2．5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2．5.1直線與圓的位置關(guān)系素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(重點)2．會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．(難點)3．能用直線與圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題．(難點)

通過研究直線與圓的位置關(guān)系，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).必備知識?探新知

直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷知識點1210d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0思考：幾何法、代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系各有什么特點？提示：“幾何法”側(cè)重于圖形的幾何性質(zhì)，步驟較簡潔；“代數(shù)法”則側(cè)重于“坐標(biāo)”與“方程”，判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法．做一做：1.直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交A解決實際問題的一般程序知識點2仔細讀題(審題)→建立數(shù)學(xué)模型→解答數(shù)學(xué)模型→檢驗，給出實際問題的答案．用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”知識點3第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，如點、直線，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題．第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．關(guān)鍵能力?攻重難1．已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時，直線與圓(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點．[分析]

可聯(lián)立方程組，由方程組解的個數(shù)判斷，也可求出圓心到直線的距離，通過與半徑比較大小判斷．題型探究題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系[規(guī)律方法]

判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(1)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則(

)A．l與C相交 B．l與C相切C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能(2)若直線x－y＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝m相離，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．(0,2] B．(1,2]C．(0,2) D．(1,2)對點訓(xùn)練?AC[解析]

(1)將點P(3,0)代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝

－3<0，∴點P(3,0)在圓內(nèi)．∴過點P的直線l必與圓C相交．題型二直線與圓相切2．過點A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．[分析]

利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率，進而求出切線方程．(2)若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4距離也為1，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.[規(guī)律方法]

求圓的切線方程設(shè)出直線的方程后，利用圓心到直線的距離等于半徑求出直線的方程．設(shè)方程時要注意考慮斜率存在與否．(1)過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點P(3,3)的切線方程為(

)A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0(2)由直線y＝x＋1上任一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長的最小值為(

)對點訓(xùn)練?BC題型三直線與圓相交3．(1)求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長|AB|.(2)過點(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點，如果|AB|＝8，求直線l的方程．[規(guī)律方法]

直線與圓相交時的弦長求法(1)直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝______.(2)過圓x2＋y2＝8內(nèi)的點P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點．若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長為______.對點訓(xùn)練?題型四直線與圓的方程的實際應(yīng)用(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？[規(guī)律方法]

解決直線與圓的實際應(yīng)用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素．(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知．(4)還原：將運算結(jié)果還原到實際問題中去．

為了適應(yīng)市場需要，某地準備建一個圓形生豬儲備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7km到達公路上的點B；從基地中心O向正北走8km到達公路的另一點C.現(xiàn)準備在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．對點訓(xùn)練?課堂檢測?固雙基1．(多選題)若直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是(