Page92024-2025學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 試卷滿分：150分★?？荚図槷?dāng)★留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條形碼區(qū)”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必需用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必需保持答題卡的整齊．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿意，則A．2 B．4 C．8 D．162．下列函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)的是A． B． C． D．3．已知，，則A． B． C． D．4．如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)覺(jué)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為A． B． C． D．5．在△ABC中，“”是“△ABC為直角三角形”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，下列說(shuō)法正確的是A．B．C．當(dāng)數(shù)列的前n項(xiàng)積最大時(shí)，或者D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為7．已知某正四棱錐P-ABCD高為h，底面ABCD邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，下列說(shuō)法中不正確的是A．得到a，h的值，可以確定唯一的R B．得到a，h的值，可以確定唯一的rC．得到a，R的值，可以確定唯一的h D．得到a，r的值，可以確定唯一的h8．橢圓C：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，B為橢圓C的下頂點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓C于另一點(diǎn)A，若，則橢圓C的離心率為A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知A，B是全集U的兩個(gè)非空真子集，下列說(shuō)法中確定正確的是A． B．C． D．10．已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿意，，，，則下列說(shuō)法中正確的是A． B．C．若，則 D．11．已知數(shù)列滿意，，下列說(shuō)法中正確的是A． B．，且，滿意C．（） D．記的前n項(xiàng)積為，則12．函數(shù)的圖象稱為牛頓三叉戟曲線．若關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)根，，，，且，則下列說(shuō)法中正確的是A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．14．2024年10月5日晚，杭州亞運(yùn)會(huì)女籃決賽在杭州奧體中心體育館打響，中國(guó)女籃戰(zhàn)勝日本女籃，以6戰(zhàn)全勝的戰(zhàn)績(jī)強(qiáng)勢(shì)奪冠，第7次獲得亞運(yùn)會(huì)金牌。中國(guó)隊(duì)6場(chǎng)競(jìng)賽得分依次為101，101，111，104，100，74，則中國(guó)隊(duì)6場(chǎng)競(jìng)賽得分的第75百分位數(shù)是．15．（），若存在，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為．16．MN是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)Р滿意AP⊥CE，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，，，，AD為∠BAC的平分線．（1）求△ABC的面積；（2）求．18．（12分）如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的全部枝長(zhǎng)均為2．（1）設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l，證明：l∥平面QAB；（2）求直線PA與平面QAB所成角的正弦值．19．（12分）甲，乙兩學(xué)校進(jìn)行體育競(jìng)賽，競(jìng)賽共設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得5分，負(fù)方得0分，平局各得2分．兩個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在兩個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4，0.6，甲學(xué)校在兩個(gè)項(xiàng)目中平局的概率分別為0.1，0.2．各項(xiàng)目的競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校兩場(chǎng)競(jìng)賽后獲得冠軍的概率；（2）用X表示甲學(xué)校兩場(chǎng)競(jìng)賽的總得分，求X的分布列與期望．20．（12分）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿意，且．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．（12分）已知．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范同：（2）設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，已知的解集為，求．（參考數(shù)據(jù)：，，）22．（12分）已知拋物線C：（）的準(zhǔn)線方程為．動(dòng)點(diǎn)P在上，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為M，N．（1）求拋物線C的方程：（2）當(dāng)△OMN面積的最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B二、多選題9．BCD 10．AC 11．AD 12．AD三、填空題13． 14．104 15． 16．選填題部分解析：11．由可得，若，則，以此類(lèi)推，，…，，與已知條件沖突．故，又，所以A正確．由可得，因?yàn)椋?，則，以此類(lèi)推，，…，，與已知條件沖突．故，又，所以恒成立．則，是遞減數(shù)列，所以B錯(cuò)．代入中可知C不成立（或者取驗(yàn)證可知C不成立），所以C錯(cuò)．由，，利用累乘法可得：，因?yàn)?，所以，則．所以D正確．另解：由，左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，，令，利用待定系數(shù)法可以求得，代入，則．可依據(jù)的通項(xiàng)公式來(lái)推斷B、C均錯(cuò)．12．，則在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)?，由函?shù)圖象可知時(shí)符合題意，故A正確．由圖可知，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由可得，故B錯(cuò)．由可得，由圖象可知，即，解得，故C錯(cuò)．由，令，則（），構(gòu)造（），通過(guò)求導(dǎo)可知．故D正確．四、解答題17．（1）在△ABC中用余弦定理，，，所以．（2）因?yàn)椋獾?，因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，在△ABD和△ADC中分別用正弦定理可得①，②，①÷②可得（角平分線的性質(zhì)不證明不扣分），又，所以．在△ADC中用正弦定理，，解得．18．解：（1）由正四棱錐P-ABCD可知AB∥CD，面PCD，所以AB∥面PCD，由線面平行的性質(zhì)定理，面PAB與面PCD的交線l∥AB．又因?yàn)槊鍽AB且平面QAB，由線面平行的判定定理，l∥面QAB．（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．由正四棱錐的性質(zhì)，PQ⊥平面ABCD，取ABCD中心為O，故可以分別以直線OA、OB、OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，所以，，，設(shè)平面QAB的法向量為，由，?。O(shè)PA與平面QAB所成角為，則．所以PA與平面QAB所成角的正弦值為．19．（1）甲獲勝分三種狀況：勝勝，勝平，平勝．則甲獲勝的概率為．（2）X全部可能取值為0，2，4，5，7，10．，，，，，．P0245710X0.10.120.020.380.140.2420．（1）因?yàn)?，用代替n可得（），兩式相減：，整理得：（），即（），則（），解得（），因?yàn)椋裕矟M意上式，故對(duì)于隨意的，．（通過(guò)不完全歸納法猜出通項(xiàng)的只得3分）（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．記前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，．綜上所述，．21．（1），令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得．?），則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞增，成立，此時(shí)且時(shí)，不等式中等號(hào)不成立）；當(dāng)時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，，不符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，易知有解；因?yàn)榈慕饧癁椋?/p>