考點(diǎn)規(guī)范練24三角函數(shù)模型的應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1.已知彈簧振子的振幅為2cm,在6s內(nèi)振子通過(guò)的路程是32cm,由此可知該振子振動(dòng)的()A.頻率為1.5Hz B.周期為1.5sC.周期為6s D.頻率為6Hz答案:B解析:振幅為2cm,振子在一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程為8cm,易知在6s內(nèi)振動(dòng)了4個(gè)周期,故周期T=1.5s,頻率f=1T=12.一個(gè)直徑為6m的水輪如圖所示,水輪圓心O距水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)2圈,水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(單位:m)與時(shí)間x(單位:s)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0),y<0表示點(diǎn)P在水面下,則有()A.ω=π15,A=3 B.ω=2π15C.ω=π15,A=6 D.ω=2π15答案:A解析:由題意可知A為水輪的半徑3,又水輪每分鐘轉(zhuǎn)2圈,故該函數(shù)的最小正周期為T=602=30s,所以ω=23.如圖,一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8m,12min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)P0離地面2m,風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從點(diǎn)P0開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),則點(diǎn)P離地面的距離h(單位:m)與時(shí)間t(單位:min)之間的函數(shù)解析式是()A.h(t)=-8sinπ6t+10 B.h(t)=-cosπ6C.h(t)=-8sinπ6t+8 D.h(t)=-8cosπ6答案:D解析:設(shè)h=Asin(ωt+φ)+B,由題意可得hmax=18,hmin=2,T=12,A=?max-?min2=8,B=?max+?min2=10,ω當(dāng)t=0時(shí),8sinφ+10=2,得sinφ=-1,可取φ=-π2所以h=8sinπ6t-π2+10=-4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,質(zhì)點(diǎn)M,N間隔3分鐘先后從點(diǎn)P繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜃鼋撬俣葹棣?弧度/分鐘的勻速圓周運(yùn)動(dòng),則M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí),N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(A.37.5分鐘 B.40.5分鐘C.49.5分鐘 D.52.5分鐘答案:A解析:設(shè)圓O的半徑為1,質(zhì)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:分鐘),由題意可得,yN=sinπ6t-π2=-cosπ6t,yM=sin[π6(t+3)-π2]=sinπ6t,則令sinπ6t+π4=1,解得π6t+π4=2kπ+π2,故M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí),N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3×12+32=37.5(分鐘)5.(多選)某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到時(shí)鐘的中心點(diǎn)O的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)“12”的點(diǎn)B重合,將A,B兩點(diǎn)的距離d(單位:cm)表示成t(單位:s)的函數(shù),則d等于(),其中t∈[0,60].A.10sinπt60 B.C.10cos(30-t)π答案:AC解析:依題意作出圖形,如圖.因?yàn)椤螦OB=t60×2π=πt30,所以經(jīng)過(guò)ts秒針轉(zhuǎn)了π30t過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,∠AOD=12∠AOB=π在Rt△AOD中,有sinπt所以d=10sinπt60或d=10cosπ2-πt60=10cos6.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,某種商品一年內(nèi)出廠單價(jià)在7000元的基礎(chǔ)上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波動(dòng)(x為月份),已知3月份達(dá)到最高價(jià)9000元,9月份價(jià)格最低,為5000元,則7月份的出廠價(jià)格為元.答案:6000解析:作出函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖,三角函數(shù)模型為y=Asin(ωx+φ)+B,由題意知A=12×(9000-5000)=2000,B=7000,周期T=2×(9-3)=12,則ω=2將點(diǎn)(3,9000)看成函數(shù)圖象的第二個(gè)特殊點(diǎn),則有π6×3+φ=π2,得φ=0,故f(x)=2000sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*),即f(7)=2000×sin7π6+7000=6故7月份的出廠價(jià)格為6000元.7.去年某地的月平均氣溫y(單位:℃)與月份x近似地滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=a+bsin(π6x+φ)(a,b為常數(shù),0<φ<π2).其中三個(gè)月份的月平均氣溫如表所示,則該地2月份的月平均氣溫約為℃,φ=x5811y/℃133113答案:-5π解析:由題意,得當(dāng)x=5+112=8時(shí),sin(π6×8+φ)=±因?yàn)?<φ<π2,所以4π3<4π3+φ<11π6,則4π3+φ=3π2,φ=π6,y=a+bsinπ6x+π6二、綜合應(yīng)用8.(多選)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具,亦稱“水轉(zhuǎn)簡(jiǎn)車”,是一種以水流作動(dòng)力,取水灌田的工具.如圖,一個(gè)半徑為R的水車,以水車的中心為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3,-33)出發(fā),沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn),且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過(guò)t秒后,水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),其縱坐標(biāo)與時(shí)間t滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,則下列敘述正確的是()A.φ=-πB.當(dāng)t∈(0,60]時(shí),函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞增C.當(dāng)t∈(0,60]時(shí),|f(t)|的最大值為33D.當(dāng)t=100時(shí),|PA|=6答案:AD解析:由題意,R=32+(-33)2=6,周期當(dāng)t=0時(shí),y=-33,把(0,-33)代入f(t),可得-33=6sinφ,解得sinφ=-32.因?yàn)閨φ|<π2,所以φ=-π3則f(t)=6sinπ60t-π3當(dāng)t∈[0,60]時(shí),π60t-π3∈-π3,2π3當(dāng)t∈[0,60]時(shí),點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6,C錯(cuò)誤;當(dāng)t=100時(shí),π60t-π3=4π3,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=-33,橫坐標(biāo)為x=-9.下表是某地近30年的月平均氣溫(華氏度).月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸,令x=月份-1,以平均氣溫為y軸.(1)作出散點(diǎn)圖.(2)用正弦型曲線去擬合這些數(shù)據(jù).(3)第(2)問(wèn)中所求得的正弦型曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的周期T是多少?(4)估計(jì)這個(gè)正弦型曲線的振幅A.(5)下面四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)?①yA=cosπx6;②y-③y-46-A=cosπx6;解:(1)(2)如圖所示.(3)1月份的平均氣溫最低,為21.4華氏度,7月份的平均氣溫最高,為73.0華氏度,根據(jù)圖知,T2=7-1=6,所以T=12(4)2A=平均最高氣溫-平均最低氣溫=73.0-21.4=51.6,得A=25.8.(5)因?yàn)閤=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,代入①,得yA=26.025.8>1代入②不合適,同理④也不合適,所以應(yīng)選③.三、探究創(chuàng)新10.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪輪盤直徑為124米,設(shè)置有36個(gè)座艙.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面145米,勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30分鐘.以游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).(1)經(jīng)過(guò)t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米,已知H關(guān)于t的函數(shù)解析式滿足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周對(duì)應(yīng)的解析式H(t)(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52米?(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙,且中間間隔5個(gè)座艙,在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,設(shè)兩人距離地面的高度差為h米,求h的最大值.解:(1)由題意,H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),摩天輪的最高點(diǎn)距離地面145米,最低點(diǎn)距離地面145-124=21米,則B+A=145,B因?yàn)橹芷跒?0分鐘,ω>0,所以ω=2π所以H(t)=62sin(π15t+φ)+83因?yàn)镠(0)=62sinπ15×0+φ+83=21,所以sinφ=-1,又|φ|≤π2,故H(t)=62sinπ15t-π2+83(0(2)由(1)知,H(t)=62sinπ15t-π2+83令-62cosπ15t+83=52,則c