第2章圓與方程綜合能力測(cè)試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓和的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為1，圓可化為，圓心為，半徑為4，而兩圓心的距離為，故兩圓外切，故選：D2．圓心坐標(biāo)為，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：D.3．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由圓的方程，則其圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng).故選：C.4．如圖所示，是直線上的兩點(diǎn)，且，兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與相切于兩點(diǎn)，是兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧與線段圍成圖形面積的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，由題意知，當(dāng)兩動(dòng)圓外切時(shí)，圍成圖形面積取得最大值，此時(shí)四邊形為矩形，且.答案：C5．圓在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心，顯然點(diǎn)在此圓上，直線的斜率為，所以所求切線斜率為，切線方程為，即.故選：D6．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)到，的距離之比為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即，點(diǎn)到直線的距離最小值為.故選：A7．已知圓：，一條光線從點(diǎn)射出經(jīng)軸反射，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的方程為B．若反射光線平分圓的周長(zhǎng)，則入射光線所在直線方程為C．若反射光線與圓相切于，與軸相交于點(diǎn)，則D．若反射光線與圓交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為【答案】C【解析】對(duì)于A，由圓方程可得，故圓心，半徑，圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓的圓心為，半徑為，所求圓的方程為：，即，A正確；對(duì)于B，反射光線平分圓的周長(zhǎng)，反射光線經(jīng)過(guò)圓心，入射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，入射光線所在直線方程為：，即，B正確；對(duì)于C，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則圓心到直線的距離，，，則當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：C.8．已知點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A：可化為，所以圓心，半徑為，因?yàn)椋菆A的兩條切線，則，由圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，，所以，又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．圓被直線分成兩段圓弧，且較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，較短弧所對(duì)圓心角是，因?yàn)檩^短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為，所以圓心到直線的距離為，即，解得或.故選：BC.10．如圖所示，已知直線l的方程是，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，一個(gè)半徑為1.5的圓C，圓心C從點(diǎn)(0，1.5)開始以每秒0.5個(gè)單位的速度沿著y軸向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓C與直線l相切時(shí)，該圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可以為（

）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】AD【解析】設(shè)當(dāng)圓與直線相切時(shí)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為，解得或，所以該圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為或.故選：AD.11．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為4【答案】AB【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑.對(duì)于選項(xiàng)A：不論k如何變化，圓心始終在直線上，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，整理得，因?yàn)?，可知方程無(wú)解，所以所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，整理得，因?yàn)椋芍匠逃袃蓚€(gè)不同的解，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榘霃?，所以所有圓的面積均為，故D錯(cuò)誤；故答案為：AB.12．已知?jiǎng)又本€：和：，是兩直線的交點(diǎn)，、是兩直線和分別過(guò)的定點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C．的最大值為10 D．的軌跡方程為【答案】BC【解析】直線的方程可化為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，直線的方程可化為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤，由已知，所以直線與直線垂直，即，B正確，因?yàn)?，所以，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；因?yàn)?，故，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)不是直線的交點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)的軌跡為圓除去點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：BC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓，若圓心在x軸上的圓C同時(shí)經(jīng)過(guò)圓C1和圓C2的圓心，則圓C的方程是．【答案】【解析】由圓的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線過(guò)圓心，易知，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線的斜率，所以線段的垂直平分線方程為，令，即圓心的坐標(biāo)為，其半徑，所以圓的方程為.故答案為：14．已知是圓上的點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【解析】圓，即，所以圓的圓心為，半徑為，原點(diǎn)到圓心的距離是，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值是，則的最小值是.故答案為：15．若圓：與圓：相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上的點(diǎn)均滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】或【解析】設(shè)，由點(diǎn)，即點(diǎn)滿足，即，設(shè)點(diǎn)，即恒成立則，圓上所有點(diǎn)到定點(diǎn)最小值大于，又圓，半徑為，圓上所有點(diǎn)到定點(diǎn)最小值即為：..即，化簡(jiǎn)得，解得或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）如圖，已知兩點(diǎn)和.

(1)求以為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？【解析】（1）設(shè)圓心，半徑r，則由C為的中點(diǎn)得，.又由兩點(diǎn)間的距離公式得，∴所求圓的方程為.（2）分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：；；.因此，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi).18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)已知，動(dòng)點(diǎn)到圓C的切線長(zhǎng)等于的2倍，求出點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，故，解得：，故圓心為，半徑為，故圓C的方程為；（2）設(shè)，則，故動(dòng)點(diǎn)到圓C的切線長(zhǎng)為，，所以，化簡(jiǎn)得：，故點(diǎn)的軌跡方程為：.19．（12分）圓C：內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).(1)當(dāng)弦AB最長(zhǎng)時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，求l的方程.【解析】（1）圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為.又弦AB最長(zhǎng)時(shí)，直線l過(guò)點(diǎn)和，所以直線l的方程為，即.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，弦長(zhǎng)為時(shí)，由圓的半徑為3，由垂徑定理和勾股定理得，圓心到直線距離為，即，解得，此時(shí)直線l的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)k不存在時(shí)的直線也符合條件.所以直線l的方程為或.20．（12分）已知曲線，直線．(1)試探究曲線的形狀；(2)若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）由，得，則，由，得（，）所以曲線是以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示．（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與半圓相切，為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線的距離，所以，解得．當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，則直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．21．（12分）已知直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即由題意可得，解得．

因此，直線的斜率的取值范圍是．法二：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，其中因?yàn)橹本€與圓相交，所以，解得，

因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，其中，所以，，則，所以為定值．22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且圓心在曲線上.(1)設(shè)直線l：與圓M交于C，D兩點(diǎn)，且，求圓M的方程；(2)設(shè)直線與（1）中所求圓M交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PE，PF與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為G，H，且G，H在直線EF兩側(cè)，求證：直線GH過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）因?yàn)閳A心在曲線上，所以設(shè)圓心為，又圓M過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則半徑為：，設(shè)圓的方程為，又直線l：與圓M交于C，D兩點(diǎn)，且,所以，則，解得，當(dāng)時(shí)，圓的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離，符合題意；當(dāng)時(shí)，圓的方程為：，此時(shí)，圓心