專題6.3平面對(duì)量的運(yùn)算1．向量的加法運(yùn)算(1)向量加法的定義及兩個(gè)重要法則(2)多個(gè)向量相加為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最終一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：；(2)結(jié)合律：.3．向量的減法運(yùn)算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則=-=-.即-可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①；

②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè),為實(shí)數(shù)，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特殊地，我們有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于隨意向量,，以及隨意實(shí)數(shù),,，恒有()=.5．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使=.

(2)向量共線定理的應(yīng)用——求參

一般地，解決向量,共線求參問(wèn)題，可用兩個(gè)不共線向量(如,)表示向量,，設(shè)=(≠0)，化成關(guān)于,的方程()=-()，由于,不共線，則解方程組即可.【題型1向量的加減法運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】向量的加減法運(yùn)算有如下方法：(1)利用相反向量統(tǒng)一成加法(相當(dāng)于向量求和)；(2)運(yùn)用減法公式-=(正用或逆用均可)；(3)運(yùn)用幫助點(diǎn)法，利用向量的定義將全部向量轉(zhuǎn)化為以其中一確定點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有共同起點(diǎn)的向量問(wèn)題.【例1】（2024春·北京豐臺(tái)·高一期末）AB-AD+A．BC B．CB C．BD D．DB【解題思路】依據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)锳B-故選：B.【變式1-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)AC-BD+A．0 B．DA C．BC D．AB【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算干脆求解.【解答過(guò)程】AC===BC故選：C.【變式1-2】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在四邊形ABCD中，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中確定正確的是（

）A．AB+BCC．AB+AD【解題思路】由向量加法的三角形法則可推斷AD，由向量減法的運(yùn)算法則可推斷B，由向量加法的平行四邊形法則可推斷C.【解答過(guò)程】依據(jù)三角形法則可得AB+依據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得AB-四邊形ABCD不愿定是平行四邊形，所以不愿定有AB+依據(jù)三角形法則可得BC+故選：D.【變式1-3】（2024春·廣西南寧·高二開(kāi)學(xué)考試）下列化簡(jiǎn)結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A．AB+BCC．OA-OD【解題思路】依據(jù)向量加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可【解答過(guò)程】對(duì)A，原式=AC對(duì)B，原式=AB對(duì)C，原式=OA對(duì)D，原式=AB故選：D．【題型2三角形（平行四邊形）法則的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)向量加減法的幾何意義，將對(duì)應(yīng)向量表示出來(lái)即可.【例2】（2024秋·四川·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，向量b-a等于（A．e1-3e2 B．【解題思路】依據(jù)向量的減法法則可得選項(xiàng)．【解答過(guò)程】由向量的減法得b-故選：A．【變式2-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，向量a-b等于（A．-e1C．e1-【解題思路】依據(jù)向量線性運(yùn)算法則，結(jié)合圖像即可求解.【解答過(guò)程】a-b等于向量b的終點(diǎn)指向向量分解后易知a-故選：A.【變式2-2】（2024秋·安徽蕪湖·高一期中）如圖，向量e1，e2，a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若a=λeA．-4 B．-【解題思路】依據(jù)圖象求得正確答案.【解答過(guò)程】由圖象可知a=故選：D.【變式2-3】（2024秋·湖南衡陽(yáng)·高一期末）如圖，在7×5正方形網(wǎng)格中，向量a，b滿足a⊥b，則A．2a+C．-3a【解題思路】由向量加減法運(yùn)算法則，得到所求向量為DC，再由向量減法的三角形法則，以及向量數(shù)乘運(yùn)算，計(jì)算答案.【解答過(guò)程】由題意，得AB-故選：C.【題型3向量的線性運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算，遵循括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算優(yōu)先的原則，將相同的向量看作“同類項(xiàng)”進(jìn)行合并.要留意向量的數(shù)乘所得結(jié)果仍是向量，同時(shí)要在理解其幾何意義的基礎(chǔ)上，嫻熟運(yùn)用運(yùn)算律.【例3】（2024春·新疆喀什·高一階段練習(xí)）3aA．5a B．5b C．-【解題思路】依據(jù)向量運(yùn)算加減法的運(yùn)算公式，即可求解.【解答過(guò)程】依據(jù)向量運(yùn)算公式可知，3a故選：B.【變式3-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=2e，b=-3e，A．18e B．-3e C．【解題思路】由向量的運(yùn)算可得答案.【解答過(guò)程】3a故選：A.【變式3-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）32a-A．4a+3b B．4a【解題思路】由平面對(duì)量的線性運(yùn)算方法即可求得答案.【解答過(guò)程】由題意，32故選：B.【變式3-3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）a+2b+2A．2a B．3a C．-【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】依題意得：a+2故選：B.【題型4用已知向量表示相關(guān)向量】【方法點(diǎn)撥】用已知向量來(lái)表示其他向量是解向量相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相像三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有干脆關(guān)系的向量進(jìn)行求解.【例4】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，?ABCD中，AB=a，AD=b，點(diǎn)E是AC的三等分點(diǎn)(A．13a-23b【解題思路】依據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【解答過(guò)程】DE故選：B.【變式4-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形ABCD中，設(shè)AB=a，AD=A．-a+C．a(chǎn)+b【解題思路】依據(jù)向量加法、減法的運(yùn)算求得DC.【解答過(guò)程】DC=故選：D.【變式4-2】（2024·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且OA=a，OB=b，則A．a(chǎn)+bC．b-a【解題思路】依據(jù)給定條件利用平面對(duì)量的減法運(yùn)算列式作答.【解答過(guò)程】在平行四邊形ABCD中，依題意，OC=-OA所以BC=故選：D.【變式4-3】（2024秋·甘肅武威·高一期中）如圖，向量AB=a，AC=b，CD=A．a(chǎn)+b+c B．a(chǎn)【解題思路】利用向量加法和減法的三角形法則計(jì)算即可.【解答過(guò)程】BD=故選：C.【題型5向量共線定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】向量共線的判定一般是用其判定定理，即是一個(gè)非零向量，若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=，則向量與非零向量共線.解題過(guò)程中，須要把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而相互表示，由此推斷共線.【例5】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知A，B，C為三個(gè)不共線的點(diǎn)，P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若PA+PB=A．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部 B．點(diǎn)P在△ABC外部C．點(diǎn)P在直線AB上 D．點(diǎn)P在直線AC上【解題思路】由向量的運(yùn)算可得CA=【解答過(guò)程】∵PA+∴PB-∴CB=即CA=故點(diǎn)P在邊AC所在的直線上.故選：D.【變式5-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，CB=λPA+A．△ABC內(nèi)部 B．在直線ACC．在直線AB上 D．在直線BC上【解題思路】依據(jù)共線定理可知即PC與PA共線，從而可確定P點(diǎn)確定在AC邊所在直線上．【解答過(guò)程】∵∴PB∴-∴PC//PA，即PC∴P點(diǎn)確定在AC邊所在直線上.故選：B．【變式5-2】（2024春·湖南長(zhǎng)沙·高二階段練習(xí)）已知a，b為不共線的非零向量，AB=a+5b，BC=A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【解題思路】依據(jù)給定條件，求出BD,【解答過(guò)程】a，b為不共線的非零向量，AB=a+5b，則BD=BC+因1-2≠58，則AB與BC不共線，A因AB=BD，即AB→與BD→共線，且有公共點(diǎn)B，則A，因-23≠8-3，則BC與CD不共線，因-13≠13-3，則AC與CD不共線，故選：B.【變式5-3】（2024春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）O是平面上確定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP＝OA+λ(AB+ACA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】取線段BC的中點(diǎn)E，則AB+AC=2AE．動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=【解答過(guò)程】取線段BC的中點(diǎn)E，則AB+動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+則OP則AP=2則直線AP確定通過(guò)△ABC的重心．故選：C．【題型6向量線性運(yùn)算在三角形中的運(yùn)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，利用向量的線性運(yùn)算，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2024春·北京大興·高三期末）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的珍寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點(diǎn)，若AG=xAB+yA．25 B．4【解題思路】利用平面對(duì)量線性運(yùn)算法則以及平面對(duì)量基本定理，將AG用AB,BC表示出來(lái)，求出x，【解答過(guò)程】由題意可得AG=因?yàn)镋FGH是平行四邊形，所以AG=-CE，所以AG因?yàn)锳G=xAB則2x故選:D.【變式6-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2024年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，“紅星閃閃放光彩”，國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)特殊美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著緊密聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以A、B、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且AT=5+12TS，設(shè)ESA．5+12 B．5-1【解題思路】依據(jù)五角星中長(zhǎng)度關(guān)系，結(jié)合向量加法運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．【解答過(guò)程】五角星中，ES=RC，則ES-由于AT則λ=故選：D.【變式6-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）莊重美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)特殊美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且PTAT＝5-1A．BPB．CQC．ESD．AT【解題思路】利用平面對(duì)量的概念、平面對(duì)量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：在如圖所示的正五角星中