高中數(shù)學(xué)高考沖刺常見易錯題解析合集

一、集合與簡易邏輯

1對集合表示方法理解存在偏差

錯因分析：對集合表示法部分學(xué)生只從形式上“掌握”，對其本

質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見的錯誤是不理解集合的表示法，忽視

集合的代表元素。

【問題】1：已知A={x|x>0},3={x>0},求ADS。

錯解：Ap[B=A

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。

【問題】2:已知A={>[y=x+2},8={(x,y)|%2+,2=由，求人口3。

錯解：AAB={(0,2),(-2,0)}

剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認為A為點集。

2在解含參數(shù)集合問題時忽視空集

錯因分析：由于空集是任何集合的子集。因此對于集合A=B就

有A=0,A口，A=8三種情況。在解題中，如果思維不夠縝密，

就有可能忽視了4=0,導(dǎo)致解題結(jié)果錯誤。尤其是在解含參數(shù)

的集合問題時，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時，所給

的集合可能是空集的情況?？占且粋€特殊的集合，由于思維

定式的原因，考生往往會在解題中遺忘了這個集合，導(dǎo)致答案

錯誤或答案不全面。

【問題】：A.={x\la<x<a2},B={x\-2<x<\],且4=8,求a的

取值范圍。

錯解：［T,0)

剖析：忽視A=0的情況

3在解含參數(shù)問題時忽視元素的互異性

錯因分析：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元

素的三性中的互異性對解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合,

實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。解題時可先求出字母

參數(shù)的值，再代入驗證。

【問題】：已知1￡{a+2,(a+l)2,a2+3a+3),求實數(shù)a的值。

錯解：6!=-2,-1,0

剖析：忽視元素的互異性，其實當(dāng)a=-2時，(a+l)2=4+3a+3=l；

當(dāng)a=-l時，a+2=a2+3a+3=l；均不符合題意。

4命題的否定與否命題關(guān)系不明

錯因分析：命題的否定是命題的非命題，也就是“保持原命題的

條件不變，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題，但否命題

是“否定原命題的條件作為條件，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”

所得的命題。對此?？忌赡軙竷深愬e誤①概念不清，不會對

原命題的條件和結(jié)論作出否定；②審題不夠細心。

【問題】：寫出“若a/M或則的否命題。

錯解一：否命題為“若a史M或a走P,貝UaeMnP”

剖析：概念模糊，弄錯兩類命題的關(guān)系。

錯解二：否命題為“若aeM或aeP,則aeMg”

剖析：知識不完整，aeA/或a史P的否定形式應(yīng)為aeAf且awP。

5充分必要條件顛倒出錯

錯因分析：對于兩個條件A,8,如果AnB,則A是5的充分條件，

8是A的必要條件，如果A=B,則A是8的充要條件。判斷充要

條件常用的方法有①定義法；②集合法；③等價法。解題時最容

易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時,

一定要根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鰷蚀_的判斷。

【問題】：已知是實數(shù)，則“a>0且。>0''是"a+b>0且m>0”的

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既

不充分也不必要條件

錯解：選B

剖析：識記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充

要條件的方法。

6對邏輯聯(lián)結(jié)詞及其真值表理解不準

錯因分析：含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題稱為復(fù)合命

題。在判斷復(fù)合命題真假時，常常因為對概念理解不準確或真

值表記不清而出現(xiàn)錯誤。為此準確理解概念、巧記真值表是解

題的關(guān)鍵。這里介紹一種快速記憶真值表的方法：

或/—有真則真；“p且小—有假則假；“非一一真假

相反。

【問題]：命題p：若a、bWR,則同+例>1是|a+4>i的充分而不

必要條件；命題q：函數(shù)y二J|xT|-2的定義域是(—8,-1]U

[3,+8),貝|

A“p或夕”為假B“p且q”為真Cp真q假

D〃假g真

解法一：選A或B

剖析：對真值表記憶不準，本題中成％真，因此"p或為真，

而，且「為假。

解法二：選C

誤區(qū)二：基礎(chǔ)不牢，在判斷命題p，4真假時出錯。

7否定全稱、特稱命題出錯

錯因分析：全稱命題p:VxeM,p(x),它的否定-1P:玉eM,->p(x),特

稱命題P：玉eM,p(x),它的否定r?:VxeA/,「P(x)。一般來說，全稱命

題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。切記對全

稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論p(x),而且還要對量詞

“V和丁’進行否定。另外，對一些省略了量詞的簡化形式，應(yīng)先

將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。

【問題】寫出下列命題的否定：

p：對任意的正整數(shù)X,x2>x；

〃三角形有且僅有一個外接圓；

r：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180。；

s：有些質(zhì)數(shù)為奇數(shù)。

錯解：①-P：對任意的正整數(shù)X,x2<x;

②F：存在一個三角形有且僅有一個外接圓；

③f：所有的三角形的內(nèi)角和小于180。；

剖析：知識欠缺，基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致出錯。

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

8求函數(shù)定義域時條件考慮不充分

錯因分析：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，

因此求定義域時就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的

限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)

定義域。在求函數(shù)的定義域時應(yīng)注意以下幾點①分式的分母不

為零；②偶次根式被開方式非負；③對數(shù)的真數(shù)大于零；④零的

零次嘉沒有意義；⑤函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集。

【問題】：求函數(shù)產(chǎn)??/1+5+1)。的定義域。

V3-2x-x2

錯解：”3,1]

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視分母不為零；誤以為*+1)。=1對任意實數(shù)

成立。

9求復(fù)合函數(shù)定義域時忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定

義域”

錯因分析：在復(fù)合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值

域，求復(fù)合函數(shù)定義域類型為：

①若已知〃幻的定義域為可，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由

不等式解出即可；②若已知7Ig(x)]的定義域為[a,目，求

g(x)的定義域,相當(dāng)于x￡[a,b]時，求g(x)的值域(即/(幻的

定義域)。

【問題】已知函數(shù)/(x)=log,x+2,xe[1,9],求函數(shù)y=[/(x)『+/廿)的值

域。

錯解：設(shè)』=1小%,vx€[l,9],.*.rG[0,3]9.?.y=〃+6f+6,?."?0,3],

/.yG[6,33]O

剖析：知識欠缺，求函數(shù)尸[/(班+小2)定義域時，應(yīng)考慮廠""9.

1<x<9

10判斷函數(shù)奇偶性時忽視定義域

錯因分析：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對

稱。如果不具備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于

原點對稱的前提下，如果/(-%)=-/(%),則/(X)為奇函數(shù)；如果

/(-%)=/(X),則f(x)為偶函數(shù)。同時還應(yīng)注意在驗證/(%)與/(-X)關(guān)

系時，保持自變量在定義域內(nèi)的任意性。

【問題】1:判斷函數(shù)產(chǎn)包二吟工的奇偶性。

光(九一1)

錯解：原函數(shù)即廣包，，為奇函數(shù)

X

剖析：資料誤導(dǎo)，忽略定義域。

【問題】2：判斷函數(shù)/(X)=，f_l+,]—x2的奇偶性。

錯解：/(-%)=/(%),/.為偶函數(shù)

剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一

結(jié)論，導(dǎo)致錯誤。

11求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時忽視定義域

錯因分析：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；

②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用“同增異減”法則寫單調(diào)區(qū)間。解

此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是“同

增異減”法則不會或法則用錯。

【問題】:求函數(shù)y=logo.5（4+3x-%2）的增區(qū)間。

錯解一：:外層函數(shù)為減函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)"=4+3x-V減區(qū)間為

￡+8）..原函數(shù)增區(qū)間為［3,+oo）o

22

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視定義域問題

錯解二：二4+3x-J〉。，函數(shù)定義域為（—1,4）,又內(nèi)層函數(shù)

〃=4+3犬-%2在（_］,=］為增函數(shù)，在g,+00）為減函數(shù)，...原函數(shù)增區(qū)

22

間為O

2

剖析：識記不好，對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。

12解“二次型函數(shù)”問題時忽視對二次項系數(shù)的討論

錯因分析：在二次型函數(shù)y=ar2+Z?x+c中，當(dāng)awO時為二次函數(shù),

其圖象為拋物線；當(dāng)好0出工0時為一次函數(shù)，其圖象為直線。在

處理此類問題時，應(yīng)密切注意r項的系數(shù)是否為0,若不能確定,

應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們

應(yīng)關(guān)注的對象。例如：

以2+云+。〉0解集為Roa>0,A<0或a=b=O,c>0

加+法+。>0解集為0a<0,A<Os￡a=b=O,c<0

【問題】：函數(shù)/（x）=（加-11+2（加+l）x—1的圖象與x軸只有一個交

點，求實數(shù)m的取值范圍。

錯解：由A=0解得/〃=（）或Tn=—3

剖析：知識殘缺，分類討論意識沒有，未考慮m-1=0的情況。

13用函數(shù)圖象解題時作圖不準

錯因分析：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準確、快速、

靈活及操作性強等諸多優(yōu)點頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們在

解題時應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫準圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖

形“失真”，從而得出錯誤的答案。

【問題】1:求函數(shù)/(x)=x+L的圖象與直線y=2的交點個數(shù)。

XX

錯解：兩個

剖析：忽視“臨界線”。

【問題】2：求函數(shù)代0=二的圖象與直線/(?=2,的交點個數(shù)。

錯解：兩個

剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與嘉函數(shù)增減速度快慢對作圖的影響。

14忽視轉(zhuǎn)化的等價性

錯因分析：等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會

起到意想不到的效果，但等價轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價性，反

之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。

【問題】1：已知方程m?-3x+l=0有且只有一個根在區(qū)間(0,1)

內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍。

錯解：???方程蛆2-3犬+1=0有且只有一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，，

函數(shù)尸/加-3x+l的圖象與x軸在(0,1)內(nèi)有且只有一個交點，

?**/(0)/(1)<0,解得加<2

剖析：知識殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時，應(yīng)考慮到加=0的情況。

剖析：①在轉(zhuǎn)化過程中，去絕對值時出錯，從而得到錯誤的圖象。

②在圖象變換過程中出錯，搞錯平移方向。

15分段函數(shù)問題

錯因分析：與分段函數(shù)相關(guān)的問題有作圖、求值、求值域、解方

程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇偶性等等。在解決此類問題

時，要注意分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，如果自變量

取值不能確定，要對自變量取值進行分類討論，同時還要關(guān)注

分界點附近函數(shù)值變化情況。

【問題】L.已知〃x)=[(2-a)x+l是"上的增函數(shù)，求a的取

axx>i

值范圍。

錯解：(1,2)

剖析：知識殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，

忽視了⑴在分界點附近函數(shù)值大小關(guān)系。

【問題】2：設(shè)函數(shù)“所卜?+-0，0，若―仙,{2)=一2,求關(guān)于

[2,x>0.

X的方程/(%)=%解的個數(shù)。

錯解：兩個

剖析：基礎(chǔ)不實，分類討論意識沒有，未能將方程/(%)=%分兩

種情況來解。

16函數(shù)零點定理使用不當(dāng)

錯因分析：函數(shù)零點定理是指如果函數(shù)/*)在區(qū)間［a如上的圖象

是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有〃a)/3)<0,那么函數(shù)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)有零點。解決函數(shù)零點問題常用方法有定理法、圖象法和

方程法。函數(shù)零點又分為“變號零點”和“不變號零點”，函數(shù)

零點定理僅適用于“變號零點”，對“不變號零點”無能為力。

題】1：.下列函

象與X軸有交

其中不能用二

分法求圖中交點橫坐標(biāo)的是

錯解：選

剖析：二分法的本質(zhì)是函數(shù)零點定理，因此，二分法只能解決不

變號零點問題。

【問題】2:求函數(shù)f(X)=F+2X-3,XW。的零點個數(shù)。

-2+Inx,x>0

錯解：1個

剖析：本題解法有圖象法和方程法兩種。出錯的原因是分段函

數(shù)圖象不會畫或用方程法求解時不會分類討論。

17混淆兩類切線的概念

錯因分析：曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切

線，這樣的切線只有一條；而曲線過某一點的切線是指過這個

點的曲線的所有切線，此時的切線可能不止一條。因此求曲線

的切線時，首先要區(qū)分是什么類型的切線。

【問題】：已知曲線C：y=3W—9/+4,求曲線上橫坐標(biāo)為1的

點的切線方程，該切線與曲線C是否還有其它公共點？

錯解：vy=12x3-6%2-18x,斜率無=—12,，所求切線為

y+4=—12(%—1)o

???該切線與曲線C沒有其它公共點

剖析：知識殘缺，當(dāng)曲線為二次曲線時，直線與曲線相切，有且

只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確。

18誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系

錯因分析：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求

出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符

號進行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。

出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在

一點處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點取到極值的必要條

件。

【問題】:函數(shù)/(x)=x3+ax2+法+/在X=1處有極值10,求凡。的值。

錯解：由/⑴=10,廣⑴=0解得Q=4]=—11或Q=—3/=3

剖析：對“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯把/（X。）

為極值的必要條件當(dāng)作充要條件。

19對“導(dǎo)數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹

錯因分析：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這

個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?,且導(dǎo)函數(shù)在此

區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0o切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大

（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。

【問題】：若函數(shù)=在R上為減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范

圍。

錯解：由尸（幻=3汗-1<0在H上恒成立，「.<，解得a<0

A=12<7<0

剖析：概念模糊，錯把了（幻在某個區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的

充分條件當(dāng)成充要條件。事實上4=。時滿足題意。

20對“導(dǎo)函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚

錯因分析：解答此類題的關(guān)鍵是抓住①導(dǎo)函數(shù)的零點與原函數(shù)

的極值點關(guān)系一一極值點的導(dǎo)數(shù)值為0；②導(dǎo)函數(shù)值的符號與

原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一一原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負。

【問題】：已知函數(shù)廣（x）的導(dǎo)函數(shù)廣,（x）的圖象如圖所示，則

y=廣（x）的圖象最有可能的是.

錯解：選A,B,。

剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于r(0)=八2)=0,且

兩邊值符號相反，故0和2為極值點；又因為當(dāng)x<0和x>2時，

r(x)>0,當(dāng)0<x<2時，r(x)<0,所以函數(shù)/(x)在(-00,0)和(2,+8)上為

增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)。

三、數(shù)列

21由s,求％時忽略對“〃=1”檢驗

錯因分析：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項可與其前n項和S"之間

關(guān)系如下％」號(〃=D,在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記

住其分段的特點。當(dāng)題中給出數(shù)列｛%｝的%與S.關(guān)系時，先令

〃=1求出首項％,然后令"22求出通項a“=S“-S?_j,最后代入驗證。

解答此類題常見錯誤為直接令北2求出通項也不對

〃=1進行檢驗。

【問題】：已知數(shù)列｛%｝的前n項和S“="2_〃+1,求a“。

錯解：由4,-S“T解得見=2〃-2

剖析：考慮不全面，錯誤原因是忽略了4=5-5,1成立的條件112

2,實際上當(dāng)n二1時就出現(xiàn)了So,而S。是無意義的，所以使用

。，尸s「s,i求乙，只能表示第二項以后的各項，而第一項能否用這

個氏表示，尚需檢驗。

22忽視兩個“中項”的區(qū)別

錯因分析：如果成等差數(shù)列，則b為a和c的等差中項；若3c

成等比數(shù)列，則。為〃和c的等比中項。由定義可知，任意兩數(shù)都

有等差中項，且只有一個，"4=a+c”是“。為a和c的等差中項”

的充要條件；而只有同號的兩數(shù)才有等比中項，且為一對互為

相反數(shù)，"b2=ac”僅是‘％為a和c的等比中項”的必要不充分條

件，在解題時務(wù)必要注意此點。

【問題］：b?=ac是a,b,c成等比數(shù)列的（）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充

分有不必要條件

錯解：C

剖析：思維不縝密，沒有注意到當(dāng)b2=ac時，區(qū)帆可能為0。

23等比數(shù)列求和時忽視對討論

錯因分析：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比

數(shù)列的每一項包括公比均不為0,等比數(shù)列的其前n項和s“為分

段函數(shù)，其中當(dāng)q=l時，S,=叼。而這一點正是我們解題中被忽

略的。

【問題】：在等比數(shù)列｛4｝中，S.為其前n項和，且邑=34，求

它的公比Qo

錯解：?.@="3=34,解得

剖析：知識殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對公比q是

否等于1進行討論，導(dǎo)致失誤。

24用錯了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)

錯因分析：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)（略）,

這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯了公式和性質(zhì)，自然就失

去了方向。解決這類問題的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全

面，把各種可能性都考慮進去，認為正確的命題給予證明，認為

不正確的命題舉出反例予以說明。

【問題］：已知等差數(shù)列｛%｝的前m項和為30,前2m項和為

100,求它的前3m項和S3,,,。

錯解一：170

剖析：基礎(chǔ)不實，記錯性質(zhì)，誤以為鼠,%S3,,成等差數(shù)列。

錯解二：130

剖析：基礎(chǔ)不實,誤以為鼠,S2m,S3m滿足S3m=Sm+S2,?o

25用錯位相減法求和時項數(shù)處理不當(dāng)

錯因分析：如果一個數(shù)列為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)

項積所得到的，那么該數(shù)列可用錯位相減法求和?；痉椒ㄊ?/p>

設(shè)這個和式為Sn,在這個和式的兩端同時乘以等比數(shù)列的公比

得到另一個和式，將這兩個和式錯位相減，得到一個新的和式，

該式分三部分①原來數(shù)列的第一項；②一個等比數(shù)列的前n-l

項和；③原來數(shù)列的第n項乘以公比的相反數(shù)。在用錯位相減

法求和時務(wù)必要處理好這三個部分，特別是等比數(shù)列的項數(shù)，

有時含原來數(shù)列的第一項共〃項，有時只有〃-1項。另外，如果

公比為字母需分類討論。

【問題】：求和5“=1+3。+5/+...+（2〃-1）"1o

剖析：①考慮不全面，未對〃進行討論，丟掉°=1時的情形。

②將兩個和式錯位相減后，成等比數(shù)列的項數(shù)弄錯。

③將兩個和式錯位相減后，丟掉最后一項。

26數(shù)列中的最值錯誤

錯因分析：數(shù)列的通項公式與前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)n

的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。但是考生

很容易忽視n為正整數(shù)的特點，有時即使考慮了n為正整數(shù)，

但對于n為何值時，能夠取到最值求解出錯。在關(guān)于正整數(shù)n的

二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸

遠近而定。

【問題】:在等差數(shù)列（??｝中，4=25,S9=S16,求此數(shù)列的前

幾項和最大。

剖析:①解題不細心，在用等差數(shù)列前n和求解時，解得n=12.5,

誤認為n=12.50

②考慮不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出演二0時，誤認為只

有L最大。

四、三角函數(shù)

27用平方關(guān)系求解時忽略角的范圍

錯因分析：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是之

-O解題時，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，

精確確定未知角的范圍，并進行定號”。

【問題】：在AABC中，sinA=9,COSJB二』，求cosA,sinB的值。

513

錯解：cosA=+-,sinB=±—

513

剖析：基礎(chǔ)不實，忽視開方時符號的選取。

28由值求角時忽視討論角的范圍

錯因分析：三角函數(shù)求值題分由角求值、由值求值和由值求角

三類，其中最容易出錯的是第三類。由值求角步驟為①合理求

出該角的一個三角函數(shù)值，②分析該角的范圍，③確定角的大

小。解題時務(wù)必深入挖掘題中隱含的條件，縮小角的范圍，合理

進行取舍。

【問題]：已知A、B為銳角，tanA=-,tan2B=-,求A+2B的值。

74

錯解：...tan(A+2B)JanA+tan2B=],又由于A、B為銳角，，

1一tanAtan23

A+2B=—o

44

剖析：知識殘缺，只注意到A、8為銳角，沒有兼顧到A、B的三

角函數(shù)值的大小。實際上，由于12*二1,121128=巨，，4和28都

74

為銳角，0<A+2B〈乃,而在這個范圍內(nèi)，A+2B的值只有一個了。

29三角公式選用不當(dāng)

錯因分析：三角函數(shù)公式多，綜合性強，解題有一定的技巧，同

學(xué)們解題時，經(jīng)常因為審題不細、分類不清、方法不當(dāng)、忽略隱

含條件、公式用錯等原因而致錯。

【問題】：在AABC■中，A、8為銳角，且sinA=4,sin8=^^,求A+B

的值。

錯解:先求出sin（A+B）=也，:A+BG（O,乃），A+B=-^—

244

剖析：知識殘缺，由于43為銳角，所以A+5e（0,兀）。又由于正

弦函數(shù)在（0,萬）上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin（A+5）,

宜改求cos（A+C）或tan（A+B）o

30求關(guān)于sinx,cosx最值時忽視正、余弦函數(shù)值域

錯因分析：求關(guān)于sinx,cosx最值的常規(guī)方法是通過令r=sinx（或

COSX）將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的二次函數(shù)問題求解。

但由于正、余弦函數(shù)值域限制，「只能在某一特定范圍內(nèi)取值，

解題時務(wù)必要注意此點。

【問題]：已知sinx+siny=；,求siny-cos?x的最大值。

錯解：令t=sinx9得$1"-<：0$2尤=/一/+"|（一14/41）,通過配方、作圖

解得siny-cos?》的最大值為y

剖析：本題雖注意到sinx的值域，但未考慮到sinx與siny相互制

約，即由于TWsinyWl,

-l<sinx<l

/?sinx必須同時滿足1O

-1<——sinx<1

[3

31三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤

錯因分析：對于函數(shù)y=Asin（s+『）來說，當(dāng)3>0時，由于內(nèi)層函

數(shù)〃是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)丫=Asin3：+9）的單調(diào)性與函

數(shù)丁=$二的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性來解

決;但當(dāng)。<0時，內(nèi)層函數(shù)“是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)

y=4sin@r+9）的單調(diào)性與函數(shù)y=sinx的單調(diào)性正好相反，就不能

按照函數(shù)丁=$心的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將

X的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)

圖象從直觀上加以解決。

【問題】：已知函數(shù)尸cos（工-2x）,求它的單調(diào)減區(qū)間。

4

錯解：2攵乃W工-2xW2ATT+%

4

剖析：概念混淆，錯因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的

單調(diào)性概念相混淆。

32圖象變換的方向把握不準

錯因分析：函數(shù)y=Asin（ffif￥+0（A>0,<y>0）的圖象，可由下面的

方法得到①將正弦曲線上所有點向左或向右平行移動個單

位（正左負右）；②再把所得曲線上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍;

CD

③最后把所得曲線上各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍。即先作相位

變換，再作周期變換，最后作振幅變換。

【問題］：要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)y=cos（x\）的

圖象（）

A向右平移N個單位B向右平移N個單位C向左平移四個單位

633

D向左平移N個單位

6

錯解一：C

剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。

錯解二：D

剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯了平移方向。

33由圖象求函數(shù)解析式忽略細節(jié)

錯因分析：由二角函數(shù)圖象求y=4sin（<ar+『）（A>0,（w>0）的解析

式主要分三個步驟：①由函數(shù)的最大（小）值求振幅A；②由函

數(shù)的周期求③由曲線上的一個特殊點的坐標(biāo)求初相夕或用圖

象變換求夕。一般來說，振幅A和。的值是唯一確定的，。的值

是不唯一的，但在指定的范圍內(nèi)往往只有一個，在求夕時一定要

注意選點的合理性。

【問題工如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似

滿足函數(shù)y=Asin（?yx+^?）+B（A>0,<y>0）.

（1）求這段時間的最大溫差.

⑵寫出這段曲線的函數(shù)解析式。

剖析：解此類題前兩步一般不會錯。但在求夕時，多數(shù)學(xué)生由于

點的位置取得不當(dāng)，致使求得的。值不好取舍。

34用正、余弦定理解題的幾個盲點

錯因分析：正、余弦定理及其應(yīng)用題綜合性強，有些題常有不同

的解法，但解法與解法之間又存在著微妙的差別，有時還因為

忽視三角形這一隱含條件致使問題出錯。

【問題】1:在AABC中,已知b=3,C=3后,B=30°,求A及a。

錯解：用正弦定理求得sinC=在，，C=60°,，A=90°,a=6

2

剖析：基礎(chǔ)不牢，錯因在于求得sinC;省后，忽視隱含條件c

2

三b,錯誤地認為C=60°o

【問題】2：在AWC?中，C=3B,求￡的取值范圍。

b

錯解：由正弦定理得￡=4cos2B-1,...0<￡W3

bb

剖析：知識殘缺，忽視了三角形內(nèi)角和定理及隱含的A、B、C

均大于0這一條件，從而致錯。

【問題】3：△ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,kc,若

c=>/2,b=娓,5=120」，求。的值。

錯解：由力2=/+。2+2歷（\）58解得

剖析：記憶錯誤，錯將余弦定理記為/=/+/+現(xiàn)cosB,有時還

會記成/=/+/-8ccosB或k="+（?-乃。等等。

五、平面向量

35概念模糊

錯因分析：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、

平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、

數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。在復(fù)習(xí)時不僅要理解這些

概念，而且還要掌握向量與實數(shù)、向量運算與實數(shù)運算異同點。

【問題】：下列五個命題：

向量職與礪共線，則Pl、P2、0、A必在同一條直線上；

如果向量￡與了平行，貝與了方向相同或相反；

四邊形PR0A是平行四邊形的充要條件是次二礪；

若I1I=I1I,則1％的長度相等且方向相同或相反；

由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行。

其中正確的命題的序號為0

錯解一：選①

剖析：向量而與麗共線，與則直線PR與直線0A可能重合。

錯解二：選②

剖析：若展為零向量，則命題不正確。

錯解三：選④

剖析：=只能說明入了的長度相等但確定不了方

向。

錯解四：選⑤

剖析：零向量與任何向量平行

36忽視零向量

錯因分析：零向量是向量中最為特殊的向量，其長度為0,方向

是任意的，零向量與任何向量共線，它在向量中的位置正如實

數(shù)中的零的位置一樣。正因為如此，有時又容易引起一些混淆，

考生應(yīng)給予足夠的重視。

【問題］：在幾何中，直線的平行關(guān)系具有傳遞性，那么在向量

中是否仍然有“如果Z〃兀且石〃入貝丘〃呢？

錯解：向量平行具有傳遞性

剖析：概念模糊，當(dāng)1=6時命題不正確。

37忽視平面向量基本定理的成立條件

錯因分析：如果13是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對

該平面內(nèi)的任一向量心有且只有一對實數(shù)入I,入2,使頻入工+

入2鼠在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理

是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定

理的作用和成立條件。

【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是

①Z二(0,0),b=(1,-2)；②々=(-1,2),b=(5,7)；

③Z二(3,5),b=(6,10)；@a=(2,-3),b=(4,-6)；

錯解：選①或③或④

剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才

可以作為平面內(nèi)的基底。

38忽視“向量數(shù)量積運算”與“實數(shù)運算”區(qū)別

錯因分析：向量的數(shù)量積入1=?b|COS<a,b>,其主要性質(zhì)

2__一一

有①；②->“石=0；③cos<4,3>=音?④<>為銳角

硼

=4石>0且不同向；<3石〉為鈍角04石<0且久^不反向,

￡石<0是<￡出>為鈍角的必要非充分條件。向量的數(shù)量積與實數(shù)

的乘法在運算上有相似之處，但有著本質(zhì)的區(qū)別，解題時不能

想當(dāng)然套用實數(shù)的法則和性質(zhì)，否則會出錯。

【問題】：設(shè)，入2為平面向量，則下列命題正確的個數(shù)為

①若入i=o,且i5,則1=6；

②若a?b—a?c,貝(]Z;c；

③若|々+1|2二|々|2+|1|2+2入￡

④(a?b)?c=a*(6*c)

錯解一：選①

剖析：基礎(chǔ)不實，力反=當(dāng)標(biāo)=0。

錯解二：選②

剖析：知識殘缺，向量的數(shù)量積不滿足“消去律”。

錯解三：選④

剖析：知識殘缺，向量的數(shù)量積不滿足“結(jié)合律”.

39向量的坐標(biāo)運算不準確

錯因分析：在坐標(biāo)形式下，如果K(xi,y)%二(X2,y2),則

a±b^(xi±x2,yi±y2)；入￡=(入xi,xYi);??b=xix2+yiy2：；

a//b^xiy2-x2y1=0；a_L<=>*因+丫1丫2=0(￡、)。這部分內(nèi)容與

原來所學(xué)的實數(shù)的運算有所不同，不少同學(xué)因為概念理解不透,

公式記憶不牢，經(jīng)常出現(xiàn)解題錯誤。

【問題］：已知點Pl、P2的坐標(biāo)分別為(2,-2),(4,3),向量

?=(2k-l,2),且￡〃強，求k的值。

=

錯解一：P\P2(-2,-5),-5(2左-1)=~4,解得女=，

剖析：識記不好，將向量曬的坐標(biāo)求錯，應(yīng)該是終點坐標(biāo)減去

起點坐標(biāo)。

錯解二：蔗:(2,5),Z〃福，A2(2k-l)+10=0,解得k二-

2

剖析：公式記錯，錯將公式力〃=為必一%2%=°記為用W+X%=0。

六、不等式

40不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)

錯因分析：不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件

不等式，在使用這些性質(zhì)解題時，務(wù)必要檢驗成立條件，不能想

當(dāng)然套用，忽視了就會出錯。

【問題］：已知求函二-夕的取值范圍。

42

錯解：?「Ovav",一王〈6〈衛(wèi),二?0一(一馬<二一,<乃一工,.#?a-/3e.

4242

剖析：套用錯誤，不等式具有同向相加性質(zhì)，但兩邊不能分別相

減。

41忽視等號同時成立的條件，擴大了范圍

錯因分析：在多次運用不等式性質(zhì)時，其等號成立的條件可能

有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴大。為了避免這類

錯誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時等號成立的條件是否相

同；②盡可能多的使用等式。

【問題】：已知函數(shù)/(幻=加+云，J.l</(-l)<2,2</(1)<4,求/(-2)

的取值范圍。

錯解：先由14/(-1)42,24/(1)44求出a,b的范圍，再用不等式

性質(zhì)求出了(-2)的范圍為［5,10］。

剖析：知識殘缺，多次使用同向相加性質(zhì)，從而擴大了取值范圍。

42去分母時沒有判斷分母的符號

錯因分析：解分式不等式的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)a>b,c>O=a

c>bc；a>b,c<O=>ac<bco解分式不等式基本思想是通過

去分母將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在去分母之前必須

對分母的符號進行判斷，必要時要對分母進行討論。

【問題】：解不等式三日>0

x-1

錯解：*.*-——X2-x-6>0,解得{x[x<-2,^tx>3}

剖析：基礎(chǔ)不實，沒有考慮分母x-1的符號，直接去分母，應(yīng)對

X-1進行分類討論，或用數(shù)軸標(biāo)根法求解。

43解含參數(shù)不等式時分類討論不當(dāng)

錯因分析：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點。解此類

不等式時一定要注意對字母分類討論，討論時要做到不重不漏,

分類解決后，要對各個部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進行整合。

【問題】：解關(guān)于X的不等式|2x-l|Wa-2

錯解一：原不等式等價于-(a-2)W2x-"a-2,解得一四+久出色」

2222

剖析：基礎(chǔ)不實，直接利用絕對值不等式的解集公式，而忽視對

a-2進行分類討論。

錯解二：當(dāng)a-2<0時，原不等式不成立。

當(dāng)a-2>0時，原不等式等價于-(a-2)<2x-\<a-2,解得

，+—二」

2222

剖析：技能不熟，沒有對a-2=0進行討論。

44忽視均值不等式應(yīng)用條件

錯因分析：均值不等式a+0(a>0,8〉0)取等號的條件是

“一正，二定，三相等”。

在解題過程中，務(wù)必要先檢驗取等號的三個條件是否成立。常

規(guī)的解法是①如果積或和不是定值，設(shè)法構(gòu)造“定值”；②若是

a〉0S>0不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”或利用導(dǎo)數(shù)求解；③若是等

號不能成立，可根據(jù)“對勾函數(shù)”圖象，利用單調(diào)性求解。

【問題】1：若x<0,求函數(shù)f(x)=x+2的最值。

X

錯解：當(dāng)*=&時，f(x)取得最小值2〃

剖析：基礎(chǔ)不實，基本不等式a+Z?22J茄成立條件為a>0,>>0,

本題中x〈0,不能直接使用公式。

【問題】：設(shè)。<x<7t求函數(shù)/(x)=sinx+-的最小值。

sinx

錯解：/(x)=sinx+—^―>2.sinx>=4

sinxvsinx

剖析：知識殘缺，因為上述解法取等號條件是sinx=」-,sinx=±2,

sinx

而這是不可能的。

【問題】3：設(shè)a〉o,》〉o,且&+。=1,求函數(shù)f(x)=2+3的最小值。

錯解:—+b)(2+2)22病弘?yún)^(qū)=4#,.,.函數(shù)f(x)的最

ababVab

小值為476o

剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但兩次使用均值不等式

時取等號的條件不一樣，因此取不到46。

45平面區(qū)域不明

錯因分析：一條直線/：Ax+By+C=0(AB不全為零)把平面分成兩個半

平面，在每個半平面內(nèi)的點(X,y)使Ac+By+C值的符號一致。

鑒于此，作不等式對應(yīng)的平面區(qū)域方法是畫線定界，取點定域，

若含等號畫實線，否則畫虛線。

【問題】：(x-2y+l)(x+y-3)<0表不的平面區(qū)域是()

錯解一：選A計算錯誤

錯解二：選B思維不縝密

錯解三：選D審題粗心，未注意到不含等號。

46求目標(biāo)函數(shù)最值時忽視），的系數(shù)8的符號

錯因分析：解線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法。當(dāng)B>0時，

動直線/：瓜+的=/在y軸上的截距越大，目標(biāo)函數(shù)z=Ax+6y值越

大，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越??；反之，當(dāng)B<0時，動直線

/：加+8），='在y軸上截距越大，目標(biāo)函數(shù)2=4+為值越小，截距

越小，目標(biāo)函數(shù)值越大。其中y的系數(shù)8的符號是解題的關(guān)鍵,

也是同學(xué)們經(jīng)常忽略的地方。

【問題】：若變量滿足約束條件<x+y20,求目標(biāo)函數(shù)z=%-2）,

冗->-2<0,

的最大值。

錯解：先作可行域，在平移直線/：x-2y=「得最優(yōu)解（-1,1）,所

以Z。1ax=-3

剖析：識記錯誤，當(dāng)y的系數(shù)小于0時，使得直線/在y軸上截

距最大的可行解，是目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解。

七、立體幾何

47不會將三視圖還原為幾何體

錯因分析：在由三視圖還原空間幾何體時，要根據(jù)三個視圖綜

合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，可見輪廓線n

在三視圖中為實線，不可見輪廓線為實

線。在還原幾何體形狀時，一般是以正視n

圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合焉4

考慮。

【問題］：若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

求該幾何體的體積。

錯解：如圖該幾何體是底面為邊長近正方形，高為1

的棱柱，，該幾何體的體積為V=(0)2xl=2

剖析：識圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時出錯。

48對斜二測法規(guī)則掌握不牢

錯因分析：由斜二測法畫直觀圖步驟如下：①建立坐標(biāo)系；②

“位置規(guī)則”一一與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長

度規(guī)則”一一圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度

不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半。對此考生常

見的錯誤有①不會建新坐標(biāo)系X，辦，，②不會用“倒過去”的方法

還原幾何體，③“位置規(guī)則”和“長度規(guī)則”不清楚。

【問題］：已知AABC的平面直觀圖△ABC是邊長為。的正三角形,

求A4BC的面積。

剖析：①對用斜二測法畫平面圖形的直觀圖不熟悉；

②不會將直觀圖還原成實際圖形；

③對一些等量關(guān)系不清楚。

49空間幾何體面積、體積計算錯誤

錯因分析：計算空間幾何體體積要注意①分析清楚空間幾何體

的結(jié)構(gòu)，弄清該幾何體的各個部分的結(jié)構(gòu)特點；②進行合理的

轉(zhuǎn)化和一些必要的等積變換；③正確選用體積計算公式。

【問題】1：一空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體

積。

錯解：2萬+2百

剖析：空間想象能力欠缺，計算錯誤。該

空間

幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的，圓柱

的底

面半徑為1,高為2,體積為2%,四棱錐

的底

面邊長為拉，高為百，所以體積為

所以該幾何體的體積為2萬+半.

【問題】2：右圖是一個幾何體的三視圖，

根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算該幾何體的表面積。

的視圖正（主）?圖便㈤視圖

錯解：11萬

剖析：題意理解不清楚，①由三視圖還原幾何體不準確；②計算

表面積是只考慮圓柱的下底面，忽略了上底面。

50平面公理運用不準確

錯因分析：平面公理包括公理1：如果一條直線上的兩點在一個

平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；公理2：過不在一條直線

上的三點，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面

有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。其

中，公理1是確定一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)；公理2是

證明點線共面的依據(jù)；公理3是確定兩個平面交線的依據(jù)，是

證明點共線、線共點的依據(jù)。

【問題】：三個平面兩兩相交得到三條交線，若其中兩條直線相

交于一點，求證第三條也經(jīng)過此點。

剖析：①應(yīng)用定理時條件不全，推理不嚴密；

②不清楚要證明點在直線上，需先證明點在平面內(nèi)；

③不會用數(shù)學(xué)的語言進行翻譯。

51空間點、線、面位置關(guān)系不清

錯因分析：空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空

間點、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這

類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷,

逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)?/p>

際空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應(yīng)

用準確，考慮問題全面細致。

【問題】：給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個

平面相互平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂

直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直

線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

錯解：A

剖析：①空間想象能力欠缺，不會借助身邊的幾何體作出判斷；

②空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉或定理用錯。

52平行關(guān)系定理使用不當(dāng)

錯因分析：證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在

證明線面平行時，可先把其中一一條直線視為某平面內(nèi)的直線,

然后再利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理證明這兩個平面平

行，最后利用面面平行的性質(zhì)說明線面平行。使用定理時要注

意找足條件，書寫規(guī)范，推理嚴謹。

【問題】：如圖，已知AB、CD是夾在兩平行平

面a、B之間的線段，M、N分別為AB、

中點，求證：MN〃平面a

剖析：①根據(jù)一個平面內(nèi)兩條直線平行與另

一個平面，

就斷定這兩個平面平行，忽視了兩條直線相交的條件；

②把立體幾何圖形誤認為平面圖形，直接應(yīng)用平面幾

何的性質(zhì)和定理而造成錯誤。

53垂直關(guān)系定理使用不當(dāng)

錯因分析：證明空間垂直關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在

證明線線垂直時，可先把其中一條直線視為某平面內(nèi)的直線，

然后再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明另一條直線垂

直于這個平面，進而達到證明線線垂直的目的。

【問題］：已知三棱錐P—ABC中，PA1ABC,AB±AC,PA=AC二%

AB,N為AB上一點，AB=4AN,M、S分別為PB、BC的中點。

①證明：CM1SN；鼠

②求SN與平面CMN所成角的大小.J\\

剖析:①在利用線面垂直的判定定理證明兩個

平面互相垂直時,

只證明了該直線垂直于這個平面內(nèi)的兩條直線，沒有說明這兩

條直線是否相交，不符合定理的條件；②在求線面角時，沒有

說明找角的過程。

54利用空間向量求線面角幾種常見錯誤

錯因分析：若直線與平面所成的角為。，直線的方向向量為相

平面的法向量為力，則sino=|cos“，?>|o容易出錯的是①誤以

為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以

為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的

正弦，而忘了加絕對值；③不清楚線面角的范圍。

【問題】：如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面

內(nèi)，M,N分別為AB,DF的中點。

①若平面ABCD，平面DCEF,求直線MN與平\

面DCEF所成角的大??；

②用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面佇戈丁

CE

直線。

剖析：本題在求得平面DCEF的一個法向量次二（0,0,2）及

--?/\lr/n/_?__MN-DAR

用"二（一1,1,2）后，可得cos（MN,方）二贏話丁一亍?

可能出現(xiàn)的錯誤有：

誤以為直線MN與平面DCEF所成角為arccos"；

誤以為直線MN與平面DCEF所成角為Ji-arccos^;

計誤以為直線MN與平面DCEF所成角為arcsin（-乎）。

55二面角概念模糊

錯因分析：若兩個平面的法向量分別為人I,若兩個平面所成

的銳二面角為6,則cosO=kos<￡,叫；若兩個平面所成二面角為鈍

角，則cos6=Tcos<￡,B>］?？傊?，在解此類題時，應(yīng)先求出兩個平

面的法向量及其夾角，然后視二面角的大小而定。

【問題】：如圖，四棱錐S-A8CD中，底面

為矩形，SD_L底面A8C0,AD=^,DC=SD=

在側(cè)棱SC上，ZABM=60o

①證明："是側(cè)棱SC的中點;

②求二面角的大小。

剖析：本題在求得平面SAM、的法向量￡=（痣，1,1）,1=（3,

0,2）后，然后計算出COS<ZB>￥；接著可能錯誤地以為二面

角S-AM-6為arccos當(dāng)，其實本題中的二面角是鈍角，<癡>僅為

其補角，所以二面角的大小為乃-arccos?。

56利用空間向量證明位置關(guān)系幾種常見錯誤

錯因分析：利用空間向量證明線面位置關(guān)系基本步驟為①建立

空間坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)；②用向量表示相應(yīng)的直線；③

進行向量運算；④將運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的位置關(guān)系。解此類

問題常見錯誤有①不會將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②不會建

系，不會用向量表示直線，③計算錯誤，④使用定理出錯，⑤書

寫不規(guī)范。

【問題】：如圖，正方形ABC。所在平面與平

fc

面四邊形所在平面互相垂直，△是

等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=450\\

①求證：；

②設(shè)線段CO、AE的中點分別為P、M,

求證：〃平面6CE

剖析：本題可能出錯的情形有兩點：

①不會轉(zhuǎn)化，不會建系，運算出錯，書寫不規(guī)范。

②基礎(chǔ)不牢，如①中，在證明方.赤=0+，,=0后，直接得出

22

EF上平面BCE,不符合線面垂直條件。

八、解析幾何

57傾斜角與斜率關(guān)系不明

錯因分析：傾斜角和斜率分別從不同角度反映了直線的傾斜程

度，但二者也有區(qū)別，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜

率。求直線斜率兩種方法①在已知直線上找兩點，再代公式k二

必一，（XHX2）;②確定直線的傾斜角a,再代公式k二tana。

x2-x]

解此類題常見錯誤有①弄錯直線傾斜角的范圍；②當(dāng)直線與X

軸平行或重合時，誤認為傾斜角為0°或180°；③不了解傾斜角

與斜率關(guān)系。

【問題】：下列命題正確的為o

①任何一條直線都有傾斜角，都有斜率；

②直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；

③平行于X軸的直線，傾斜角為0°或180°；

④平行于y軸的直線，斜率不存在，所以傾斜角不存在；

剖析：知識殘缺，概念模糊。

58判斷兩直線位置關(guān)系時忽視斜率不存在

錯因分析：在解幾中，判斷平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系的方法有

兩種：

若直線八：卜=中+偽，12：y=k2x+h2,則有

11與/2相父<=>女產(chǎn)&;11///2ok、=h,且b1Wb?；/1J_/2<=>

k、?&=—1

②若直線4：2+町=￡,12-.A2X+B2y=c2,則有

/1與/2/目交oAR—兒旦HO;/i〃/2=°；/1J./2O

C,i52—。2月。0

44+4避=。

兩種方法各有優(yōu)缺點，方法①簡便易行，但僅適用于斜率存在

的直線，方法②適用于任意的直線，但運算量較大?？忌?jīng)常出

錯的是：用方法①但忽視對斜率的討論。

【問題】：已知直線/i：ax+2y+6=0和A：x+(a-1)y+a-

1=0,

試判斷人與人是否平行；②當(dāng)八，/2時，求a的值。

剖析：本題中的直線為一般式，宜用②中的等價關(guān)系求解，如果

用①中的等價關(guān)系求解，一定要考慮斜率不存在的情況。

59平行線間的距離公式使用不當(dāng)

錯因分析：兩條平行線之間的距離是指其中一條直線上的任意

一點到另一條直線的距離。若直線八：Ax+By+OO和5A

x+By+C2=0(GWC2),則直線人與上的距離為公叵且。常見的錯

^A2+B2

誤是忽視判斷兩直線中X、y系數(shù)是否相等。

【問題】:求兩條平行線八：3x+4y+6=0和A：6x+8y-4=0=0間的

距離。

錯解：八尸-