階段質(zhì)量評(píng)估(六)推理與證明(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列推理正確的是()A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(x＋y)n類比，則有(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz)解析：選項(xiàng)A，B，C所得結(jié)論均為錯(cuò)誤結(jié)論，只有選項(xiàng)D所得結(jié)論正確．答案：D2．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面三角形()A．內(nèi)任一點(diǎn) B．某高線上的點(diǎn)C．中心 D．外的某點(diǎn)解析：將三角形類比為正四面體，三角形三邊的中點(diǎn)可類比為四個(gè)側(cè)面三角形的中心．答案：C3．在△ABC中，sinAsinC＞cosAcosC，則△ABC一定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定解析：由sinAsinC＞cosAcosC，可得cos(A＋C)＜0，即cosB＞0.所以B為銳角．但并不能判斷角A，C，故選D.答案：D4．用反證法證明：“方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇數(shù)，則方程沒有整數(shù)根”時(shí)，正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根x0為()A．整數(shù) B．奇數(shù)或偶數(shù)C．正整數(shù)或負(fù)整數(shù) D．自然數(shù)或負(fù)整數(shù)解析：“方程沒有整數(shù)根”的否定是“方程有整數(shù)根”，由于方程ax2＋bx＋c＝0中，a，b，c都是奇數(shù)，故0不是方程的根．因此正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根x0為正整數(shù)或負(fù)整數(shù)．答案：C5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得結(jié)果為()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3解析：當(dāng)n＝1時(shí)，代入n＋1得2.故驗(yàn)證當(dāng)n＝1成立時(shí)，左邊應(yīng)為1＋a＋a2.答案：C6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) B．a(chǎn)＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a(chǎn)＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D．不存在這樣的a，b，c解析：令n＝1,2,3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－b＋c＝1，,92a－b＋c＝7，,273a－b＋c＝34.))解得a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)等式對(duì)一切n∈N＋均成立．答案：A7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,\r(2))＋…＋eq\f(1,\r(n))＞eq\r(n)(n∈N＋)的步驟(1)中，驗(yàn)證n的初始值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：當(dāng)n＝1時(shí)不等式不成立，當(dāng)n＝2時(shí)不等式成立．因此，步驟(1)中驗(yàn)證n的初始值為2.答案：B8．已知數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3·…·b9＝29，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則數(shù)列{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3·…·aB．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3·…·a9D．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5答案：D9．下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x＞0時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最小值為2D．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，x－eq\f(1,x)無最大值解析：選項(xiàng)A錯(cuò)在lgx的符號(hào)不確定；選項(xiàng)C錯(cuò)在等號(hào)成立的條件不存在；根據(jù)函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)的單調(diào)性，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最大值eq\f(3,2)，故選項(xiàng)D不正確．答案：B10．某同學(xué)在電腦上打出如下若干個(gè)“★”和“○”：★○★○○★○○○★○○○○★○○○○○★……依此規(guī)律繼續(xù)打下去，那么在前2014個(gè)圖形中的“★”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．61C．62 D．63解析：第一次出現(xiàn)“★”在第一個(gè)位置，第二次出現(xiàn)“★”在第(1＋2)個(gè)位置，第三次出現(xiàn)“★”在第(1＋2＋3)個(gè)位置，…，第n次出現(xiàn)“★”在第(1＋2＋3＋…＋n)個(gè)位置．∵1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，∴當(dāng)n＝62時(shí)，eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(62×62＋1,2)＝1953，2014－1953＝61＜63.∴在前2014個(gè)圖形中“★”的個(gè)數(shù)是62.答案：C11．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，從k到k＋1，左邊需要增乘的代數(shù)式為()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，∴增乘的式子為eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．答案：B12．對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)和區(qū)間D，若存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，則稱x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”．現(xiàn)給出下列4對(duì)函數(shù)：①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3；②f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝x＋2；③f(x)＝e－x，g(x)＝－eq\f(1,x)；④f(x)＝lnx，g(x)＝x－eq\f(1,2).其中在區(qū)間(0，＋∞)上存在“友好點(diǎn)”的是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：對(duì)于①，|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－3)|＝|(x－1)2＋2|≥2，所以函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上不存在“友好點(diǎn)”，①錯(cuò)誤，應(yīng)排除選項(xiàng)A，D；對(duì)于②，|f(x)－g(x)|＝|eq\r(x)－(x＋2)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))2＋\f(7,4)))≥eq\f(7,4)，所以函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上也不存在“友好點(diǎn)”，②錯(cuò)誤，排除選項(xiàng)B；同理，可知③④均正確．答案：C第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝______________.解析：∵f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1).答案：eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)14．已知點(diǎn)A(x1,3x1)，B(x2,3x2)是函數(shù)y＝3x的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論eq\f(3x1＋3x2,2)＞3eq\f(x1＋x2,2)成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，tanx1)，B(x2，tanx2)是函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜x＜0))的圖象上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有______________成立．解析：因?yàn)閥＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜x＜0))圖象是上凸的，所以線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)eq\f(tanx1＋tanx2,2)總是小于函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜x＜0))圖象上的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，tan\f(x1＋x2,2)))的縱坐標(biāo)，即有eq\f(tanx1＋tanx2,2)＜taneq\f(x1＋x2,2)成立．答案：eq\f(tanx1＋tanx2,2)＜taneq\f(x1＋x2,2)15．(2017·湖北卷)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形數(shù)N(n,4)＝n2，五邊形數(shù)N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六邊形數(shù)N(n,6)＝2n2－n，……可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝____________.解析：先根據(jù)給出的幾個(gè)結(jié)論，推測(cè)出當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)的表達(dá)式，然后再將n＝10，k＝24代入，計(jì)算N(10,24)的值．由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－1))n2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－2))n.于是N(n,24)＝11n2－10n.故N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.答案：100016．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)樹枝，則an＋1與an(n≥2)之間的關(guān)系是____________.答案：an＋1＝2an＋1三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．證明：(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．設(shè)a＝2n＋1(n∈Z)，則a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶數(shù)．∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．18．(12分)已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an＞0，則數(shù)列bn＝eq\r(n,a1a2…an)(n∈N＋)也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)如下：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)也是等差數(shù)列．證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝eq\f(na1＋\f(nn－1d,2),n)＝a1＋eq\f(d,2)·(n－1)．∴數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)，eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列．19．(12分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\f(\r(b2－ac),a)＜eq\r(3).證明：∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.要證明原不等式成立，只需證明eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a，即證b2－ac＜3a2從而只需證明(a＋c)2－ac＜3a2即(a－c)(2a＋c)∵a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b∴(a－c)(2a＋c)＞0成立故原不等式成立．20．(12分)已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)實(shí)數(shù)．∵a＋b＝c＋d＝1，∴a，b，c，d∈[0,1]．∴ac≤eq\r(ac)≤eq\f(a＋c,2)，bd≤eq\r(bd)≤eq\f(b＋d,2).∴ac＋bd≤eq\f(a＋c,2)＋eq\f(b＋d,2)＝1.這與已知ac＋bd＞1相矛盾，故原假設(shè)不成立，即證得a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．21．(12分)是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式1(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：假設(shè)存在a，b，c，使得所給等式成立．令n＝1,2,3，代入等式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝3，,81a＋9b＋c＝18.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝－\f(1,4)，,c＝0.))以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝eq\f(1,4)n4－eq\f(1,4)n2對(duì)一切正整數(shù)n都成立．①當(dāng)n＝1時(shí)，由以上可知等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝eq\f(1,4)k4－eq\f(1,4)k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝eq\f(1,4)k4－eq\f(1,4)k2＋(2k＋1)·eq\f(kk＋1,2)＝eq\f(1,4)(k＋1)4－eq\f(1,4)(k＋1)2.由①②知，等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立．22．(12分)(2015·浙江卷