Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座1競賽中的三角形問題高中聯(lián)賽中的向量問題具有純粹性,著重于對向量本質(zhì)特性--“數(shù)形二重性”的考察,需要充足挖掘蘊(yùn)含的幾何本質(zhì).一、知識結(jié)構(gòu)存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,則△ABC有解cosA+cosB>0.證明:△ABC有解C有解A+B有解0<A+B<π0<A<π-BcosA>cos(π-B)cosA>-cosBcosA+cosB>0.解的個數(shù)定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),則:(i)△ABC有一解sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解sin2A+cos2B>1.證明:△ABC有解角C有解sinC>0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB>0.所以當(dāng)sin2A+cos2B≤1時,只有一解;當(dāng)sin2A+cos2B>1時,有兩解.等價(jià)命題:在△ABC中,己知二邊a,b(b≤a)及其中一邊b的對角B,則△ABC有兩解、一解或無解函數(shù)f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分別有兩正的零點(diǎn)、一正的零點(diǎn)或無正的零點(diǎn)(含無實(shí)根).證明:在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,△ABC有兩解、一解或無解關(guān)于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有兩正根、一正根或無正根(含無實(shí)根)函數(shù)f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分別有兩正的零點(diǎn)、一正的零點(diǎn)或無正的零點(diǎn)(含無實(shí)根).數(shù)列命題:在△ABC中,(i)假如a、b、c成等比數(shù)列,則B∈(0,];(ii)假如a、b、c成等差數(shù)列,則B∈(0,];證明:(i)a、b、c成等比數(shù)列ac=b2cosB==≥=B∈(0,];(ii)a、b、c成等差數(shù)列a+c=2bcosB===≥=B∈(0,].Stewart定理:若點(diǎn)P是△ABC的邊BC上一點(diǎn),則PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×BC.A證明:設(shè)∠APB=α,則∠APC=π-α,則在△ABP中,AB2=PA2+PB2-2PA×PBcosα,在△APC中,AC2=PA2+PC2-2PA.PCcos(π-α)AC2=PA2+PC2+2PA×PCcosαPC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+BPCPB×PC×BC.由此可求三角形的中線和角平分線.二、典型問題1.正弦定理[例1]:(2023年第十七屆希望杯高二數(shù)學(xué)競賽試題)△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周長與最長邊的比值為m,那么m的最大值為.[解析]:[類題]:1.(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,則sinA:sinB:sinC=___.2.(2023年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)在△ABC中,若sin2A-sin2B-sin2C=0,且sinA=2sinBsinC則△(A)銳角三角形(B)鈍角三角形(C)等邊三角形(D)等腰直角三角形3.⑴(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,若tanA=,tanB=,且最長的邊的長為1,則最短邊的長等于.2Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座⑵(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,tanA=,cosB=.若最長的邊為1,則△ABC最短邊的長為.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)如圖,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300.A若AB=CD,則∠ACD的大小為(度).BDC5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)設(shè)△ABC內(nèi)接于半徑為R的⊙O,且AB=AC,AD為底邊BC上的高,則AD+BC的最大值為_____.6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽試題)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,則使等式sin2+sin2+sin2=cos2成立的充要條件是()(A)a+b=2c(B)b+c=2a(C)c+a=2b(D)ac=b22.余弦定理[例2]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽試題)邊長均為整數(shù)且成等差數(shù)列,周長為60的鈍角三角形一共有____種.[解析]:[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京預(yù)賽試題)設(shè)在△ABC中,AB=+,∠ACB=300.則AC+BC的最大值是.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)一個三角形的三邊長恰為m2+m+1,2m+1,m2-1,則這個三角形的最大角為.3.(1995年第六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)△ABC的三邊之長a,b,c滿足等式=b,則長為b的邊所相應(yīng)的角B的大小是.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:4x+5y=20與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,直線l2與線段AB、OA分別交于點(diǎn)C、D,且平分三角形AOB的面積,則CD2的最小值為.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試題)銳角三角形△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若+=4cosC,則的最小值是.6.(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=,則△ABC的面積為_____.3.面積公式[例3]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)凸四邊形ABCD中,AB=,BC=CD=DA=1.設(shè)S和T分別為△ABD和△BCD的面積,則S2+T2的最大值是.[解析]:[類題]:1.(2023年第十一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)△ABC中,BC=6,BC上的高為4,則AB?AC的最小值是.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于點(diǎn)D,且BD=2,CD=3,則△ABC的面積為.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,已知∠A=300,∠B=1050,過邊AC上一點(diǎn)D作直線DE,與邊AB或者BC相交于點(diǎn)E,使得∠CDE=600,且DE將△ABC的面積兩等分,則()2=.Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座34.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)在△ABC中,已知∠B的平分線交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=,則△ABC的面積為.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)已知向量=(2cos(+x),-1),=(-sin(-x),cos2x),f(x)=.若a,b,c分別是銳角△ABC中角A,B,C的對邊,且滿足f(A)=1,b+c=5+3,a=,則△ABC的面積S=.6.(1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)邊長為a,b,c的三角形,其面積等于,而外接圓半徑為1,若s=,t=,則s與t的大小關(guān)系是(A)s>t(B)s=t(C)s<t(D)不擬定4.邊角互換[例4]:(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,記BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b219c2=0,則=_______.[解析]:[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,假如a2+b2=6c2,則(cotA+cotB)tanC的值等于2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊依次為a、b、c.若a2+b2=tc2,且cotC=2023(cotA+cotB),則常數(shù)t=_____.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,則=.4.⑴(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,已知三個角A,B,C成等差數(shù)列,假設(shè)他們對的邊分別為a,b,c并且c-a等于AC邊上的高h(yuǎn),則sin=______.⑵(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,若ca等于AC邊上的高h(yuǎn),則sin+cos的值是.5.(1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別記為a,b,c(b1),且,都是方程=logb(4x4)的根,則△ABC()

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京預(yù)賽試題)△ABC中,,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,則=______.5.內(nèi)角變換[例5]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對邊的邊長,若cosA+sinA-=0,則的值是.[解析]:4Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座[類題]:1.⑴(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,則cos2A=.⑵(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,若5tanBtanC=1,則=.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,則(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形3.(2023年江西高中女子數(shù)學(xué)競賽試題)下面是關(guān)于△ABC的兩個命題:甲:sinA>sinB,當(dāng)且僅當(dāng)A>B;乙:cotA+cotB+cotC恒取正值.()(A)甲對乙錯(B)乙對甲錯(C)甲乙都對(D)甲乙都錯4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,sinAcosA=,則該三角形是()(A)等邊三角形(B)鈍角三角形(C)直角三角形(D)等邊三角形或直角三角形5.⑴(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽試題)在銳角三角形ABC中,設(shè)tanA,tanB,tanC成等差數(shù)列,且函數(shù)f(x)滿足f(cos2C)=cos(B+C-A),則f(x)的解析式為⑵(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若△ABC的角A、C滿足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tantan=.6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)一個三角形的最短邊長度是1,三個角的正切值都是整數(shù),則該三角形的最長邊的長度為.6.特例問題[例7]:(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若A,B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在復(fù)平面內(nèi)所相應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限[解析]:[類題]:1.⑴(1998年第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)在銳角三角形ABC中,一定有()(A)cosA<sinB(B)cosA>sinB(C)tanA>sinB(D)cosA與sinB的大小關(guān)系不擬定⑵(2023年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)若A,B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角,則點(diǎn)P(cosB-sinA,sinB-cosA)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.⑴(2023年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)在△ABC中,若sinA=,sinB=,則sinC的取值有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個⑵(1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,sinA=eq\f(3,5),cosB=eq\f(5,13),那么cosC的值等于.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)假如滿足∠ABC=600,AC=12,BC=k的△ABC恰有一個,那么k的取值范圍是()(A)k=8(B)0<k≤12(C)k≥12(D)0<k≤12或k=84.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=,AC=3,則ΔABC的面積為.5.(2023年安徽高考試題)(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)假如△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座5(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形(B)△A1B1C1和△A2B(C)△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形(D)△A1B1C1是銳角三角形,△A2B6.(1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)假如△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC<sinB'+sinC',那么()(A)B?C>B'?C'(B)|B?C|>|B'?C'|(C)B?C<|B'?C'|(D)|B?C|<|B'?C'|7.等比性質(zhì)[例7]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c成等比數(shù)列,則的取值范圍是()(A)(0,+∞)(B)(0,)(C)(,)(D)(,+∞)[解析]:[類題]:1.(1992年第三屆希望杯高二數(shù)學(xué)競賽試題)三角形ABC的三邊的長度a,b,c成等差數(shù)列,則角B的最大值是.2.(1997年第八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)△ABC的三條邊的長a,b,c依次成等比數(shù)列,則sinB+cosB的取值范圍是.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題)在△ABC中,設(shè)∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.假如a、b、c成等比數(shù)列,那么,三角方程sin7B=sinB的解集是.4.(1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若角A,B,C的大小成等比數(shù)列,且b2-a2=ac,則角B的孤度數(shù)等于______.5.(1980年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,則角B的范圍為.6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽試題)三角形ABC三個內(nèi)角的度數(shù)滿足:.則T=cosA+cosB+cosC的值為.8.三角形高[例8]:(1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分別是AB,AC上的高,則=_______.[解析]:[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)己知△ABC的三邊長分別為3,4,5,點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部(不含邊界)一動點(diǎn),則點(diǎn)P到三邊距離之積的最大值等于.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)若△ABC中,BC＝12,BC邊上的高h(yuǎn)a＝8,hb,hc分別為CA,AB邊上的高,則乘積hbhc的最大值為____________.3.(1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)已知AD、BE、CF為△ABC的三條高(D、E、F為垂足),∠B=450,∠C=600,則=.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)H為銳角三角形ABC的垂心,己知∠A=300,BC=3,則AH=.5.(1981年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,∠C為鈍角,AB邊上的高為h,求證:AB>2h.9.內(nèi)切圓[例9]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)△ABC內(nèi)接于單位圓,三個內(nèi)角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于A1、B1、C1.則的值為()6Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座(A)2(B)4(C)6(D)8[解析]:[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)設(shè)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數(shù)列,且c=10,acosA=bcosB,A≠B,則△ABC的內(nèi)切圓半徑等于.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)若D是邊長為1的正三角形ABC的邊BC上的點(diǎn),△ABD與△ACD的內(nèi)切圓半徑分別為r1,r2,若r1+r2=,則滿足條件的點(diǎn)D有兩個,分別設(shè)D1,d2,則D1,d2之間的距離為_______.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽試題)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,則比式(b+c-a):(a+c-b):(a+b-c)等于()(A)sin:sin:sin(B)cos:cos:cos(C)tan:tan:tan(D)cot:cot:cot4.(1994年第五屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)在不等邊三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=x:y:z,則(x–y)cot+(y–z)cot+(z–x)cot=.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)已知非等腰銳角△ABC的外心、內(nèi)心和垂心分別為O、I、H,∠A=600.若△ABC的三條高線分別為AD、BE、CF,則△OIH的外接圓半徑與△DEF的外接圓半徑之比為.10.構(gòu)三角形[例10]:(1978年全國高考試題)己知α、β為銳角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求證:α+2β=.[解析]:[類題]:1.⑴(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽試題)設(shè)凸四邊形ABCD滿足:AB=AD=1,∠A=1600,∠C=1000,則對角線AC的長度的取值范圍是.⑵(1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)邊長為5的菱形,它的一條對角線的長不大于6,另一條不小于6,則這個菱形兩條對角線長度之和的最大值是()(A)10(B)14(C)5(D)122.(2023年四川高考試題)設(shè)a、b、c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊,則a2=b(b+c)是A=2B的()(A)充足必要條件(B)充足而不必要條件(C)必要而不充足條件(D)即不充足也不必要條件3.⑴(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)cos2100+cos2500-sin400sin800=.⑵(1995年全國高考試題)sin2200+cos2500+sin200cos500的值=.4.(1991年三南高考試題)求tan200+4sin200的值.5.⑴(1989年第十五屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題)己知x,y,z∈(0,1),求證:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.⑵(第二十一屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題)己知正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足:a+A=b+B+c+C=k.求證:aB+bC+cA<k2.6.(1989年第十五屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)正數(shù)x、y、z滿足方程組,求xy+2yz+3zx的值.Y.P.M數(shù)學(xué)競賽講座1競賽中的三角形問題高中聯(lián)賽中的向量問題具有純粹性,著重于對向量本質(zhì)特性--“數(shù)形二重性”的考察,需要充足挖掘蘊(yùn)含的幾何本質(zhì).一、知識結(jié)構(gòu)存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,則△ABC有解cosA+cosB>0.證明:△ABC有解C有解A+B有解0<A+B<π0<A<π-BcosA>cos(π-B)cosA>-cosBcosA+cosB>0.解的個數(shù)定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),則:(i)△ABC有一解sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解sin2A+cos2B>1.證明:△ABC有解角C有解sinC>0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB>0.所以當(dāng)sin2A+cos2B≤1時,只有一解;當(dāng)sin2A+cos2B>1時,有兩解.等價(jià)命題:在△ABC中,己知二邊a,b(b≤a)及其中一邊b的對角B,則△ABC有兩解、一解或無解函數(shù)f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分別有兩正的零點(diǎn)、一正的零點(diǎn)或無正的零點(diǎn)(含無實(shí)根).證明:在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,△ABC有兩解、一解或無解關(guān)于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有兩正根、一正根或無正根(含無實(shí)根)函數(shù)f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分別有兩正的零點(diǎn)、一正的零點(diǎn)或無正的零點(diǎn)(含無實(shí)根).數(shù)列命題:在△ABC中,(i)假如a、b、c成等比數(shù)列,則B∈(0,];(ii)假如a、b、c成等差數(shù)列,則B∈(0,];證明:(i)a、b、c成等比數(shù)列ac=b2cosB==≥=B∈(0,];(ii)a、b、c成等差數(shù)列a+c=2bcosB===≥=B∈(0,].Stewart定理:若點(diǎn)P是△ABC的邊BC上一點(diǎn),則PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×BC.A證明:設(shè)∠APB=α,則∠APC=π-α,則在△ABP中,AB2=PA2+PB2-2PA×PBcosα,在△APC中,AC2=PA2+PC2-2PA.PCcos(π-α)AC2=PA2+PC2+2PA×PCcosαPC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+BPCPB×PC×BC.由此可求三角形的中線和角平分線.二、典型問題1.正弦定理[例1]:(2023年第十七屆希望杯高二數(shù)學(xué)競賽試題)△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周長與最長邊的比值為m,那么m的最大值為.[解析]:由2C-B=1800,且A+B+C=1800B=2C-1800,A=3600-3C,且900<C<1350,c為最長邊,又由正弦定理得:m===4sin2C-2cosC-2=-4cos2-2cosC+2=-4(cosC+)2+;所以當(dāng)cosC=-時,m取得最大值.[類題]:1.(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,則sinA:sinB:sinC=___.[解析]:(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6a:b:c=7:5:3sinA:sinB:sinC=7:5:3.2.(2023年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)在△ABC中,若sin2A-sin2B-sin2C=0,且sinA=2sinBsinC則△(A)銳角三角形(B)鈍角三角形(C)等邊三角形(D)等腰直角三角形[解析]:sin2A-sin2B-sin2C=0a2=b2+c2A=900,sinA=2sinBsinC2sinBsin(900-B)=1sin2B=1B=450.3.⑴(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,若tanA=,tanB=,且最長的邊的長為1,則最短邊的長等于.⑵(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,tanA=,cosB=.若最長的邊為1,則△ABC最短邊的長為.[解析]:cosB=tanB=tanC=-tan(A+B)=-=-1c=1,b最短b==.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)如圖,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300.A若AB=CD,則∠ACD的大小為(度).BDC[解析]:設(shè)BD=a,∠ACD=α,則AB=2asin700,AD=2asin400,∠DAC=1100-α,由α=400.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)設(shè)△ABC內(nèi)接于半徑為R的⊙O,且AB=AC,AD為底邊BC上的高,則AD+BC的最大值為_____.[解析]:設(shè)∠BOD=2α,則BC=2BD=2Rsin2α,AD=ABcosα=2RsinCcosα=2Rsin(900-α)cosα=2Rcos2α,則AD+BC=2Rcos2α+2Rsin2α=R(1+cos2α)+2Rsin2α=Rsin(2α+φ)+R,其中tanφ=,取α=-時,AD+BC≤R+R.6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽試題)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,則使等式sin2+sin2+sin2=cos2成立的充要條件是()(A)a+b=2c(B)b+c=2a(C)c+a=2b(D)ac=b2[解析]:sin2+sin2+sin2=cos21-cosA+1-cosB+1-cosC=1+cosBcosA+cosC=2(1-cosB)2coscos=4sin2cos=2sincoscos=2sincoscossin=2sincossinA+sinC=2sinBa+c=2b.2.余弦定理[例2]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽試題)邊長均為整數(shù)且成等差數(shù)列,周長為60的鈍角三角形一共有____種.[解析]:設(shè)△ABC三邊長a,b,c為整數(shù),a+b+c=60,a≥b≥c,a,b,c成等差數(shù)列b=20,a+c=40;∠A為鈍角b2+c2<a2b2<(a+c)(a-c)a-c>10a-(40-a)>10a>25,又因b+c>a,由a+b+c=60a<30a=26,27,28,29.共有4種.[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京預(yù)賽試題)設(shè)在△ABC中,AB=+,∠ACB=300.則AC+BC的最大值是.[解析]:c2=a2+b2-2abcosCa2+b2-ab=(+)2(ab≤()2,a2+b2≥)-()2≤(+)2a+b≤4(2+).2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)一個三角形的三邊長恰為m2+m+1,2m+1,m2-1,則這個三角形的最大角為.[解析]:由(m2-1)+(2m+1)>m2+m+1m>1(m2+m+1)-(2m+1)=m(m-1)>0,(m2+m+1)-(m2-1)=m+2>0邊長m2+m+1最大,由cosα==-最大角為.3.(1995年第六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)△ABC的三邊之長a,b,c滿足等式=b,則長為b的邊所相應(yīng)的角B的大小是.[解析]:=b(b+c)c2+(a+b)a2=b(a+b)(b+c)a3+c3+a2b+bc2=b3+ab2+abc+b2c(a+c)(a2+c2-ac)+b(a2+c2)=b3+ab2+abc+b2c,設(shè)a2+c2=b2+xac,則(a+c)[b2+(x-1)ac]+b(b2+xac)=b3+ab2+abc+b2cab2+(x-1)a2c+b2c+(x-1)ac2+b+ab2+abc+b2c(x-1)a2c+(x-1)ac2+(x-1)abc=0(x-1)(a+c+b)=0x=1a2+c2=b2+acB=.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:4x+5y=20與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,直線l2與線段AB、OA分別交于點(diǎn)C、D,且平分三角形AOB的面積,則CD2的最小值為.[解析]:由條件知,OA=5,OB=4,AB=,設(shè)∠BAO=α,則sinα=,cosα=,AC×ADcosα=OA×OBAC×AD=,由余弦定理得:CD2=AD2+AC2-2AD×ACcosα≥2AD×AC-2AD×ACcosα=5-25,當(dāng)AD=AC時等號成立.所以,CD2的最小值為=5-25.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試題)銳角三角形△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若+=4cosC,則的最小值是.[解析]:4cosC=+≥2cosC≥sinC≤;由題設(shè)及余弦定理:=4a2+b2=2c2;于=====≥=≥.而上式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C.6.(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=,則△ABC的面積為_____.[解析]:在BC上取點(diǎn)D,使得AD=BD=xCD=4-x,在△ACD中,(4-x)2=9+x2-6xcos(A?B)x=2cosC=sinC=△ABC的面積=.3.面積公式[例3]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)凸四邊形ABCD中,AB=,BC=CD=DA=1.設(shè)S和T分別為△ABD和△BCD的面積,則S2+T2的最大值是.[解析]:設(shè)∠BAD=αS=sinα,BD2=4-2cosαT=BDT2=(2-cosα)cosαS2+T2=sin2α+cosα-cos2α=-cos2α+cosα+cosα=時,S2+T2的最大值是.[類題]:1.(2023年第十一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)△ABC中,BC=6,BC上的高為4,則AB?AC的最小值是.[解析]:AB?ACsinA=24AB?AC=.又因sinA≤sin2α=2sinαcosα=,其中sinα=,cosα=AB?AC的最小值是25.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于點(diǎn)D,且BD=2,CD=3,則△ABC的面積為.[解析]:由tanB=,tanC=tanC=tanB,∠BAC=450tan(B+C)=-1=-1tanB=2(-舍去)AD=4△ABC的面積為12.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,已知∠A=300,∠B=1050,過邊AC上一點(diǎn)D作直線DE,與邊AB或者BC相交于點(diǎn)E,使得∠CDE=600,且DE將△ABC的面積兩等分,則()2=.[解析]:在△ABC中,已知A,B,c,則S△ABC=bcsinA=csinA=.若點(diǎn)E在BC上,則S△ABC=AC2S△CDE=CD2()2=.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)在△ABC中,已知∠B的平分線交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=,則△ABC的面積為.[解析]:cosC=,cos=cosB=sinB=,sinC=sinA=AC=2=△ABC的面積=.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)已知向量=(2cos(+x),-1),=(-sin(-x),cos2x),f(x)=.若a,b,c分別是銳角△ABC中角A,B,C的對邊,且滿足f(A)=1,b+c=5+3,a=,則△ABC的面積S=.[解析]:f(x)==-2cos(+x)sin(-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=sin(2x-),f(A)=1sin(2A-)=2A-=2kπ+,或2A-=2kπ+π-A=kπ+,或A=kπ+A=.由a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2(1+cosA)bc13=43+30-(2+)bcbc=15S=.6.(1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)邊長為a,b,c的三角形,其面積等于,而外接圓半徑為1,若s=,t=,則s與t的大小關(guān)系是(A)s>t(B)s=t(C)s<t(D)不擬定[解析]:c=2RsinC=2sinC,absinC=abc=1,t==()+()+()≥++==s,且其中檔號成立,則a=b=c=R=1,這不成立.4.邊角互換[例4]:(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,記BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b219c2=0,則=_______.[解析]:==cosC==.[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,假如a2+b2=6c2,則(cotA+cotB)tanC的值等于[解析]:(cotA+cotB)tanC====.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊依次為a、b、c.若a2+b2=tc2,且cotC=2023(cotA+cotB),則常數(shù)t=_____.[解析]:cotC=2023(cotA+cotB)=2023cosC=2023=2023t=4009.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,則=.[解析]:tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB=cosC===3.4.⑴(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,已知三個角A,B,C成等差數(shù)列,假設(shè)他們對的邊分別為a,b,c并且c-a等于AC邊上的高h(yuǎn),則sin=______.[解析]:三個角A,B,C成等差數(shù)列A=600-α,C=600+α,c-a=hc-a=csinAsinC-sinA=sinCsinAsinα=cos2α-sin2αsinα=sin=.⑵(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,若ca等于AC邊上的高h(yuǎn),則sin+cos的值是.[解析]:sin+cos=+=1.5.(1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別記為a,b,c(b1),且,都是方程=logb(4x4)的根,則△ABC()

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形[解析]:方程=logb(4x-4)x2=4x-4x=2=2,=2C=2A,且sinB=2sinAsin(1800-3A)=2sinAsin3A=2sinA3sinA-4sin3A=2sinAsinA=A=300,C=600,B=900,故選(B).6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京預(yù)賽試題)△ABC中,,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,則=______.[解析]:b2-a2=ab=,cos(A-B)+cosC=1-cos2Ccos(A-B)-cos(A+B)=2sin2CsinAsinB=sin2Cab=c2==+.5.內(nèi)角變換[例5]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對邊的邊長,若cosA+sinA-=0,則的值是.[解析]:cosA+sinA-=0(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2sin(A+)sin(B+)=1sin(A+)=1,sin(B+)=1A=B=[類題]:1.⑴(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,則cos2A=.[解析]:sinA+cosA=-cosA<0,sinA-cosA>0,(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2=2sinA-cosA=sinA=cos2A=1-2sin2A=.⑵(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,若5tanBtanC=1,則=.[解析]:=-=-=-=-.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,則(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形[解析]:(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC2sincos×2coscos＝2sin(A+B)cos2=1A=B.3.(2023年江西高中女子數(shù)學(xué)競賽試題)下面是關(guān)于△ABC的兩個命題:甲:sinA>sinB,當(dāng)且僅當(dāng)A>B;乙:cotA+cotB+cotC恒取正值.()(A)甲對乙錯(B)乙對甲錯(C)甲乙都對(D)甲乙都錯[解析]:甲:sinA>sinBa>bA>B;乙:cotA+cotB=>0cotA+cotB+cotC>0.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,sinAcosA=,則該三角形是()(A)等邊三角形(B)鈍角三角形(C)直角三角形(D)等邊三角形或直角三角形[解析]:在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB=-tan(A+B)=-tanC=C=600;sinAcosA=sin2A=2A=600,或1200A=300,或600等邊三角形或直角三角形.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽試題)在銳角三角形ABC中,設(shè)tanA,tanB,tanC成等差數(shù)列,且函數(shù)f(x)滿足f(cos2C)=cos(B+C-A),則f(x)的解析式為[解析]:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,由于B為銳角,所以tanB≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,則cos2C=,所以tan2A===9,所以f(x)cos(B+C-A)=cos(π-2A)=-cos2A=1-2cos2A=1-2=.⑵(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若△ABC的角A、C滿足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tantan=.[解析]:令tan=m,tan=ncosA=,cosC=,由5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=05[(1-m2)(1+n2)+(1+m2)(1-n2)]+4[(1-m2)(1-n2)+(1+m2)(1+n2)]=05(2-2m2n2)+4(2+2m2n2)=0mn=3.6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)一個三角形的最短邊長度是1,三個角的正切值都是整數(shù),則該三角形的最長邊的長度為.[解析]:該三角形不是直角三角形.不妨設(shè)A≤B≤C則tanA≤,又tanA∈Z,所以tanA=1;非直角三角形中,有恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即tanB,tanC是方程1+x+y=xy,即y=1+的一組正整數(shù)解,所以tanB=2,tanC=3.易解得最長邊為.6.特例問題[例7]:(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若A,B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在復(fù)平面內(nèi)所相應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限[解析]:A,B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角A+B[類題]:1.⑴(1998年第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)在銳角三角形ABC中,一定有()(A)cosA<sinB(B)cosA>sinB(C)tanA>sinB(D)cosA與sinB的大小關(guān)系不擬定⑵(2023年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)若A,B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角,則點(diǎn)P(cosB-sinA,sinB-cosA)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.⑴(2023年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高一)試題)在△ABC中,若sinA=,sinB=,則sinC的取值有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個[解析]:sinB=cosB=.當(dāng)cosB=時,由sin2A+cos2B>1有兩解;當(dāng)cosB=-時,只有一解.⑵(1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,sinA=eq\f(3,5),cosB=eq\f(5,13),那么cosC的值等于.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)假如滿足∠ABC=600,AC=12,BC=k的△ABC恰有一個,那么k的取值范圍是()(A)k=8(B)0<k≤12(C)k≥12(D)0<k≤12或k=84.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=,AC=3,則ΔABC的面積為.5.(2023年安徽高考試題)(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)假如△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形(B)△A1B1C1和△A2B(C)△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形(D)△A1B1C1是銳角三角形,△A2B[解析]:因三角形任一內(nèi)角的正弦值為正,由題知△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值為正,故△A1B1C1是銳角三角形;假如△A2B2C2也是銳角三角形,由cosA1=sinA2A1+A2=,同理可得B1+B2=,C1+C2=(A1+B1+C1)+(A2+B2+C2)=2π=.矛盾,所以△A2B2C2是鈍角三角形,故選(D).6.(1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)假如△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC<sinB'+sinC',那么()(A)B?C>B'?C'(B)|B?C|>|B'?C'|(C)B?C<|B'?C'|(D)|B?C|<|B'?C'|[解析]:∠A=∠A'B+C=B'+C',sinB+sinC<sinB'+sinC'2sincos<2sincoscos<coscos||<cos|||B?C|>|B'?C'|.7.等比性質(zhì)[例7]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c成等比數(shù)列,則的取值范圍是()(A)(0,+∞)(B)(0,)(C)(,)(D)(,+∞)[解析]:設(shè)等比數(shù)列的公比為q,b=aq,c=aq2,由a+b>ca+aq>aq2q∈(,),=====q.[類題]:1.(1992年第三屆希望杯高二數(shù)學(xué)競賽試題)三角形ABC的三邊的長度a,b,c成等差數(shù)列,則角B的最大值是.2.(1997年第八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)△ABC的三條邊的長a,b,c依次成等比數(shù)列,則sinB+cosB的取值范圍是.3.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題)在△ABC中,設(shè)∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.假如a、b、c成等比數(shù)列,那么,三角方程sin7B=sinB的解集是.[解析]:a、b、c成等比數(shù)列B∈(0,],sin7B=sinB7B=2kπ+B,或7B=2kπ+π-BB=k,或B=B=,.4.(1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若角A,B,C的大小成等比數(shù)列,且b2-a2=ac,則角B的孤度數(shù)等于______.[解析]:角A,B,C的大小成等比數(shù)列A=B,C=qB,A+B+C=πB=.b2-a2=ac,b2=a2+c2-2accosBa=c-2acosBsinA=sinC-2sinAcosBsinA=sin(B-A)A=Bq=2B=.5.(1980年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,則角B的范圍為.[解析]:lgtanA+lgtanC=2lgtanBB<900,tanAtanC=tan2B,tanB=-tanA+tanC=tan3B-tanB,tanA+tanC≥2=2tanBtan3B-tanB≥2tanBtanB≥B∈[600,900).6.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽試題)三角形ABC三個內(nèi)角的度數(shù)滿足:.求T=cosA+cosB+cosC的值.[解析]:設(shè)A=θ,B=3θ,C=9θ,由A+B+C=π得θ=,T=cosA+cosB+cosC=cosθ+cos3θ+cos9θ=cosθ+cos3θ-cos4θ=2cosθcos2θ-2cos22θ+1>2cos22θ-2cos22θ+1=1;T2=(cosθ+cos3θ+cos9θ)2=cos2θ+cos23θ+cos29θ+2cosθcos3θ+2cos3θcos9θ+2cos9θcosθ=(1+cos2θ)+(1+cos6θ)+(1+cos18θ)+(cos2θ+cos4θ)+(cos8θ+cos10θ)+(cos6θ+cos12θ),而T=-cos12θ-cos10θ-cos4θ所以,2T2-T=3+3(cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ),又令P=cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ,則2sinθP=(sin3θ-sinθ)+(sin5θ-sin3θ)+(sin7θ-sin5θ)+(sin9θ-sin7θ)+(sin11θ-sin9θ)+(sin13θ-sin11θ)=-sinθ,所以,P=-,從而2T2-T=,即T=.8.三角形高[例8]:(1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分別是AB,AC上的高,則=_______.[解析]:B,C,D,E四點(diǎn)共圓∠ADE=∠ABC△AED∽△ABC==|cosα|.[類題]:1.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)己知△ABC的三邊長分別為3,4,5,點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部(不含邊界)一動點(diǎn),則點(diǎn)P到三邊距離之積的最大值等于.[解析]:設(shè)AB=5,BC=3,CA=4,點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離分別為dc,da,db,則5dc+3da+4db=1212=5dc+3da+4db≥3dadbdc≤,當(dāng)且僅當(dāng)5dc=3da=4db=4,即dc=,da=,db=1時.2.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)若△ABC中,BC＝12,BC邊上的高h(yuǎn)a＝8,hb,hc分別為CA,AB邊上的高,則乘積hbhc的最大值為____________.[解析]:由bhb=chc=aha=96hb=,hc=hbhc====96sinA.設(shè)A=α+β,tanα=,tanβ=tanA=tan(α+β)=≤sinA≤hbhc≤96×.3.(1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)已知AD、BE、CF為△ABC的三條高(D、E、F為垂足),∠B=450,∠C=600,則=.[解析]:A,B,D,E四點(diǎn)共圓∠CED=∠CBA△CED∽△CBA=cos600=DE=AB;同理可得:DF=AC===.4.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)H為銳角三角形ABC的垂心,己知∠A=300,BC=3,則AH=.[解析]:∠AHB=1800-C,∠ABH=900-A,在△ABH中,AH=cosA=cosA=acotA.5.(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)已知非等腰銳角△ABC的外心、內(nèi)心和垂心分別為O、I、H,∠A=600.若△ABC的三條高線分別為AD、BE、CF,則△OIH的外接圓半徑與△DEF的外接圓半徑之比為.[解析]:因∠BOC=2A=1200,∠BIC=1800-=90+=1200,∠BHC=1800-A=1200∠BOC=∠BIC=∠BHCB,O,I,H,C五點(diǎn)共圓△OIH的外接圓半徑=△OBC的外接圓半徑=△ABC的外接圓半徑R;又因A,E,H,F四點(diǎn)共圓,且直徑為AHEF=AHsinA=2RcosAsinA=R,由A,F,D,C四點(diǎn)共圓∠BDF=∠A=600,同理∠CDE=600∠EDF=600△DEF的外接圓半徑2r==R△OIH的外接圓半徑與△DEF的外接圓半徑之比為2.6.(1981年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海預(yù)賽試題)在△ABC中,∠C為鈍角,AB邊上的高為h,求證:AB>2h.[解析]:在△ABC中,h=asinB=bsinA,AB=c=acosB+bcosA,∠C為鈍角A+B<cosA>sinB,cosB>sinAc=acosB+bcosA>asinA+bsinB>asinB+bsinA=2h.9.內(nèi)切圓[例9]:(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)△ABC內(nèi)接于單位圓,三個內(nèi)角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于A1、B1、C1.則的值為()(A)2(B)4(C)6(D)8[解析]:如圖,連BA1,則AA1=2sin(B+)AA1cos=2sin(B+)cos=sin[(B+)+]+sin[(B+)-]=s