1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關(guān)系，會(huì)用向量方法求兩異面直線所成

角.

2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系，會(huì)用向量方法求直線

與平面所成角.

3.理解二面角大小與兩個(gè)面法向量夾角之間的關(guān)系，會(huì)用向量方法求二面角的大小.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間角的原理

難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間角的方法

￡知出_梳_理_

、自主導(dǎo)學(xué)

.一L利用向量方法求兩異面直線所成角

若兩異面直線所成角為e,它們的方向向量分別為a,b,則有

12

cos9=/cos3,b）,/」a".

-|a|網(wǎng)

特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來，因?yàn)閮僧惷嬷本€所成角

的范圍是（0右］,而兩個(gè)向量夾角的范圍是［0,n］,事實(shí)上,兩異面直線所成的角與其方向向量

的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系.

——2.利用向量方法求直線與平面所成角

若直線/與平面。所成的角為9,直線1的方向向量為a,平面a的法向量為n,

則有sine=/cos缸

----------|a||n|

特別提醒：直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.

3.利用向量方法求二面角

⑴若二面角的平面角的大小為。，其兩個(gè)面a,￡的法向量分別為n,n,則/cos9

12

/-/cos<n,n>/-I九1,32I

12|nil|n2|

⑵二面角的大小還可以轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.在二面角的兩個(gè)半平面a,B

內(nèi)，各取一條與棱/垂直的直線，則當(dāng)直線的方向向量的起點(diǎn)在棱上時(shí),兩個(gè)方向向量的夾角即

為二面角的大小.

特別提醒：由于二面角的取值范圍是[0,n],而兩個(gè)面的法向量的方向無法從圖形上直觀

確定，因此不能認(rèn)為二面角的大小就是其兩個(gè)面法向量夾角的大小，需要結(jié)合具體圖形判斷二

面角是銳角還是鈍角，從而求得其大小.

二、小試牛刀

1.若異面直線1,1的方向向量分別是a=（0,-2,-1）,b=（2,0,4）,則異面直線1與1的夾角的余

1212

弦值等于（）

A-B/C.3D.延

5555

2.若直線1的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120°,則直線1與平面a所成的角等于

（）

A.120°B.60°C,150°

D.30°

3.二面角a￡中，平面a的一個(gè)法向量為曠（號(hào),，，-旬，平面。的一個(gè)法向量是

止10（,夜），那么二面角的大小等于（）

A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°

學(xué)習(xí)過程

一、情境導(dǎo)學(xué)

地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面交角（二面角的平面角）為23°

26.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9。以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶,

太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座,稱為“黃道十二宮”.

從春分（節(jié)氣）點(diǎn)起，每30°便是一宮,并冠以星座名，如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是

星座的由來.

地軸

春分B(3月21日前后)

冬至日

(12月分日前后)

問題：空間角包括哪些角?求解空間角常用的方法有哪些？

答案：線線角、線面角、二面角；傳統(tǒng)方法和向量法.

二、典例解析

例1.如圖所示,在三棱柱ABC-A8C中，加，底面/國AB=BC=AA,/ABCRO；點(diǎn)E,b分別是棱

11111

力無國的中點(diǎn),試求直線"和笈所成的角.

11

1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.

⑴建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

⑵求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo).

⑶利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.

(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.

2.求兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn).

(1)余弦值非負(fù):兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值,而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為

鈍角.

⑵范圍:異面直線所成角的范圍是儀,故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí),應(yīng)取其絕對(duì)

值.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正四棱柱/皿T6。。中，加之力4則異面直線N8與”所成角的

1111111

余弦值為

例2.如圖所示，四棱錐P-ABCD中,為，底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC^3,為必X,〃為線段”上

一點(diǎn),AM&MD,N為附的中點(diǎn).

⑴證明"V〃平面PAB;

⑵求直線4N與平面/W所成角的正弦值.

跟蹤訓(xùn)練2在棱長為1的正方體/皿T中,￡為％的中點(diǎn)，則直線/8與平面8龍所成

111111

的角為（）

A.-B.-C.-D.-JI

6326

例3.如圖,在正方體ABEF-DCE'F'中,M,N分別為AC,"的中點(diǎn),求平面MNA與平面所成銳

二面角的余弦值.

利用平面的法向量求二面角

利用向量方法求二面角的大小時(shí),多采用法向量法,即求出兩個(gè)面的法向量,然后通過

法向量的夾角來得到二面角的大小，但利用這種方法求解時(shí),要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二

面角是銳角還是鈍角，不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.

跟蹤訓(xùn)練3如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,AA=BC=AB&,ABLBC,求二面角B-AC-C的大小.

1111111

金題典例如圖，四棱柱/皿T的所有棱長都相等,“n劭電力。06。=。,

111111111

四邊形ACCA和四邊形BDDB均為矩形.

1111

⑴證明：。0,底面ABCD.

1

(2)若/的=60°,求二面角。-加-。的余弦值.

11

延伸探究1本例條件不變,求二面角B-A的余弦值.

1

延伸探究2本例四棱柱中，/煙40°改為/煙田0°,設(shè)區(qū)廠分別是棱陽切的中點(diǎn),

求平面N8E與平面戶所成銳二面角的余弦值.

11

向量法求二面角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的四個(gè)步驟

⑴建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵求出兩個(gè)半平面的法向量n,n;

12

⑶設(shè)二面角的平面角為G,則/cos9/=/cos<h,n>/;

12

(4)根據(jù)圖形判斷。為鈍角還是銳角，從而求出。(或其三角函數(shù)值).

達(dá)標(biāo)檢涮

1.平面a的斜線1與它在這個(gè)平面上射影廠的方向向量分別為a=(l,0,1),b=(0,l,l),則斜線

/與平面。所成的角為()

A.30°B.45°C.60°

D.90°

2.已知向量m,n分別是直線/和平面。的方向向量和法向量，若cos<m,n>—?jiǎng)t/與a所成

的角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.在正方體ABCD-ABCD中,欣N分別為棱笈和棱CC的中點(diǎn)，則異面直線”和腑所成的角

11111

為（）

A.30°B.45°C.90°D.60°

4.在三棱錐P-ABC中,ABLBC,AB=BC^PA,點(diǎn)0,D分別是N6；%的中點(diǎn)，力讓底面ABC,則直線

出與平面版所成角的正弦值為.

5.如圖，四棱錐P-ABCD中,陽，底面ABCD,CD1PD,底面相5為直角梯形,AD//BC,ABV

BC,AB=AD=PB3.點(diǎn)、￡在棱刃上，且PEWEA.求二面角的余弦值.

參考答案:

知識(shí)梳理

1.解析因?yàn)閍?b=",/a/個(gè)⑸/b/2/氏所以cos?=/cos缸b)/J防1=目|=：答案：B

2.解析：因?yàn)橹本€/的方向向量與平面。的法向量的夾角等于120。，所以它們所在直線的夾

角為60°,則直線，與平面。所成的角等于90°-60°=30°.答案：D

3.解析：設(shè)所求二面角的大小為則/cos。/華瀉="，所以。=30。或150。.答案：C

\ni\\n2\2

學(xué)習(xí)過程

例1.思路分析:建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線即和況1的方向向量的坐標(biāo)，求它們的夾角即

1

得直線即和比所成的角.

1

解:分別以直線BA,BC,BB為x,y,/軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖).

1

設(shè)"=1,則B(O,0,o),4與o,o),7(o,o，m，a(o,1,1),所以而=i,D.

——*—>1

于是cos匹，而>-黑；黑=i所以直線砂和園所成角的大小為60°.

\BC1\\EF\爭2

跟蹤訓(xùn)練1解析：以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，物"C2所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

Dxyz,設(shè)AB=\.則

Ml,1,0),4(1,0,2),4(1,0,0),〃(0,0,2),布=(0,1,-2),麗=(T,0,2),

cos中，河)巨蕓=急Y，故異面直線4方與N〃所成角的余弦值為泉

初砧I

答案W

例2.

思路分析：（1）線面平行的判定定理=腑〃平面PAB.

⑵利用空間向量計(jì)算平面PMN與方向向量的夾角今直線AV與平面/W所成角的正弦值.

⑴證明：由已知得力*/%2.如圖，取第的中點(diǎn)7；連接HZTN,

由N為尸。的中點(diǎn)知TN//BC,TN^BC^Z.

又AD//BC,故7W/〃且TN=AM,

所以四邊形/腑7為平行四邊形，

于是MN〃AT.

因?yàn)锳Ta平面PAB,椒I平面PAB,

所以如//平面PAB.

⑵解:如圖，取的中點(diǎn)區(qū)連接AE.由A爐AC得AELBC,從而AELAD,

且AE^/AB2-BE2=JAB2-（Y）2=V5.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，版的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Zryz.

由題意知戶(0,0,4),〃(0,2,0),<7(75,2,0),A(^,1,2),

麗=(0,2,⑷，麗=(今1,一2),前=(去1,2).

(九?PM=0

設(shè)n=(x,y,z)為平面/W的法向量,則一‘

1n?PN=0,

(2y-4z=0,

即鼠+y-2z=°可取n=（0,2,l）.于是/3行前）年需=堂

所以直線與平面/W所成角的正弦值為禁.

跟蹤訓(xùn)練2解析：以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可求得平面位應(yīng)的法向量n=(l,-1,2),而

風(fēng)=(0,-1,1),所以cos。專|=今則夕=30。，故直線48與平面應(yīng)應(yīng)成60°角.

答案：B

例3.思路分析:有兩種思路，一是先根據(jù)二面角平面角的定義，在圖形中作出二面角的平面角,

然后利用向量方法求出夾角從而得到所成二面角的大小;另一種是直接求出兩個(gè)面的法向量，

通過法向量的夾角求得二面角的大小.

解:設(shè)正方體棱長為1.以6為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BE,理所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系B-xyz,則端，0弓),M|，，0)，月(1，0,0)，B(0,0,0).

(方法1)取腑的中點(diǎn)G,連接BG,AG,則碓

因?yàn)椤?施△砌V為等腰三角形,所以AGVMN,BGLMN,

故N4"為二面角的平面角或其補(bǔ)角.

又因?yàn)榱?

蒲=(d),所以cos

\8

故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為

(方法2)設(shè)平面力掰V的法向量m=(x,y,z).

由于俞=信,*),麗=信，,0)，

--1xH—1z=0,

1I令x=l,解得y=l,z=l,于是1,1).

(--x+-y=0,

同理可求得平面陰V的一個(gè)法向量必=(1,T,T),

W1712

所以cos<hi,n2>-*=r

|n1||n2|V3XV33

故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為右

跟蹤訓(xùn)練3解:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則

力(2,0,0),。(0,2,0),A(2,0,2),6(0,0,2),C(0,2,2),

111

即麗二(1,1,0)是平面4G。的一個(gè)法向量.

設(shè)平面44。的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),碇=(-2,2,-2),不瓦二(-2,0,0),

所以n?-A^B[=-2X=Q,n,ArC=~2x-^y-2z=Q,

令z=l,解得x=Q,y=l,故n=(0,1,1).

設(shè)法向量n與麗的夾角為。，

二面角的大小為9,顯然。為銳角.

因?yàn)閏os”/cos0/端瑞=條解得

所以二面角Br-A^C-G的大小為:.

金題典例(1)證明因?yàn)樗倪呅?+力和四邊形版8均為矩形,

1111

所以CCLAC,DDLBD,

11

又%〃如〃0。，所以00LAC,00LBD,

11111

因?yàn)锳CHBD=0,所以0底面ABCD.

1

⑵解：因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等，所以四邊形40為菱形,

ACLBD.又0。，底面ABCD,所以如，陽00兩兩垂直.

11

如圖，以。為原點(diǎn)，OB,0C,00所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)棱長為2,因?yàn)?如=60。，所以0B=43,OC=1,

所以。(0,0,0),及(百,0,2),6(0,1,2),

平面BDDB的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

設(shè)平面OCB的法向量為m=(x,y,z),

則由西，所以[咤2z=0,

(y+2z=0,

取z=6貝ljx2y2氐所以m=(2,28，S),

所以/cos仙n)/j器273_2A/57

V19-19

由圖形可知二面角的-。的大小為銳角,

所以二面角6-的空的余弦值為警.

延伸探究1解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,

則4(0,-1,2),5(73,0,0),。(0,1,0),〃(S,0,0).

所以就=(S,1,0),碇二(0,2,-2),CD=(^[3,-1,0).

設(shè)平面46。的法向量為ni=(xi,yi,zj,

%.斤=0,即(2yi-2zi=0,

則

叫?BC—0,l-V3%1+y1=0,

取^1W3,貝(J/刃:3,故ni=(V3,3,3).

設(shè)平面45的法向量為n2=U,%,Z2),

取Xz=電貝（J%為=-3,故n2-（V3,-3,-3）.所以/cos<hi,n，l=j=f.

%|也|7

由圖形可知二面角的大小為鈍角，所以二面角的余弦值為

延伸探究2解：以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)此棱柱的棱長為1,則

A（0,0,0）,4（1,0,1）,￡（1彳,0），〃（0,1，D，“，1，0），荏二（120），福二。，0,1），族=0I，。

），M=（0,1,1）.

設(shè)平面力的法向量為rh=（xi,幾zi）,

y7—-0

貝儼?竺］=0,；+3：=0令"曰則”L>4

1n?AE=0,

l(

所以ni=（-l,2,1）.

設(shè)平面力〃戶的法向量為I12=（X2,%,Z2）.

r,fn,AD1=0,nr02+=0,

2

則