高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市大通縣2024屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以．故選：B．2.已知，，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.3.已知滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)最大值為（）A. B. C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖所示，易得直線與的交點(diǎn)，平移直線，當(dāng)經(jīng)過A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即．故選：C．4.乒乓球是中國的國球，擁有廣泛的群眾基礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉．某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個(gè)乒乓球（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個(gè)，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)古典概型，從7個(gè)乒乓球中隨機(jī)選取2個(gè)，基本事件總數(shù)有個(gè)，其中恰為1黃1白基本事件有個(gè)，所以概率．故選：A．5.已知為第四象限角，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且為第四象限角，，，，故選：C6.在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前23項(xiàng)的和為（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的兩個(gè)根，所以，所以的前23項(xiàng)的和．故選:C．7.已知，是兩個(gè)不重合的平面，且直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，若，則可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.函數(shù)的圖象有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除選項(xiàng)B、D；易知的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，則在處取得極小值，可排除選項(xiàng)C．故選:A．9.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于在上單調(diào)遞增，故，即；由于在上單調(diào)遞減且，故，即；由于在上單調(diào)遞增，故，即；所以.故選：A.10.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，，，又是等比?shù)列，所以，即，解得，所以．當(dāng)時(shí)，，又滿足，所以，，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以．故選：A.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（）A.5 B.-4 C.3 D.-3〖答案〗D〖解析〗由題意得，拋物線的準(zhǔn)線為，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，且，所以，解得，故拋物線，焦點(diǎn)為，所以的方程為，代入，得，整理得，解得或，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，則，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故選:D.12.已知直線與曲線相切，則最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：A.二、填空題13.若雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.14.在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，若，則_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，所以，所以．又，所以，所以．故〖答案〗為：.15.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的〖解析〗式為_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得，再向上平移4個(gè)單位長度，可得．故〖答案〗為：.16.某幾何體的直觀圖如圖所示，是由一個(gè)圓柱體與兩個(gè)半球?qū)佣傻慕M合體，其中圓柱體的底面半徑為2，高為4．現(xiàn)要加工成一個(gè)圓柱，使得圓柱的兩個(gè)底面的圓周落在半球的球面上，則圓柱的最大體積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)加工成的圓柱的底面半徑為，高為，軸截面如圖，則，則加工后所得圓柱的體積，所以，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題：共60分.17.如圖是M市某愛國主義教育基地宣傳欄中標(biāo)題為“2015～2022年基地接待青少年人次”的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問題．①參考數(shù)據(jù)：012390330②參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：．（1）求M市愛國主義教育基地所統(tǒng)計(jì)的8年中接待青少年人次的平均值和中位數(shù)；（2）由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從2019年開始，M市愛國主義教育基地接待青少年的人次呈直線上升趨勢，請你用線性回歸分析的方法預(yù)測2024年基地接待青少年的人次．解：（1）由圖表數(shù)據(jù)可知：平均值為：，中位數(shù)為：．（2）由圖表數(shù)據(jù)得：，則，所以線性回歸方程，所以在2024年時(shí)，所以，預(yù)測2024年基地接待青少年的人次為．18.記的內(nèi)角的對邊分別為，，.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1），，即，，由正弦定理得：，即，，，則，.（2）由（1）知：；由正弦定理知：，則，，又，.19.如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，．又，，四邊形是平行四邊形，．又平面平面．平面．（2）解：連接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．20.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸、軸，且過、兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若，過的直線與交于、兩點(diǎn)，求證：．（1）解：設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)、坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為．（2）證明：若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，成立；若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，∴軸平分，∴．綜上所述，．21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證.（1）解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，設(shè)方程，可得，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以在上單增；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根為和，且，則，，且，①當(dāng)時(shí)，可得，，所以在上單減，在上單增；②當(dāng)時(shí)，可得，，所以在上單增，在上單減，在上單增.綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在上單增；②當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增；③當(dāng)時(shí)，在和上單增，在上單減.（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，，又由，令，可得，所以在上單減，所以，即.（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程分別為，.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與軸交于點(diǎn)，曲線和曲線的交點(diǎn)為，求的值.解：（1）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，又，，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意知，故直線的一個(gè)參數(shù)方程為（為參數(shù)）.把的參數(shù)方程代入，得，所以，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以同號，所以.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若的最小值為，且，求的最小值.解：（1）不等式等價(jià)于或或解得，故不等式的解集為.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以，所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為2.青海省西寧市大通縣2024屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋裕蔬x：B．2.已知，，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.3.已知滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)最大值為（）A. B. C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖所示，易得直線與的交點(diǎn)，平移直線，當(dāng)經(jīng)過A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即．故選：C．4.乒乓球是中國的國球，擁有廣泛的群眾基礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉．某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個(gè)乒乓球（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個(gè)，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)古典概型，從7個(gè)乒乓球中隨機(jī)選取2個(gè)，基本事件總數(shù)有個(gè)，其中恰為1黃1白基本事件有個(gè)，所以概率．故選：A．5.已知為第四象限角，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且為第四象限角，，，，故選：C6.在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前23項(xiàng)的和為（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的兩個(gè)根，所以，所以的前23項(xiàng)的和．故選:C．7.已知，是兩個(gè)不重合的平面，且直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，若，則可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.函數(shù)的圖象有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除選項(xiàng)B、D；易知的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，則在處取得極小值，可排除選項(xiàng)C．故選:A．9.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于在上單調(diào)遞增，故，即；由于在上單調(diào)遞減且，故，即；由于在上單調(diào)遞增，故，即；所以.故選：A.10.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，，，又是等比?shù)列，所以，即，解得，所以．當(dāng)時(shí)，，又滿足，所以，，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以．故選：A.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（）A.5 B.-4 C.3 D.-3〖答案〗D〖解析〗由題意得，拋物線的準(zhǔn)線為，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，且，所以，解得，故拋物線，焦點(diǎn)為，所以的方程為，代入，得，整理得，解得或，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，則，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故選:D.12.已知直線與曲線相切，則最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：A.二、填空題13.若雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.14.在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，若，則_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，所以，所以．又，所以，所以．故〖答案〗為：.15.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的〖解析〗式為_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得，再向上平移4個(gè)單位長度，可得．故〖答案〗為：.16.某幾何體的直觀圖如圖所示，是由一個(gè)圓柱體與兩個(gè)半球?qū)佣傻慕M合體，其中圓柱體的底面半徑為2，高為4．現(xiàn)要加工成一個(gè)圓柱，使得圓柱的兩個(gè)底面的圓周落在半球的球面上，則圓柱的最大體積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)加工成的圓柱的底面半徑為，高為，軸截面如圖，則，則加工后所得圓柱的體積，所以，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題：共60分.17.如圖是M市某愛國主義教育基地宣傳欄中標(biāo)題為“2015～2022年基地接待青少年人次”的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問題．①參考數(shù)據(jù)：012390330②參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：．（1）求M市愛國主義教育基地所統(tǒng)計(jì)的8年中接待青少年人次的平均值和中位數(shù)；（2）由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從2019年開始，M市愛國主義教育基地接待青少年的人次呈直線上升趨勢，請你用線性回歸分析的方法預(yù)測2024年基地接待青少年的人次．解：（1）由圖表數(shù)據(jù)可知：平均值為：，中位數(shù)為：．（2）由圖表數(shù)據(jù)得：，則，所以線性回歸方程，所以在2024年時(shí)，所以，預(yù)測2024年基地接待青少年的人次為．18.記的內(nèi)角的對邊分別為，，.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1），，即，，由正弦定理得：，即，，，則，.（2）由（1）知：；由正弦定理知：，則，，又，.19.如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，．又，，四邊形是平行四邊形，．又平面平面．平面．（2）解：連接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．20.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸、軸，且過、兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若，過的直線與交于、兩點(diǎn)，求證：．（1）解：設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)、坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為．（2）證明：若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，成立；若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，