第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年云南省大理州大理市下關(guān)一中教育集團高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.命題“?x∈(0,π2)，exA.“?x∈(0,π2)，ex+2sinx≥2x” B.“?x∈(0,π2)，ex+2sinx≤2x”

C.“?x∈(0,2.已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且P((A∪B)|C)=12，P(B|C)=16，A.112 B.16 C.133.函數(shù)y=lnx在x=1處的切線方程為(

)A.x?y+1=0 B.x?y?1=0 C.x+y+1=0 D.x+y?1=04.在學(xué)校組織的一次活動結(jié)束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相鄰，則不同的站法有(

)A.120種 B.72種 C.48種 D.24種5.已知α是銳角，cos(α+π6)=1A.4+26 B.4?266.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a=f(7)?f(5)2，b=f′(5)，c=f′(7)，則下列數(shù)值排序正確的是(

)A.b<a<c

B.c<b<a

C.a<b<c

D.b<c<a7.已知曲線x2+y2?4x?2y+1=0關(guān)于直線ax+by?1=0(a>0,b>0)對稱，則A.2 B.4 C.228.函數(shù)f(x)是定義在(?π,0)∪(0,π)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(π2)=0，當0<x<π時，f′(x)sinx?f(x)cosx<0，則關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集為A.(?π2,0)∪(π2,π) B.(?二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.復(fù)數(shù)z=3?i1+i，則下列說法正確的有(

)A.|z|=5 B.z的共軛復(fù)數(shù)z?=1+2i

C.z的虛部為?2i10.下列計算正確的有(

)A.(x2)′=2x B.(x+1x)′=1+11.(x?2x)A.展開式共7項 B.所有項的二項式系數(shù)之和為128

C.x項系數(shù)為280 D.所有項的系數(shù)之和為?112.拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F(0,1)，經(jīng)過點F且傾斜角為α的直線l與拋物線C交于A，B兩點，分別過點A、點B作拋物線C的切線，兩切線相交于點E，則(

)A.當|AB|=16時，α=π3 B.△AOB面積的最大值為2

C.點E在一條定直線上 D.設(shè)直線EF傾斜角為β，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在一次數(shù)學(xué)測試中，8名同學(xué)的成績?nèi)缦拢?12、96、100、108、121、87、103、111.則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為______．14.已知向量a=(2,?3,1)，b=(m?1,2,1)，且a⊥b，則m=15.“楊輝三角”揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則在第10行中最大數(shù)為______．

16.甲、乙、丙三人做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人，則經(jīng)過5次傳球后，球在甲手中的概率為______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sinB+cosB)=c．

(1)求A；

(2)若c=2,a=5,D為18.(本小題12分)

2024年5月4日是“五四運動”105周年紀念日，為弘揚五四愛國主義精神，某學(xué)校開展了愛國主義知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)歷史的問題，每個人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概率為13.甲、丙兩人都回答正確的概率是14，乙、丙兩人都回答正確的概率是12．

(1)若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)都回答正確的概率；

(2)若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為16，119.(本小題12分)

已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，滿足a1+a4=18，且a2a3=32．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

20.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC/?/AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點，F(xiàn)是線段PC上一動點．

(1)求證：平面PBC⊥平面PAB；

(2)若直線BF與平面ABCD所成角的正弦值為33時，求點C到平面AEF的距離．21.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax有兩個零點．

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：a(22.(本小題12分)

已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)中，焦距為42，且雙曲線過點P(?3,1).斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過點P．

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)是否存在直線參考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.AC

11.BD

12.CD

13.108

14.7215.252

16.51617.解：(1)根據(jù)正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)，

則有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B)，

∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAsinB=cosAsinB，sinB≠0，

∴sinA=cosA，∴A=45°；

(2)根據(jù)余弦定理有a2=b2+c2?2bccosA，

則有5=b2+2?2b，解之得b=3，b=?1(舍去18.解：(1)設(shè)乙答題正確的概率為p2，丙答題正確的概率為p3，

則甲、丙兩人都回答正確的概率是13p3=14，解得p3=34，

乙、丙兩人都回答正確的概率是34p2=12，解得p2=23，

所以若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，

則甲、乙、丙三名同學(xué)都回答正確的概率為P=13×23×34=16；

19.解：(1)由a1+a4=18,a2a3=32?a1(1+q3)=18,a12q3=32,

因為q>1，解得a1=2,q=2或a120.解：(1)證明：∵PA⊥底面ABCD，又BC?底面ABCD，

∴BC⊥PA，又易知BC⊥AB，且PA∩AB=A，

PA,AB?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PAB；

(2)如圖，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立直角坐標系，根據(jù)題意可得：

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(0,2,1)，P(0,0,2)，

設(shè)PF=λPC，λ∈[0,1]，

則AF=AP+PF=AP+λPC=(0,0,2)+λ(2,2,?2)=(2λ,2λ,2?2λ)，

∴BF=AF?AB=(2λ,2λ,2?2λ)?(2,0,0)=(2λ?2,2λ,2?2λ)，

又易知平面ABCD的法向量為m=(0,0,1)，

設(shè)直線BF與平面ABCD所成角為θ，

則sinθ=|cos<BF,m>|=|2?2λ|(2λ?2)2+4λ2+(2?2λ)221.解：(1)f′(x)=1x?a=1?axx，(x>0)，

當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)至多一個零點；

所以a>0，且x∈(0,1a)時，f′(x)>0；x∈(1a,+∞)時，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞增，在(1a,+∞)上單調(diào)遞減，

須有f(1a)=ln1a?1>0，∴0<a<1e．

又x→0時，f(x)→?∞；x→+∞時，f(x)→?∞．

所以f(x)有兩個零點，a的取值范圍為(0,1e)．

證明：(2)不妨設(shè)x1<x2，由f(x1)=f(x2)，則0<x1<1a<x2．

設(shè)F(x)=f(x)?f(2a?x)(0<x<1a)，

F′(x)=f′(x)?f′(22.解