專題07平行四邊形及特殊平行四邊形題型總結(jié)題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練本專題主要通過上一專題三角形知識(shí)的學(xué)習(xí)路徑，類比學(xué)習(xí)平行四邊形，構(gòu)建知識(shí)樹；掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定.清楚平行四邊形、特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之間的關(guān)系.經(jīng)歷從平行四邊形到矩形、菱形、正方形的研究過程，體驗(yàn)“從一般到特殊”的研究方法；通過猜想、驗(yàn)證、歸納的過程，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理，感悟類比思想；在考試中能利用它們的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和計(jì)算，提高主動(dòng)探究的習(xí)慣和意識(shí).模型01中心對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形模型02平行四邊形的性質(zhì)與判定性質(zhì)/圖形平行四邊形邊兩組對(duì)邊平行且相等角對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形判定方法：（1）與邊有關(guān)的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（2）與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形模型03三角形的中位線中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖，在△ABC中，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC◆與三角形中位線有關(guān)的結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.(1)三角形的三條中位線把原三角形分成4個(gè)全等的小三角形，每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的12，面積為原三角形面積的1(2)三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.模型04菱形的性質(zhì)與判定性質(zhì)/圖形菱形邊四條邊相等角對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)對(duì)角線對(duì)角線互相垂直且平分對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱判定方法：（1）先證平行四邊形，再證一組鄰邊相等；（2）先證平行四邊形，再證對(duì)角線互相垂直；（3）證四條邊都相等的四邊形；（4）證對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形；模型05矩形的性質(zhì)與判定性質(zhì)/圖形矩形邊對(duì)邊平行且相等角四個(gè)角都是90°對(duì)角線相等且互相平分對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱判定方法：（1）先證平行四邊形，再證一個(gè)內(nèi)角是直角；（2）先證平行四邊形，再證對(duì)角線相等；（3）證三個(gè)角為直角；模型06正方形的性質(zhì)與判定性質(zhì)/圖形正方形邊四條邊相等角四個(gè)角都是90°對(duì)角線對(duì)角線互相垂直、平分且相等對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱判定方法：由菱形到正方形（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；由矩形到正方形：（1）鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.模型01中心對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形考｜向｜預(yù)｜測(cè)中心對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形該題型近年主要以選擇形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較小，在各類考試中基本為送分題型.解這類問題的關(guān)鍵是了解中心對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的定義，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.答｜題｜技｜巧第一步：首先判斷一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，看它是否能夠和另一個(gè)圖形重合；第二步：能夠重合即為中心對(duì)稱，否則看是否具有對(duì)稱軸；第三步：根據(jù)選項(xiàng)做出選擇；例1.（2022?蘇州）如圖，在方格紙中，將Rt△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A′O′B，則下列四個(gè)圖形中正確的是（）A．B． C．D．【答案】B【詳解】解：A選項(xiàng)是原圖形的對(duì)稱圖形，故A不正確；B選項(xiàng)是Rt△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A′O′B，故B正確；C選項(xiàng)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)錯(cuò)誤，即形狀發(fā)生了改變，故C不正確；D選項(xiàng)是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，故D不正確；故選：B．例2．（2023?安徽）對(duì)稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協(xié)調(diào)和平的美感，下列圖形屬于中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意．故選：A．模型02平行四邊形的性質(zhì)與判定考｜向｜預(yù)｜測(cè)平行四邊形的性質(zhì)與判定該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定.清楚平行四邊形、特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之間的關(guān)系.能用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行幾何證明和計(jì)算是考試的重點(diǎn).答｜題｜技｜巧第一步：理解題意；第二步：根據(jù)題意，利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行幾何證明和計(jì)算；第三步：注意是否引入其它知識(shí)點(diǎn)，例如三角形、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等；第四步：利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和計(jì)算.例1．如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處．若∠1=56°，∠2=40°，則∠A的度數(shù)為（

）

A．68° B．70° C．110° D．112°【答案】D【詳解】解：根據(jù)折疊可知，∠EDB=∠2=40°，∠EBD=∠ABD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥∴∠CDB=∠ABD，∴∠EBD=∠CDB=∠ABD，∵∠1=∠EBD+∠CDB，∴2∠EBD=56°，∴∠EBD=28°，∴∠ABD=28°，∴∠A=180°?∠ABD?∠2=180°?28°?40°=112°，故選：D．例2．（2023?山東）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）16．【詳解】（1）證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，∴AF＝＝＝20，∵AC＝24，∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16．模型03三角形的中位線考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形的中位線該題型近年在中點(diǎn)型問題中考試較多，在各類考試中以輔助形式出現(xiàn)，很少有單獨(dú)考某一個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的.解這類問題的關(guān)鍵是正確理解三角形中位線的性質(zhì)，把握題中的關(guān)鍵信息.中位線的考法一般情況是描述出多個(gè)中點(diǎn)，另外根據(jù)題意條件學(xué)會(huì)構(gòu)建出存在中位線的三角形也是至關(guān)重要的.答｜題｜技｜巧第一步：分析題目中是一個(gè)中點(diǎn)還是多個(gè)中點(diǎn)的問題；第二步：?jiǎn)沃悬c(diǎn)問題觀察是否為直角三角形，多中點(diǎn)型問題注意中位線的應(yīng)用；第三步：根據(jù)中位線的性質(zhì)解題，注意是否需要重新構(gòu)造中位線所在的三角形；第四步：結(jié)合其它相關(guān)幾何知識(shí)解題；例1．（2023?陜西）如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N．若MN的長(zhǎng)為18米，則A，B間的距離是（）A．9米 B．18米 C．27米 D．36米【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴AB＝2MN，∵M(jìn)N＝18米，∴AB＝36米，故選：D．例2．（2023?河南）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)．連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故選：B．模型04菱形的性質(zhì)與判定考｜向｜預(yù)｜測(cè)菱形的性質(zhì)與判定該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或者利用相似求長(zhǎng)度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度.掌握菱形的性質(zhì)與判定，菱形的面積公式，及一些特殊的菱形是解答本題的關(guān)鍵.注意菱形與平行四邊形的區(qū)別，菱形與正方形的聯(lián)系與區(qū)別，利用數(shù)形結(jié)合及方程的思想解題.答｜題｜技｜巧第一步：理解題意；第二步：根據(jù)題意，利用菱形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行幾何證明和計(jì)算；第三步：注意菱形面積的求解，菱形與動(dòng)點(diǎn)問題、圓及平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合；第四步：利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和計(jì)算.例1．（2023·湖南）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵四邊形是菱形∴，∴，∵，∴,故選：C．例2．（2023·浙江）如圖，在菱形中，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】解：連接與交于O．

∵四邊形是菱形，∴，，，，∵，且，∴是等邊三角形，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：D．模型05矩形的性質(zhì)與判定考｜向｜預(yù)｜測(cè)矩形的性質(zhì)與判定該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，難度系數(shù)較大.矩形或其它特殊平行四邊形的折疊問題注意折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵.結(jié)合矩形的相關(guān)性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題.答｜題｜技｜巧第一步：確定試題考點(diǎn)方向，折疊、旋轉(zhuǎn)、判定等；第二步：應(yīng)用矩形相關(guān)的性質(zhì)與判定進(jìn)行解題第三步：注意矩形的折疊、旋轉(zhuǎn)、矩形與坐標(biāo)系結(jié)合等題型的解法；第四步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.例1.（2023?安徽）如圖，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：AF＝CE．【答案】過程見詳解；【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°．在△ABE與△CDF中，∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．例2.（2023?杭州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，則ABBCA．12 B．3?12 C．3【答案】D【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等邊三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC=3AB∴ABBC故選：D．模型06正方形的性質(zhì)與判定考｜向｜預(yù)｜測(cè)正方形的性質(zhì)與判定該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，本專題重點(diǎn)分析正方形與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合、正方形的折疊等題型.結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力.答｜題｜技｜巧第一步：確定正方形所考查知識(shí)點(diǎn)；第二步：利用正方形的特殊性分析題目信息，根據(jù)已知條件得出相關(guān)結(jié)論；第三步：結(jié)合各類模型中解題技巧和方法，綜合運(yùn)用；第四步：結(jié)合其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題；例1．（2023?湖南）如圖，點(diǎn)、為正方形邊的點(diǎn)，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】8【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于，連接，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，，，在與中，，，，，，，故答案為：8．例2．（2023?廣東）如圖，是正方形，是上任意一點(diǎn)，于，于．求證:．【答案】證明見解析．【解析】解：是正方形，，，在與中，1．（2023?北京）如圖所示，為的中位線，點(diǎn)在上，且，若，，則的長(zhǎng)為A．1 B．2 C．1.5 D．2.5【答案】A【詳解】解：是的中位線，，，是的中點(diǎn)，，，，故選：．2．（2023?江蘇）如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）【答案】B【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)H，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，∴OE＝，即點(diǎn)B（，3），∴AF＝OE＝，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：﹣（2﹣）＝﹣，∴點(diǎn)C（﹣，4）．故選：B．3．（2023?四川）如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC【答案】C【詳解】解：依題意得，四邊形EFGH是由四邊形ABCD各邊中點(diǎn)連接而成，連接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，要使四邊形EFGH為矩形，根據(jù)矩形的判定（有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形）故當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG＝∠EHG＝90度．四邊形EFGH為矩形．故選：C．4．（2023?福建）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N為邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），∠MAN＝45°下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)MN＝MC時(shí)，則∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周長(zhǎng)不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，∴MN＝，∴MN2＝MC2+NC2．當(dāng)MN＝MC時(shí)，MN2＝2MC2，∴MC2＝NC2∴MC＝NC．∴BM＝DN易證△ABM≌△ADN（SAS）．∴∠BAM＝∠DAN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，故①正確；②：如圖，將△ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，則∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，則在△EAN和△MAN中，∴△EAN≌△MAN（SAS），∴∠AMN＝∠AED，∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，故②正確；③：∵△EAN≌△MAN，∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，∴△MNC的周長(zhǎng)為：MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，∵DC和BC均為正方形ABCD的邊長(zhǎng)，故△MNC的周長(zhǎng)不變．綜上①②③都正確．故選：D．5．（2023?貴州）如圖所示，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，又∵OE⊥OF，∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，∴∠EOB＝∠COF，∴△BEO≌△CFO（ASA），∴BE＝CF＝3，又∵AB＝BC，∴AE＝BF＝4，∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．故選：C．6．（2023?南京）如圖，在中，是的平分線，，，則．【答案】2【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，是的平分線，，，，，故答案為：2．7．（2023?深圳）如圖所示，在中，，，，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為腰，作一個(gè)頂角為的等腰，其中為的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖所示，連接，在等腰中，是的中點(diǎn)，，平分，，即點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)最短，又，，，，，，中，，線段的最小值為．故答案為：．8．（2023?陜西）如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是．【答案】【詳解】解：連接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC?BC＝AB?PC，∴PC＝．∴線段EF長(zhǎng)的最小值為；故答案為：．9．（2023?湖南）如圖，在四邊形中，，．（1）求的度數(shù)；（2）若平分交于點(diǎn)，，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】（1）；（2）答案見詳解；【詳解】（1）解：，，，，的度數(shù)是．（2）證明：平分交于點(diǎn)，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形．10．（2023?山東）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明：四邊形ADCF是菱形；（3）若AB＝6，AC＝8，求菱形ADCF的面積．【答案】（1）過程見詳解；（2）過程見詳解；（3）24【詳解】（（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）證明：如圖，由（1）知，△AFE≌△DBE，∴AF＝DB，∵AD為BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝CD，∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝CD，∴平行四邊形ADCF是菱形；（3）解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB?AC＝×6×8＝24．10.（2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF相交于點(diǎn)G，連接AG，求證：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【答案】（1）見解析過程；（2）見解析過程．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF；（2）延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于H，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜邊的中線，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．1.順次連接對(duì)角線相等且垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】D【詳解】解：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，F(xiàn)G＝BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，F(xiàn)E＝FG，∴四邊形EFGH是正方形，故選：D．2．（2023·浙江杭州）菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相平分 B．是軸對(duì)稱圖形 C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相垂直【答案】C【詳解】解：A、菱形的對(duì)角線互相平分，此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、菱形是軸對(duì)稱圖形，此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、菱形的對(duì)角線不一定相等，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、菱形的對(duì)角線互相垂直，此選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD是矩形（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形；且AD⊥AB∴四邊形ABCD是矩形故選A4．（2023?江西）如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則EF的長(zhǎng)為10cm時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【答案】C【詳解】解：在?ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，當(dāng)F點(diǎn)在E點(diǎn)左側(cè)時(shí)，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合題意，舍去，∴EF的長(zhǎng)為10cm時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是8s，故選：C．5．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接CE，則△DCE的面積為（）A． B． C．2 D．1【答案】B【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，∵EO是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，設(shè)CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝22+(4﹣x)2，解得：x＝，即CE的長(zhǎng)為，DE＝4﹣＝，所以△DCE的面積＝××2＝，故選B．6．如圖，以正方形的對(duì)角線為一邊作菱形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴，∵四邊形是菱形，是對(duì)角線，∴．故選：D．7．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，若AB＝6，BC＝10，則GH的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】解：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，AB＝6，BC＝10，∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，∵AD∥BC，∴∠DHP＝∠FHC，在△PDH與△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴PE＝＝＝，∵點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，∴GH＝EP＝，故選：C．8.如圖，∠MEN＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)B，C分別是∠MEN兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，已知BC＝10，CD＝5，點(diǎn)D，E之間距離的最大值是．【答案】5+5．【詳解】解：∵∠MEN＝90°，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴EF＝BC＝5．如圖：ED≤EF+DF，當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)．此時(shí)F是BC的中點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴FD＝＝＝5．∴ED最大＝EF+DF＝5+5．故答案為：5+5．9．如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=AC，AE交CD于點(diǎn)F，則∠E=．【答案】22.5°【詳解】解：正方形對(duì)角線平分直角，故∠ACD=45°，已知DC⊥CE，則∠ACE=∠135°，又∵CE=AC，∴∠E==22.5°．故答案為：22.5°．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上任意一點(diǎn)，G，H分別為EF，BF中點(diǎn)，則GH的長(zhǎng)是．【答案】5【詳解】解：連接BE，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵E為AD中點(diǎn)，AD＝12，∴，則在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理可得：，∵G，H分別為E