專題03平行線中的拐點(diǎn)問題期末真題匯編之五大模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角.本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握.拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角.通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化.模型一：豬蹄模型或鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1模型二：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點(diǎn)P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．模型三：牛角模型圖1圖2如圖1，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3如圖2，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3-∠2=180°【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°圖1圖2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長AB交DE于點(diǎn)F，或延長EB交CD于點(diǎn)F等.模型四：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.模型五：蛇形模型基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°平行線中的拐點(diǎn)問題之豬蹄模型或鋸齒模型例題：（22-23七年級(jí)下·廣西崇左·期末）如圖：，，，則．

【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級(jí)下·重慶彭水·期末）如圖，已知直線，點(diǎn)E在和之間，連接，若，，則．

2．（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，，射線，分別與，交于點(diǎn)M，N，若，則的度數(shù)是．

平行線中的拐點(diǎn)問題之鉛筆頭模型例題：（22-23七年級(jí)下·湖南永州·期末）如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是．

【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如圖，已知，則．

2．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）如圖，已知直線，點(diǎn)M，N分別在直線，上，點(diǎn)E為，之間一點(diǎn)，且點(diǎn)E在線段的右側(cè)，．若與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，……以此類推，若，則n的值是．3．（22-23七年級(jí)下·河北石家莊·期末）下列各圖中的與平行．

圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，據(jù)此推測(cè)，圖中的平行線中的拐點(diǎn)問題之牛角模型例題：（23-24八年級(jí)上·遼寧阜新·期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)為．

【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·期末）如圖，，在的兩邊上分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C向同方向作射線和，且，若和的角平分線所在的直線交于點(diǎn)P（P與C不重合），則的大小為．

平行線中的拐點(diǎn)問題之羊角模型例題：（21-22七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線，，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接，后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住點(diǎn)E，拖動(dòng)后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時(shí)他突然一想，，與之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計(jì)算”功能，找到了這三個(gè)角之間的關(guān)系．(1)請(qǐng)直接寫出圖①到圖④各圖中的，與之間的關(guān)系嗎？(2)請(qǐng)從圖③④中，選一個(gè)說明它成立的理由．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·河南南陽·期末）【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”．如圖，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，求的度數(shù)．解：過點(diǎn)作，，，又．．【問題解決】（1）閱讀并補(bǔ)全上述推理過程．【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．【方法運(yùn)用】（2）如圖所示，已知，、交于點(diǎn)，，在圖的情況下求的度數(shù)．（3）如圖，若，點(diǎn)在，外部，請(qǐng)直接寫出，，之間的關(guān)系．2．（23-24七年級(jí)上·福建莆田·期末）如圖，已知，分別探索下列四個(gè)圖形中與，的關(guān)系．

(1)如圖①，_______；如圖②，_______；如圖③，______；如圖④，______．(2)得到圖②結(jié)論的過程如下：（補(bǔ)足理由）過P點(diǎn)作，又∵，∴（同平行于第三條直線的兩直線平行）∵，∴_______，________（

）∵（圖形性質(zhì)）∴_______（等量代換）(3)仿照（2），在圖③、④中，選一個(gè)寫出得到結(jié)論的過程（給出理由）．平行線中的拐點(diǎn)問題之蛇形模型例題：（2021-23七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖，若，則．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，，點(diǎn)為與之間兩點(diǎn)，，若，，則的度數(shù)為．2．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，則圖中，，，的數(shù)量關(guān)系是．一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·重慶渝北·期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級(jí)上·山西長治·期末）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題3．（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

4．（23-24七年級(jí)上·四川樂山·期末）如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈，如圖為示意圖．固定支撐桿底座于點(diǎn)O，與是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺(tái)燈燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外側(cè)光線、組成的始終保持不變．現(xiàn)調(diào)節(jié)臺(tái)燈，使外側(cè)光線，，若，則．三、解答題5．（23-24七年級(jí)上·吉林長春·期末）【感知探究】如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類比遷移】如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知，，，則°．6．（23-24七年級(jí)上·云南昆明·期末）（1）如圖①，，則_______；如圖②，，則_______；（2）如圖③，，則_______；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，，和的平分線相交于點(diǎn)，，求的度數(shù)．7．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，已知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，之間的點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)若．①如圖2，請(qǐng)?zhí)剿鞯亩葦?shù)是否為定值，請(qǐng)說明理由；②如圖3，已知平分，平分，反向延長交于點(diǎn)P，求的度數(shù)．8．（23-24八年級(jí)上·陜西榆林·期末）綜合與探究某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線，若直線，則．他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣、請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問題．已知直線，點(diǎn)在，之間，點(diǎn)，分別在直線，上，連接，．(1)如圖1，作，運(yùn)用上述結(jié)論，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，，，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，直接寫出，，，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________．9．（23-24七年級(jí)下·貴州黔南·期末）（）問題情境：圖中，，，，求的度數(shù).小明的思路是：過作，通過平行線性質(zhì)來求.按小明的思路，易求得的度數(shù)為_________；（直接寫出答案）（）問題探究：圖中，，為之間一點(diǎn)，連接，試探究與，之間的數(shù)量關(guān)系；（）圖中，，，，求的度數(shù).10．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽·期末）問題情境1：如圖1，，P是內(nèi)部一點(diǎn)，P在的右側(cè)，探究，，之間的關(guān)系？

（1）如圖2，過P作，可得，，之間滿足______關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）問題情境2如圖3，，P是，內(nèi)部一點(diǎn)，P在的左側(cè)，（2）得，，之間滿足______關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）問題遷移：請(qǐng)合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題：已知，與兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F．（3）如圖4，若，求的度數(shù)；（寫證明過程）（4）如圖5中，，，寫出與之間數(shù)量關(guān)系并證明結(jié)論．11．（22-23七年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線上，平行線之間有動(dòng)點(diǎn)P，Q．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在的左側(cè)時(shí)，滿足數(shù)量關(guān)系為______；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在的右側(cè)時(shí)，滿足數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖3，若點(diǎn)P，Q都在的左側(cè)，且分別