第30講平面對(duì)量的數(shù)量積（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．已知，，則A．8 B．7 C． D．【分析】干脆利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積公式求解即可．【解答】解：，，則．故選：．2．已知向量，，若，則A． B． C． D．【分析】利用平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出．【解答】解：向量，，，，，解得．故選：．3．已知向量，，且，則A．5 B． C． D．4【分析】依據(jù)即可求出，從而可得出的坐標(biāo)，從而可得出的值．【解答】解：，，解得，，．故選：．3．已知單位向量，滿(mǎn)足，則A． B．1 C． D．0【分析】對(duì)條件式兩邊平方計(jì)算，再計(jì)算．【解答】解：是單位向量，，，，故，．故選：．4．已知非零向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】依據(jù)列方程得出，再代入向量的夾角公式即可得出答案．【解答】解：，，即，，，．故選：．5．已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為A． B． C． D．【分析】依據(jù)向量數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：因?yàn)閱挝幌蛄颗c的夾角為，所以向量在向量方向上的投影為；故選：．6．已知向量，，，若，，則A．14 B． C．10 D．6【分析】通過(guò)向量的共線與垂直，求出，，然后求解向量的數(shù)量積即可．【解答】解：向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，則．故選：．7．設(shè)圓的半徑為1，，，是圓上不重合的點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【分析】用表示出，作，垂足為，設(shè)，，用，表示出即可得出最值．【解答】解：，由題意可知，，均為單位向量，故，連接，作，垂足為，設(shè)，，則，，，，，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值．故選：．8．已知，，，若，則最大值為A． B． C． D．【分析】由平面對(duì)量數(shù)量積的定義可知，設(shè)，，則，結(jié)合平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和，可得，若令，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，于是當(dāng)、與三點(diǎn)共線位于和的中間），且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，為，從而得解．【解答】解：，，，即．設(shè)，，則，，，，，化簡(jiǎn)整理得，，令，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．，當(dāng)、與三點(diǎn)共線位于和的中間），且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，為．故選：．9．已知向量，滿(mǎn)足，且對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，設(shè)的夾角為，則的值為A． B． C． D．【分析】依據(jù)條件，對(duì)兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出，從而得出△，進(jìn)而得出，，從而可求出的值．【解答】解：，的夾角為，且對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，，，整理得，，△，，，且，，．故選：．10．（多選）已知向量，設(shè)的夾角為，則A． B． C． D．【分析】依據(jù)題意，求出、的坐標(biāo)，據(jù)此分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【解答】解：依據(jù)題意，，，則，，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，，則不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，則，即，正確；對(duì)于，，，不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，則，，，則，則，正確；故選：．11．（多選）在平行四邊形中，，，，若為線段的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】畫(huà)出圖形，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：在平行四邊形中，，，，若為線段中點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，則，，可得，，，，則；．故選：．12．已知，，且，則與夾角為．【分析】依據(jù)向量夾角的余弦公式即可得出，然后依據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【解答】解：，，且，與的夾角為．故答案為：．13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】可以得出，然后依據(jù)即可得出，從而解出即可．【解答】解：，，，解得．故答案為：．14．已知所在平面內(nèi)的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足：，，是邊上的點(diǎn)，若，，，，則．【分析】由題意可推斷是的外心，是的垂心，結(jié)合，及可推斷為的中點(diǎn)，從而可計(jì)算．【解答】解：，，即，，同理可得：，，是的垂心，，，是的外心，，，下面證明：，延長(zhǎng)交圓于，則，又，，同理可得：，四邊形是平行四邊形，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，又，，與重合，故，．故答案為：15．已知，，，，則．【分析】?jī)蛇吰椒郊纯汕蟪龅闹担窘獯稹拷猓?，，，，，，，即，．故答案為：?6．已知，，．（1）求；（2）求與的夾角．【分析】（1）依據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出；（2）可設(shè)與的夾角為，然后可求出的值，依據(jù)求出的值，從而可得出的值，進(jìn)而得出的值．【解答】解：（1），，，；（2）設(shè)與的夾角為，由（1）與得，，，，且，，．17．已知單位向量，的夾角為，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求．【分析】（1）由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，求出的值．（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出的值，可得，從而求出．【解答】解：（1）單位向量，的夾角為，與不共線．向量，向量，若，則，．（2）若，．，求得，，．18．設(shè)平面對(duì)量，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若且，求實(shí)數(shù)的值．【分析】（Ⅰ）由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得的坐標(biāo)，可得它的模．（Ⅱ）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得的值．【解答】解：（Ⅰ）向量，，0，，．（Ⅱ）若且，，，實(shí)數(shù)．19．如圖，在中，已知，，，為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值．【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量的數(shù)量積求解即可．（2）求出，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積求解兩個(gè)向量的夾角．【解答】解：（1）依題意可知為直角三角形，，如圖建立坐標(biāo)系：則，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，，．（2）由為線段中點(diǎn)可知，，，．20．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，且與的夾角為．（1）設(shè)，求，的值；（2）求的值．【分析】（1）用表示出即可得出，的值；（2）表示出，，再計(jì)算的值．【解答】解：（1），，，，．（2），，，．[B組]—強(qiáng)基必備1．在中，點(diǎn)，在線段上，，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則確定有A． B． C． D．【分析】由題意畫(huà)出圖形，設(shè)，由，得，代入，再令，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再由判別式恒小于等于0求得的值，然后利用數(shù)量積的幾何意義可得，則答案可求．【解答】解：如圖，設(shè)，由，得，又，，即有，，令，則，即恒成立．可得．化為，則．，即在上的投影為的中點(diǎn)．．故選：．2．已知平面單位向量的夾角為，向量滿(mǎn)足，若對(duì)隨意的，記的最小值為，則的最大值為A． B． C． D．【分析】由題意設(shè)，，，，化為，它表示圓；由表示該圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即到直線的距離；得出距離的最小值，求得的最大值為．【解答】解：平面單位向量的夾角為，設(shè)，，，，由得，化簡(jiǎn)得，它表示以點(diǎn)，為圓心，以為半徑的圓；又表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即到直線的距離；距離的最小值為，由圓心，到直線的距離為，則的最大值為．故選：．3．已知平面對(duì)量，，，滿(mǎn)足，，，若平面對(duì)量，且，則的最小值是．【分析】由，可知，于是可分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，此外，不妨設(shè)，則，，，于是有，而，且，，所以點(diǎn)的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．再設(shè)的夾角為，可推知，的夾角為，將其代入，可得，最終結(jié)合雙曲線的定義、平面對(duì)量的減法運(yùn)算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．【解答】解：，，即，不妨令，由于，所以，，如圖所示，分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，且，，點(diǎn)的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．，，如圖，設(shè)的夾角為，則，，，，即，的夾角為，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)．故答案為：．4．在平面四邊形中，，，，若，則的最小值為．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)．可以推