3.3冪函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．2．作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)作出第三象限的圖象．3．冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4．冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問(wèn)題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱(chēng)為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大?。绢}型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：求函數(shù)解析式題型三：定義域問(wèn)題題型四：值域問(wèn)題題型五：冪函數(shù)的圖象題型六：定點(diǎn)問(wèn)題題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問(wèn)題題型八：比較大小題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【典型例題】題型一：冪函數(shù)的概念例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧與總結(jié)】?jī)绾瘮?shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·河北·高一階段練習(xí)）下列函數(shù)，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．題型二：求函數(shù)解析式例5．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），那么這個(gè)冪函數(shù)的解析式為_(kāi)__________．【方法技巧與總結(jié)】?jī)绾瘮?shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對(duì)表現(xiàn)形式要求非常嚴(yán)格．判定一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個(gè)特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．例6．（2022·廣東·江門(mén)市廣雅中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則_________．例7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式．例8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是_____.例9．（2022·湖北黃石·高一期末）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．例10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，滿足，則_________．例11．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則___________．例12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B．3 C．9 D．8例13．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B．16 C． D．例14．（2022·上海市控江中學(xué)高一期中）已知為常數(shù)，函數(shù)為冪函數(shù)，則的值為_(kāi)_____;例15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為_(kāi)_____．例16．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)_________，若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式是____________．故答案為：，.題型三：定義域問(wèn)題例17．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】使表達(dá)式有意義．例18．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）冪函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____;例19．（2022·河南·濮陽(yáng)一高高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)開(kāi)_____．例20．（2022·上海·高一單元測(cè)試）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________例21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．題型四：值域問(wèn)題例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋?/p>

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．例23．（2022·上海師大附中高一期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.例24．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．例25．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對(duì)任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．例26．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）使用五點(diǎn)作圖法，在圖中畫(huà)出的圖象，并注明定義域．（2）求函數(shù)的值域．例27．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象是上升的．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）若存在實(shí)數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，求實(shí)數(shù)a，b的值．例28．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，其中，則其值域?yàn)開(kāi)__________.例29．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．例30．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：冪函數(shù)的圖象例31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無(wú)圖象確定函數(shù)的定義域，進(jìn)而確定中分母“”的奇偶性；當(dāng)圖象在軸左側(cè)有圖象時(shí)，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類(lèi)似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無(wú)圖象，有圖象時(shí)，再利用奇偶性作出圖象即可．例32．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3例33．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．例34．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示是函數(shù)(且互質(zhì))的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且 B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且 D．是偶數(shù)，且例35．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖像不可能是（

）A． B．C． D．例36．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示，則（

）A．p為奇數(shù)，且 B．p為奇數(shù)，且C．p為偶數(shù)，且 D．p為偶數(shù)，且題型六：定點(diǎn)問(wèn)題例37．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn) B．函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二象限C．如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同 D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)例38．（多選題）（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．函數(shù)的最小值為0例39．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）任意兩個(gè)冪函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．最少一個(gè)，最多三個(gè) B．最少一個(gè)，最多二個(gè)C．最少個(gè)，最多三個(gè) D．最少個(gè)，最多二個(gè)例40．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）B．若函數(shù)f（x）＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增C．冪函數(shù)的圖象上的點(diǎn)一定不在第四象限D(zhuǎn)．冪函數(shù)的圖象不可能是直線題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問(wèn)題例41．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____．【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，必須對(duì)圖象的特征有深刻的認(rèn)識(shí)．可見(jiàn)，能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的重要途徑．例42．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意的，，且，滿足，若a，，且，則______0（填“＞”“＝”或“＜”）．題型八：比較大小例43．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，，．【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個(gè)數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個(gè)冪函數(shù)的兩個(gè)不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問(wèn)題．當(dāng)然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題也是可以的．（3）引進(jìn)數(shù)“1”和“0”，三個(gè)數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．例44．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大小．例45．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，試比較，，的大?。}型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例46．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來(lái)考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點(diǎn)題型．解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題．例47．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若函數(shù)在上滿足：對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列函數(shù)能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．例48．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱(chēng)在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B．若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C．若，則為R上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則例49．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)____.例50．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_．例51．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①定義域?yàn)?；②在單調(diào)遞增；③．例52．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，求的解析式：(2)若在上減函數(shù)，求的取值范圍．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．44．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）“當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的（

）條件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)部分圖象大致為（

）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或38．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)10．（2022·廣東茂名·高一期末）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值可能是（

）A． B． C． D．11．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為減函數(shù)C．若，則D．若，則12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．的值域是C．若，則D．是上的增函數(shù)三、填空題13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則______．14．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)__．15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解為_(kāi)_____．16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②；③任取，，且．四、解答題17．（2022·全國(guó)·高一）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．18．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，.(1)求方程的解集；(2)定義：.已知定義在上的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.19．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是冪函數(shù)，且圖象過(guò)點(diǎn)(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)當(dāng)x<0時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性，并給出證明．20．（2022·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高一期末）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)()，函數(shù)為奇函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式及實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用的數(shù)單調(diào)性定義證明21．（2022·遼寧·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)（）的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增．(1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，(1)求的解析式及定義域；(2)設(shè)函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減．3.3冪函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．2．作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)作出第三象限的圖象．3．冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4．冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問(wèn)題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱(chēng)為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小．（3）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大?。虎塾蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大?。绢}型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：求函數(shù)解析式題型三：定義域問(wèn)題題型四：值域問(wèn)題題型五：冪函數(shù)的圖象題型六：定點(diǎn)問(wèn)題題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問(wèn)題題型八：比較大小題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【典型例題】題型一：冪函數(shù)的概念例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】?jī)绾瘮?shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個(gè)故選：B【方法技巧與總結(jié)】?jī)绾瘮?shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選：C.例3．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如（為常數(shù)且）為冪函數(shù)，所以，函數(shù)為冪函數(shù)，函數(shù)、、均不是冪函數(shù).故選：C.例4．（2022·河北·高一階段練習(xí)）下列函數(shù)，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義：形如的函數(shù)是冪函數(shù)，排除A；的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是非奇非偶的函數(shù)，所以排除B;是偶函數(shù)，所以排除C；，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以選D.故選：D.題型二：求函數(shù)解析式例5．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），那么這個(gè)冪函數(shù)的解析式為_(kāi)__________．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，∵冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴這個(gè)冪函數(shù)的解析式為．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】?jī)绾瘮?shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對(duì)表現(xiàn)形式要求非常嚴(yán)格．判定一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個(gè)特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．例6．（2022·廣東·江門(mén)市廣雅中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則_________．【答案】1【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，符合題意；當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不符合題意；即；故答案為：例7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式．【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，得，又∵，∴或1．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，將分別代入，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿足條件.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿足條件.的解析式為．例8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是_____.【答案】【解析】是冪函數(shù)，，解得或，若，則，在上不單調(diào)遞減，不滿足條件；若，則，在上單調(diào)遞增，滿足條件；即.故答案為：例9．（2022·湖北黃石·高一期末）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得m=1或m=-3，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以實(shí)數(shù)m的值為-3.故答案為：-3例10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，滿足，則_________．【答案】【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，設(shè)，又，所以，即，所以，得所以，則.故答案為：.例11．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則___________．【答案】4【解析】由于是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，符合題意.當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不符合題意.所以的值為，∴.，.故答案為：4.例12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B．3 C．9 D．8【答案】B【解析】由題意知，所以，即，所以，所以，所以.故選：B例13．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B．16 C． D．【答案】D【解析】由題意得，解得，所以，故,故選：D例14．（2022·上海市控江中學(xué)高一期中）已知為常數(shù)，函數(shù)為冪函數(shù)，則的值為_(kāi)_____;【答案】或1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，即，解得或.故答案為：或1.例15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為故答案為：例16．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)_________，若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式是____________．【答案】

【解析】由冪函數(shù)的性質(zhì)知：在第一象限恒過(guò)，設(shè)冪函數(shù)，則，即，故.故答案為：，.題型三：定義域問(wèn)題例17．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知解得，所以f(x)的定義域?yàn)椋蔬x：B．【方法技巧與總結(jié)】使表達(dá)式有意義．例18．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）冪函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____;【答案】【解析】由根式的性質(zhì)知：，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：例19．（2022·河南·濮陽(yáng)一高高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】∵的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，，應(yīng)該滿足：，即，∴的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋豪?0．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】若有意義，則，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：例21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t有，解得且，因此的定義域是．故選：B.題型四：值域問(wèn)題例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋?/p>

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【答案】B【解析】解法一：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，可得，所以，．因?yàn)?，所以，故．因此，函?shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．解法二：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，可得，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，解得，即函?shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．例23．（2022·上海師大附中高一期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，綜上所述，的值為，函數(shù)的解析式為.(2)由（1）知，，所以，令，則，，所以，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞增；所以，所以函數(shù)在的值域?yàn)?例24．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．【解析】（1）依題意，即，解得，因?yàn)?，所以或或，所以或或?）若定義域?yàn)?，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；若定義域?yàn)?，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若定義域?yàn)?，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；（3）若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；若，則為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋焕?5．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對(duì)任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）令，則，則，故．（2）由（1）可得．因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．故．對(duì)任意，，不等式恒成立，即對(duì)任意，不等式恒成立，則解得或．故的取值范圍是．例26．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）使用五點(diǎn)作圖法，在圖中畫(huà)出的圖象，并注明定義域．（2）求函數(shù)的值域．【解析】（1）由于，則，，，所以過(guò)點(diǎn)，故的圖象，如圖所示，函數(shù)的定義域?yàn)椋唬?）由題可知，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的值域?yàn)椋?7．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象是上升的．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）若存在實(shí)數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，求實(shí)數(shù)a，b的值．【解析】（1）為冪函數(shù)，∴，解得或，又在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在實(shí)數(shù)a，b使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．例28．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，其中，則其值域?yàn)開(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)，則.因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：例29．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，若，有，而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時(shí)，若，有，而，若函數(shù)的值域?yàn)?，必有，可得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：例30．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，的值域，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，因函數(shù)的值域?yàn)?，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D題型五：冪函數(shù)的圖象例31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)，則滿足，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，又，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得選項(xiàng)C符合題意．故選：C【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無(wú)圖象確定函數(shù)的定義域，進(jìn)而確定中分母“”的奇偶性；當(dāng)圖象在軸左側(cè)有圖象時(shí)，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類(lèi)似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無(wú)圖象，有圖象時(shí)，再利用奇偶性作出圖象即可．例32．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【解析】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D例33．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，定義域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故符合題意的只有C；故選：C例34．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示是函數(shù)(且互質(zhì))的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且 B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且 D．是偶數(shù)，且【答案】C【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故為奇數(shù)，為偶數(shù)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故，故選：C.例35．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，而當(dāng)為其他值時(shí)，B,C,D均有可能出現(xiàn).故選：A例36．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示，則（

）A．p為奇數(shù)，且 B．p為奇數(shù)，且C．p為偶數(shù)，且 D．p為偶數(shù)，且【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，則有，所以．故選：D．題型六：定點(diǎn)問(wèn)題例37．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn) B．函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二象限C．如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同 D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不過(guò)點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象過(guò)第一、三象限，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)函數(shù)不相同，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故D項(xiàng)正確．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)例38．（多選題）（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．函數(shù)的最小值為0【答案】BD【解析】依題意，所以，由于的定義域是，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是非奇非偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.在上遞增，所以B選項(xiàng)正確.，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD例39．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）任意兩個(gè)冪函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．最少一個(gè)，最多三個(gè) B．最少一個(gè)，最多二個(gè)C．最少個(gè)，最多三個(gè) D．最少個(gè)，最多二個(gè)【答案】A【解析】因?yàn)樗袃绾瘮?shù)的圖象都過(guò)，所以最少有個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)函數(shù)為和時(shí)，它們有個(gè)交點(diǎn)，故選：．例40．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）B．若函數(shù)f（x）＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增C．冪函數(shù)的圖象上的點(diǎn)一定不在第四象限D(zhuǎn)．冪函數(shù)的圖象不可能是直線【答案】C【解析】?jī)绾瘮?shù)y＝x－1的圖象不過(guò)點(diǎn)（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上單調(diào)遞減，于是A，B都不正確．冪函數(shù)y＝x的圖象是直線，D不正確．當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝xα>0必成立，所以，冪函數(shù)的圖象上的點(diǎn)一定不在第四象限，C正確故選：C．題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問(wèn)題例41．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，，解得，，或．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)滿足條件，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)不滿足條件，則不等式等價(jià)為，即，在R上為增函數(shù)，，解得：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，必須對(duì)圖象的特征有深刻的認(rèn)識(shí)．可見(jiàn)，能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的重要途徑．例42．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意的，，且，滿足，若a，，且，則______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得m＝－1或m＝2．當(dāng)m＝－1時(shí)，；當(dāng)m＝2時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意的，，且，滿足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，即．故答案為：?題型八：比較大小例43．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以．（2）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，所以，所以．（3），，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以．【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個(gè)數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個(gè)冪函數(shù)的兩個(gè)不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問(wèn)題．當(dāng)然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題也是可以的．（3）引進(jìn)數(shù)“1”和“0”，三個(gè)數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．例44．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大小．【解析】==，因此將冪函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得帶函數(shù)的圖象，由此可知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．在上找出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．由，．例45．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，試比較，，的大小．【解析】，，設(shè)函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，所以題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例46．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，故A正確，因?yàn)榈亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故C正確，當(dāng)時(shí)，，又，所以，D正確．故選：ACD.【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來(lái)考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點(diǎn)題型．解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題．例47．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若函數(shù)在上滿足：對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列函數(shù)能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】不妨設(shè)，則由題意可得，即，由單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即若在上單調(diào)遞增，則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”．A選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；B選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；C選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合“理想函數(shù)”的定義；D選項(xiàng)中．該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義．故選：ABD．例48．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱(chēng)在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B．若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C．若，則為R上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：在上為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”，A正確；對(duì)于B：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為增函數(shù)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”，B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知為R上的增函數(shù)，為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，故不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，，則，綜上.故D正確．故選：ABD．例49．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)____.【答案】【解析】，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則當(dāng)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在在單調(diào)遞增，故答案為：例50．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_．【答案】【解析】由，得或，令，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，而y＝是定義域內(nèi)的增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．例51．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①定義域?yàn)椋虎谠趩握{(diào)遞增；③．【答案】（答案不唯一）【解析】的定義域?yàn)?，在區(qū)間遞增，且，所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）例52．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，求的解析式：(2)若在上減函數(shù)，求的取值范圍．【解析】(1)在上增函數(shù)，，解得又,，由為偶函數(shù)知，；(2)若在上減函數(shù)，則，解得或，即的取值范圍是{或且}．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于，是二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于，，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意故選：B2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，因?yàn)?，因此，函?shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】設(shè)，依題意，所以，所以，所以；故選：B4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）“當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的（

）條件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，所以有，所以冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的充分不必要條件，故選：C5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，故BD不正確；當(dāng)時(shí)，，且為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，故A不正確，故選：C.6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.7．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】∵函數(shù)是冪函數(shù)，則，∴或.當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)在上是減函數(shù)，不合題意.故選：B.8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題，滿足條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.故選：A二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以，所以，故為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增；故選：ABD10．（2022·廣東茂名·高一期末）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】∵函數(shù)是冪函數(shù)，∴，解得或.故選：AC.11．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列命