§3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

知識(shí)梳理?

1.生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通

常稱為,通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道是求函數(shù)最大（?。?/p>

值的有力工具，運(yùn)用,可以解決一些生活中的.

2.解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，要把問題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，

這需通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成.函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確

定，當(dāng)定義域是開區(qū)間，而且其上有惟一的極值，則它就是函數(shù)的最值.

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

（60—公

1.某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)X的關(guān)系為，（x）=x]一5一J（0CK60）,則當(dāng)

箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為（）

A.30B.40C.50D.其他

2.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)

關(guān)系式為y=—；V+81x—234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為

O

（）

A.13萬件B.11萬件

C.9萬件D.7萬件

3.某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有

的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分

別為（）

A.32米，16米B.30米，15米

C.40米，20米D.36米，18米

4.若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時(shí)，底面邊

長(zhǎng)為（）

A.際B.C.折？D.2際

5.要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積最大，則高為

()

10小

A."T-cmB.-r―cm

oO

20J3

C?-cmD.-r―cm

o0

6.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本

增加100元，已知總收益r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是下=

1400x—^x0W_r^400

,則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是()

〔80000x>400

A.100B.150C.200D.300

題號(hào)123456

答案

二、填空題

7.某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)必與倉庫到車站的距離成反比，而

每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)的與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉

庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用B和理分別為2萬元和8萬元.那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最

小，倉庫應(yīng)建在離車站千米處.

8.如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗

戶周長(zhǎng)最小時(shí)，x與力的比為________.

9.做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27H，且用料最省，則圓柱

的底面半徑為.

三、解答題

10.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距7米，余下工程只需建

兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為

x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+,)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，

所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元.

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)加=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？

11.某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低價(jià)格,

銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元,

0WxW30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件.

(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；

(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？

12.某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10

層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x210)層，則

每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位：元).為了使樓房每平方米的

平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑

眩H出邙蒂用

費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=日就溫＞

13.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為6^100+4?,價(jià)格p

與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為P=25—Jq,求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)/最大.

O

§3.4生活中的優(yōu)化問題舉例答案

知識(shí)梳理

1.優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)優(yōu)化問題

作業(yè)設(shè)計(jì)

3

1.B[V(x)=60x—=0,x=0或x=40.

X(0,40)40(40,60)

V(x)+0—

/極大值

可見當(dāng)x=40時(shí)，Mx）達(dá)到最大值.]

2.C\_y'=—f+81,令=0,得x=9或x=—9（舍去）.當(dāng)0<x<9時(shí),

/>0；當(dāng)*>9時(shí)，y'<0,故當(dāng)x=9時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值.]

3.A[要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短，

X

5x12

512512

如圖所示，設(shè)場(chǎng)地寬為X米，則長(zhǎng)為一米，因此新墻壁總長(zhǎng)度￡=2*+—

XX

（x>0），

令￡'=0,得x=±16.?「x>。，...x=16.

512

當(dāng)x=16時(shí)，￡極小值=曰訪=64,此時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為n=32（米）.]

4.C[設(shè)底面邊長(zhǎng)為4直三棱柱高為力.

體積，=乎才力，所以力=/今，

士V3,,4K2,4A/3K

表面積5=2?-^—a+3a?-^=%a+~^—，

473a22a

S'4yP,由￡=0,得。=汨2

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)且=洞寸，表面積最小.]

5.D[設(shè)高為xcm,則底面半徑為92。2—>cm,

JT

體積V=—x*(20-V)(0<^<20),

o

V=-^-(400—37),由V=0,得x=笠2或x=一笠但(舍去).當(dāng)xC

OOO

0,駕3時(shí)，V>0,當(dāng)xe憐叵，20)時(shí)，V<0,所以當(dāng)彳=空尖時(shí)，K

取最大值.]

6.D[由題意，總成本為c=20000+100x,

所以總利潤(rùn)為p=r—c

Cy

I300^--200000WxW400

160OOO-lOOxx〉400

'300—x0WxW400

p'={，

[-100x>400

p'=0,當(dāng)0WxW400時(shí)，得x=300；

當(dāng)x>400時(shí)，p'<0恒成立，

易知當(dāng)x=300時(shí)，總利潤(rùn)最大.]

7.5

解析依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y=2每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)%=左X，其

X

中X是倉庫到車站的距離.

于是由2=條得左=20；由8=104，得在=5.

105

204x204

因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y=一+三，/

x5x5

204

令/=一一7+鼻=0得x=5(x=-5舍去)，經(jīng)驗(yàn)證，此點(diǎn)即為最小值點(diǎn).

X0

故當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.

8.1：1

_nS冗一

解析設(shè)窗戶面積為S,周長(zhǎng)為。則5=丁/n+20x,=-_—,所以窗

乙h乙XVx

戶周長(zhǎng)

兀s,兀s

￡=兀x+2x+2力=?才+2才+一,L=—+2——

2x2x

由￡'=0,得x=\J^，x《0，時(shí)，

'<0,

+8時(shí)，L'>0,

所以當(dāng)x=寸，上取最小值,

…力25-n/2sJIJI+4兀

此時(shí)：TFT~474

9.3

97JI27

解析設(shè)半徑為r,則高力=k=r.

nrr

2754JT

工水桶的全面積S（r）=n/+2兀r?7=兀/+、一

54兀

S'（r）=2兀r----,令S'（r）=0,得T=3.

???當(dāng)T=3時(shí)，S（「）最小.

io.解（1）設(shè)需新建〃個(gè)橋墩，則（〃+1）才=勿,

即〃=--1(0<Xzzz),

x

所以y=f(x)=256〃+(〃+1)(2+5)x

=256^—1)+：(2+亞)x

256m,(-,/.

=-1+周x+2m—256(0<Xzz?).

/、?/一，/、256/,11

(2)由(1)知，f(x)=---/+亍批―5

=券(尚-5出?

3

令F(x)=0,得叼=512,所以x=64.

當(dāng)0＜矛＜64時(shí)，f（x）＜0,當(dāng)x）在區(qū)間（0,64）內(nèi)為減函數(shù);

當(dāng)64〈冢640時(shí)，f(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以/'(x)在

,,?,..,,,mb4(J

x=64處取得取小值，此時(shí)77=1—1=9.

x64

故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.

11.解(1)設(shè)商品降低x元時(shí)，多賣出的商品件數(shù)為4V,若記商品在一個(gè)

星期的銷售利潤(rùn)為f(x),則依題意有

f{x)—(30—x—9),(432+加)

=(21—x)?(432+Ax),

又由已知條件24=A?2?,于是有A=6,

所以/'(以=-6f+126上一432*+9072,x￡[0,30].

(2)根據(jù)(1),有f(%)=-18^+252^-432

——18(x—2)(x—12).

當(dāng)X變化時(shí)，Hx)與f'(X)的變化情況如下表：

X[0,2)2(2,12)12(12,30]

f(X)—0+0—

極小值極大