Q是線段PA的中點(diǎn)，，，在圓C：上運(yùn)動(dòng)，，即，點(diǎn)Q的軌跡方程為．（2）設(shè)，，將代入方程圓的方程，即，．由，得，，，，，即，解得舍，或．存在直線l，使得，此時(shí)．22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，且圓與軸交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的方程為．（1）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求直線的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)．①，求直線的方程；②直線與直線相交于點(diǎn)，直線，直線，直線的斜率分別為，，，是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①直線的方程為；②存在常數(shù)，使得恒成立．【解析】（1）由題意，，圓心到直線的距離，直線與圓相切，，解得，直線方程為．（2）①設(shè)，由，得，由，解得，，，，直線的方程為．②由題意知：，，則，與圓聯(lián)立，得，，，，同理可得，，，整理可得，，，設(shè)，，，，即，，，存在常數(shù)，使得恒成立．第11單元直線與圓（提高篇）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知直線，，若，則的值為（）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，解得，故選B．2．若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【解析】如圖所示，直線有兩種情況，故的傾斜角為或．3．已知圓截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，且圓過(guò)點(diǎn)和，則圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵圓C在兩坐標(biāo)軸上截得弦長(zhǎng)相等，∴C在直線y＝x或y＝﹣x上，①當(dāng)C在y＝x上時(shí)，設(shè)C（m，m），半徑為R，則，解得m＝1，＝5，∴R=；②當(dāng)C在y＝﹣x上時(shí)，設(shè)C（m，﹣m），半徑為R，則，無(wú)解；∴圓的半徑為，故選D．4．已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，得圓心為，半徑，圓心到直線的距離，又弦長(zhǎng)，由垂徑定理得，即，所以，故選B．5．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，故選D．6．設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意作出圖像如下：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則它們的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，由對(duì)稱性可得，解得，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，此時(shí)最大值為，故選A．7．若直線過(guò)點(diǎn)，則該直線在軸、軸上的截距之和的最小值為（）A．1 B．4 C．2 D．8【答案】B【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，，因?yàn)橹本€在軸的截距為，在軸上的截距為，所以直線在軸、軸上的截距之和的最小值為，，所以當(dāng)時(shí)取最小值，最小值為，故選B．8．已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】如圖所示，由幾何圖形易知點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)有最小值，其面積為．故選A．9．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A心，半徑，直線與圓相交，所以，解得，所以相交的概率，故選C．10．已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)B在圓上，故有，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)M的軌跡是圓心為，半徑為1的圓，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)M到直線的最大距離為4．故選B．11．已知函數(shù)，若函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，可得，即函數(shù)，其圖像為過(guò)點(diǎn)的一條直線，，其圖像為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的，上半圓，由圖像可知，過(guò)點(diǎn)的直線與上半圓至少有一個(gè)交點(diǎn)需要滿足直線與圓相交或相切．相切時(shí)，由，解得，因?yàn)榕c上半圓相切，所以，所以的取值范圍為．12．已知圓：，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為（）A．12 B．6 C． D．【答案】A【解析】由題可知，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，的邊，故當(dāng)?shù)街本€的距離最大時(shí)，的面積最大，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以到直線的距離的最大值為，故的面積的最大值為．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．過(guò)直線和直線的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】由交點(diǎn)，又直線的斜率為，所求直線與直線垂直，所求直線的斜率為，所求直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故答案為．14．光線由點(diǎn)P(2，3)射到直線上，反射后過(guò)點(diǎn)Q(1，1)，則反射光線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)镻點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，所以反射光線方程為，．15．直線與圓交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則______．【答案】或【解析】圓，即，圓的圓心為，半徑為，∵直線與圓交于兩點(diǎn)且為等邊三角形，∴，故圓心到直線的距離為，即，解得或，故答案為或．16．已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)使得，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，本題正確結(jié)果．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．（1）求中過(guò)，邊上中點(diǎn)的直線方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）10．【解析】（1）∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∴．又∵點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)是，的中點(diǎn)坐標(biāo)是．過(guò)，的直線方程是，整理得．（2）易知，，，∴的面積．18．（12分）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為，為的中點(diǎn)，且所在的直線方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上的截距相等的直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由已知得，直線的方程為，即，由，解得，的坐標(biāo)為．（2）設(shè)，則，則，解得，直線在軸、軸上的截距相等，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入，得，解得，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入，得，解得，此時(shí)直線的方程為，直線的方程為或．19．（12分）已知點(diǎn)與圓．（1）設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，因?yàn)闉閳A上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，即的軌跡方程．（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，則設(shè)切線方程為，即，故，解得，此時(shí)切線方程為．所以切線方程為或．20．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸正半軸上，為直線上一點(diǎn)，圓與軸相切（為圓心），且，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（1）求圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線交圓于，兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：．【答案】（1）的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）見(jiàn)證明．【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．已知在直線上，故可設(shè)，因?yàn)椋P(guān)于對(duì)稱，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榕c軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，直線的斜率存在，設(shè)為，且方程為，則到直線的距離為，所以，，由，消去并整理得．設(shè)，，則，，．所以因?yàn)?，，，所以，所以，即?1．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓O：相切．（1）直線l過(guò)點(diǎn)(2，1)且截圓O所得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；（2）已知直線y＝3與圓O交于A，B兩點(diǎn)，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，且直線AP，BP與y軸相交于M，N點(diǎn)．判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定