Page23Page23浙江省新陣地教化聯(lián)盟2025屆其次次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3．答題時(shí)，請(qǐng)依據(jù)答題紙上“留意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷（選擇題部分，共60分）一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合交集的定義即可求解.【詳解】由，得，解得，所以，因?yàn)?，所以以，所以，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿意，則的虛部為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，依據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的概念求解即可.【詳解】，，，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A3.已知向量，，若與反向共線，則值為（）A.0 B.48 C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量反向共線求得，再應(yīng)用向量線性運(yùn)算及模長(zhǎng)的表示求.【詳解】由題意，得，又與反向共線，故，此時(shí)，故.故選：C.4.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，分類探討求解作答.【詳解】函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C5.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程確定，且焦點(diǎn)在軸上，從而得到方程，求出答案.【詳解】表示的為雙曲線，故，且焦點(diǎn)在軸上，由題意得，解得，負(fù)值舍去.故選：B6.過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解出直線的方程，在圓中求出弦長(zhǎng)，再求出點(diǎn)到直線的距離，從而得出的面積.【詳解】解：設(shè)圓的圓心為，因?yàn)檫^點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，所以，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)為，故的方程為，即，將兩圓聯(lián)立方程組，解得，故直線：，點(diǎn)到直線：的距離為，在圓中，點(diǎn)到直線：的距離為，所以，解得，所以的面積為.故選：B.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先對(duì)兩式進(jìn)行平方，進(jìn)而可求出的值，依據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故?故選：D.8.記為公比不是1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．設(shè)甲：，，依次成等差數(shù)列．乙：，，依次成等差數(shù)列．．則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】【分析】分別考慮充分性和必要性即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，充分性：若，，依次成等差數(shù)列，則，則，有，，所以，，依次成等差數(shù)列.充分性滿意.必要性：若，，依次成等差數(shù)列，有，則，，所以，，依次成等差數(shù)列，必要性滿意.所以是充要條件.故選：C二、多選題9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不全相等的正實(shí)數(shù)．下列說法正確的是（）A.樣本甲的極差可能等于樣本乙的極差B.樣本甲的方差確定大于樣本乙的方差C.若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為D.若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)極差，方差和中位數(shù)，平均數(shù)的定義和公式，即可推斷選項(xiàng).【詳解】樣本甲的極差為，樣本乙的極差為，由為不全相等的正實(shí)數(shù)，所以，則樣本甲和乙的極差不相等，故A錯(cuò)誤；設(shè)甲的方差為，那么乙的方差為，所以樣本甲的方差小于樣本乙的方差，故B錯(cuò)誤；依據(jù)中位數(shù)的定義可知，若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為，故C正確；依據(jù)平均數(shù)公式可知，，樣本乙的平均數(shù)，故D正確.故選：CD10.聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）之間的關(guān)系是：，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)稱為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為，稱為痛閾.某歌頌家唱歌時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)范圍為（單位：），下列選項(xiàng)中正確的是（）A.聞閾的聲強(qiáng)級(jí)為B.此歌頌家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C.假如聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉淼?倍D.聲強(qiáng)級(jí)增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)題中所給聲強(qiáng)級(jí)與聲強(qiáng)之間的關(guān)系式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及函數(shù)的性質(zhì)逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】由題意，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，即，則，故歌頌家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍為（單位：），故B正確；將聲強(qiáng)為對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)作商為，故C錯(cuò)誤；將，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)作商為，故D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，正四面體的棱長(zhǎng)為a，則以下說法正確的是（）A.正方體的內(nèi)切球直徑為4B.正方體的外接球直徑為C.若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D.若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】求得正方體外接球的直徑推斷選項(xiàng)A、B，對(duì)于C，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球；對(duì)于D，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球.【詳解】對(duì)于A，正方體的內(nèi)切球直徑即其棱長(zhǎng)，所以直徑為4，A正確；對(duì)于B，正方體的外接球直徑即其體對(duì)角線，所以直徑為，B錯(cuò)誤；正四面體的棱長(zhǎng)為a因?yàn)檎拿骟w的外接球的球心O到點(diǎn)F、G、H的距離相等，所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影，到點(diǎn)F、G、H的距離相等，又因?yàn)樵谡拿骟w中是正三角形，所以是的中心，進(jìn)而在正四面體中，有平面，所以球心O在高線上，同理：球心O也在其它面的高線上，又正四面體中各面上的高都相等，所以由得，點(diǎn)O到正四面體各面的距離相等，所以點(diǎn)O也是正四面體的內(nèi)切球的球心，這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合．記正四面體的高為，則.因此，只要求出其中一個(gè)，則另一個(gè)也出來了因?yàn)樵谡拿骟w中，是正三角形，是其中心，所以，因?yàn)槠矫?平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對(duì)于C，若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球，又由棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球半徑，C正確；對(duì)于D，正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球，又由棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球半徑，D正確.故選：ACD.12.已知定義在R上的函數(shù)滿意，，則（）A. B.4是的一個(gè)周期C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由已知整理可得，賦值即可推斷A項(xiàng)；依據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可得出，，從而得出的對(duì)稱性以及周期性，進(jìn)而推斷B、C項(xiàng)；由A得出，賦值分組求和，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知，，可得，，整理可得，.當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，，，所以，，.所以，關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，4是的一個(gè)周期，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B知，.當(dāng)時(shí)，有，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由A知，.所以有，，，，，.又時(shí)，代入，即可得出，所以，，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：D項(xiàng)，賦值得出數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，然后分組求和.第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分）三、填空題13.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為2，4，母線長(zhǎng)為6，則該圓臺(tái)的表面積是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓臺(tái)的表面積，即可求解.詳解】設(shè)上底面半徑，下底面半徑，母線，則圓臺(tái)的表面積.故答案為：14.首個(gè)全國(guó)生態(tài)主場(chǎng)日活動(dòng)于在浙江湖州實(shí)行，推動(dòng)能耗雙控轉(zhuǎn)向碳排放雙控．有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項(xiàng)議程在該天實(shí)行，每個(gè)議程有半天會(huì)期．現(xiàn)在有甲、乙、丙三個(gè)會(huì)議廳可以利用，每個(gè)會(huì)議廳每半天只能容納一個(gè)議程．若要求A，B兩議程不能同時(shí)在上午實(shí)行，而C議程只能在下午實(shí)行，則不同的支配方案一共有______種．（用數(shù)字作答）【答案】252【解析】【分析】分兩種狀況，A，B議程中有一項(xiàng)在上午和A，B議程都支配在下午，結(jié)合排列組合學(xué)問進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】分兩種狀況，第一種，A，B議程中有一項(xiàng)在上午，有一項(xiàng)在下午實(shí)行，先從3個(gè)上午中選1個(gè)和3個(gè)下午中選一個(gè)，由A，B議程進(jìn)行選擇，有種選擇，再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)下午中選擇1個(gè)支配C議程，有種選擇，剩余的3場(chǎng)會(huì)議和3個(gè)時(shí)間段進(jìn)行全排列，有種選擇，所以有種選擇，其次種，A，B議程都支配在下午，C議程也依據(jù)在下午，故下午的3個(gè)時(shí)間段進(jìn)行全排列，有種選擇，再將剩余的3個(gè)議程和3個(gè)上午時(shí)間段進(jìn)行全排列，有種選擇，所以有種選擇，綜上：不同的支配方案一共有種選擇.故答案為：25215.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】先求出的范圍，由函數(shù)沒有零點(diǎn)可得到且，由此可得且，從而得出的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，解得且，故，解得，因?yàn)?，故或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與拋物線相切于點(diǎn)，與軸相切于點(diǎn)，則______．【答案】2【解析】【分析】首先得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，不妨令在第一象限，設(shè)，則圓的半徑，即可得到圓的方程，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，依題意可得與拋物線在點(diǎn)處的切線垂直，即可得到、的方程組，解得，即可求出，最終依據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，依題意不妨令在第一象限，設(shè)，則圓的半徑，設(shè)（），則圓方程為，由，可得，則，所以拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，依題意可得與拋物線在點(diǎn)處的切線垂直，所以，則①，又點(diǎn)在圓上，所以，則②，所以，整理可得，解得或（舍去），所以，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是拋物線在點(diǎn)的切線同時(shí)也是圓在點(diǎn)的切線，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圓的切線的性質(zhì)得到方程組.四、解答題17.如圖，在三棱錐中，，．（1）證明：；（2）若，，點(diǎn)D滿意，求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析（2）45°．【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)O，連接，，由，得到，再由，得到，從而，然后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明；（2）過點(diǎn)O作平面，依據(jù)（1）建立空間坐標(biāo)系，分別求得平面一個(gè)法向量為和平面的一個(gè)法向量為，再由求解.【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)O，連接，．∵，∴，在與中，，，∴，∴，∴，又，平面，平面，所以平面，又平面，∴；【小問2詳解】過點(diǎn)O作平面．

由（1）知，建立如圖空間坐標(biāo)系，如圖：則，，，∵，，，∴設(shè)，得：解得，∴，∴，，，因?yàn)椋栽O(shè)平面一個(gè)法向量，則，，即，取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，，∴二面角夾角為45°．18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，求邊上的中線的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將條件式用商數(shù)關(guān)系切化弦，再利用三角恒等變換和正弦定理角化邊化簡(jiǎn)得，代入條件，結(jié)合余弦定理可得解；（2）由（1）得，利用正余弦定理角化邊得，由向量可得，平方依據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可得解.【小問1詳解】∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.【小問2詳解】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.19.已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后對(duì)a分類探討，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)推斷單調(diào)區(qū)間即可；（2）轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的最大值小于，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值可得證.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】由（1）得：要證：，即證：即證：令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；所以，從而命題得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，一般須要對(duì)結(jié)論進(jìn)行合適的轉(zhuǎn)化，本題轉(zhuǎn)化為只需的最大值小于，對(duì)不等式適當(dāng)變形，構(gòu)造函數(shù)是解決問題的其次個(gè)關(guān)鍵所在，一般需利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及最值.20.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由，列出方程求出公差公比，即可得出，的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，代入運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，兩式相減得：，設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，符合題意，∴，【小問2詳解】∵，，∴，令，，①，②①式減去②式得，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列每一項(xiàng)均相等且為，，當(dāng)時(shí)，，又，∴．21.杭州亞運(yùn)會(huì)定于2024年9月23日至10月8日實(shí)行．在此期間，參與亞運(yùn)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員可以在亞運(yùn)村免費(fèi)食宿．亞運(yùn)村的某餐廳從第一天起到最終一天，晩餐只推出“中式套餐”和“西式套謷”．已知某運(yùn)動(dòng)員每天晚餐會(huì)在該食堂供應(yīng)的這兩種套餐中選擇．已知他第一晚選擇“中式套餐”的概率為，而前一晚選擇了“中式套餐”，后一晚接著選擇“中式套餐”的概率為，前一晚選擇“西式套餐”，后一晚接著選擇“西式套餐”的概率為，如此往復(fù)．（1）求該運(yùn)動(dòng)員其次晚“中式套餐”套餐的概率；（2）記該運(yùn)動(dòng)員第晚選擇“中式套餐”的概率為（i）求；（ii）求該運(yùn)動(dòng)員在這16晚中選擇“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚數(shù)．【答案】（1）（2）（i）；（ii）2晩【解析】【分析】（1）分類兩種狀況探討：第一晚選擇“中式套餐”的概率為，則其次晚“中式套餐”套餐的概率為；第一晚選擇“西式套餐”的概率為，則其次晚“中式套餐”套餐的概率為，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）（i）先求出與之間的遞推關(guān)系，依據(jù)等比數(shù)列的學(xué)問求解出；（ii）由選擇“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率可知，從而解得的范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.【小問1詳解】解：記該運(yùn)動(dòng)員其次晚“中式套餐”套餐的概