銜接點(diǎn)01乘法公式1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意義和應(yīng)用2、能夠熟練的運(yùn)用平方差公式，完全平方公式展開與化簡3、掌握立方和，立方差公式，并能靈活展開與化簡4、掌握三數(shù)和公式展開過程，并能靈活應(yīng)用1、初中知識再現(xiàn)（1）平方差公式：；注意公式的正逆應(yīng)用.（2）完全平方公式：（3）高頻應(yīng)用方式：①②③④⑤⑥2、高中相關(guān)知識（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）兩數(shù)和立方公式：過程：（4）兩數(shù)差立方公式：過程：（5）三數(shù)和平方公式：過程：對點(diǎn)特訓(xùn)一：平方差公式的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）一個長方形的寬為，長為，則這個長方形的面積是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24七年級下·遼寧錦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．例題3．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中．精練1．（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）下列不能用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．2．（23-24六年級下·山東泰安·階段練習(xí)）已知，，則．3．（2024·吉林長春·一模）先化簡，再求值：，其中．對點(diǎn)特訓(xùn)二：完全平方公式的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）閱讀材料：數(shù)學(xué)計算中常利用公式變形求解，例如“已知，，求的值．”可以這樣解：將完全平方公式變形得到．請根據(jù)閱讀材料解決問題：如圖，已知長方形周長為，，則的值是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24七年級下·河南鄭州·階段練習(xí)）若，則的值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16例題3．（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）讀材料，解答下列問題：若，求的值．小明的解題方法：，，∴10．小亮的解題方法：設(shè)：，，則，∴．(1)任選材料中一種方法解答：若，求的值；(2)如圖1，長方形空地，米，米，在中間長方形上安放雕塑，四周剩余的寬度相同，設(shè)該寬度為x米，則長方形中，米，米（用含x的代數(shù)式表示）；(3)在（2）的條件下，如圖2，以長方形四邊為直徑在形外做半圓，在四個半圓里種花，若長方形的面積為平方米，求種花的面積．（結(jié)果保留π）精練1．（23-24七年級下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）仔細(xì)觀察下圖，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不添加輔助線，便可得到一個熟悉的公式，這個公式是（

）

A． B．C． D．2．（2023·吉林四平·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中．3．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）（1）計算：；（2）化簡．對點(diǎn)特訓(xùn)三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24八年級上·北京·期中）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根據(jù)材料和已學(xué)知識，化簡結(jié)果為；當(dāng)時分式的值為．例題2．（23-24八年級上·山東淄博·期中）楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．楊輝研究了二項式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式．方法提取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是在公式化體系的不斷完善中進(jìn)行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對式子a3﹣b3進(jìn)行如下推導(dǎo)：．對于，稱為立方差公式．公式推導(dǎo)（1）請參考“立方差公式”的推導(dǎo)過程推導(dǎo)立方和公式：．學(xué)以致用（2）請靈活運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解：①；②．③例題3．（23-24八年級上·河南信陽·期末）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：．根據(jù)材料和已學(xué)知識解決下列問題(1)因式分解：；(2)先化簡，再求值：，其中．例題4．（23-24八年級上·江西南昌·期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝研究了二項式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式。兩數(shù)的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），這個公式的推導(dǎo)過程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．(1)利用上述方法推導(dǎo)立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（從左往右推導(dǎo)）；(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．精練1．（23-24七年級上·上海松江·期中）利用多項式乘法法則計算：（1）=；=．在多項式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，以及立方和與立方差公式，解決下列問題：（2）；（直接寫出答案）（3）；（直接寫出答案）（4）；（寫出解題過程）2．（23-24七年級上·上海普陀·階段練習(xí)）多項式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據(jù)以上材料，請完成下列問題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值3．（23-24七年級上·全國·單元測試）閱讀理解題：拆項法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項式中的某一項拆成幾項，再分組分解，因而有時需要多次實驗才能成功，例如把分解因式，這是一個三項式，最高次項是三次項，一次項系數(shù)為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項拆成1和3，原式就變成，再利用立方和與平方差先分解，解法如下：原式公式：，根據(jù)上述論法和解法，（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）因式分解：．4．（23-24·湖南湘潭·）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：

；根據(jù)材料和已學(xué)知識，先化簡，再求值：，其中．第01講乘法公式(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24六年級下·山東泰安·階段練習(xí)）下列等式能夠成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級下·福建漳州·階段練習(xí)）下列乘法中，能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A． B．C． D．3．（23-24八年級上·貴州黔南·階段練習(xí)）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證等式（

）A． B．C． D．4．（23-24七年級下·江西吉安·階段練習(xí)）下列各式，能用平方差公式計算的是（

）A． B． C． D．5．（23-24七年級下·安徽宿州·階段練習(xí)）下列各式，不能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．6．（23-24八年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）多項式加上一個一次單項式后是一個完全平方式，這個單項式不能是（

）A． B． C． D．7．（23-24八年級上·山東淄博·階段練習(xí)）若多項式是完全平方式，則的值為（

）A．16 B．4 C． D．8．（2023七年級下·江蘇·專題練習(xí)）由可得，即①，我們把等式①叫做多項式乘法的立方公式．下列應(yīng)用這個立方公式進(jìn)行的變形不正確的是（）A．B．C．D．二、填空題9．（23-24七年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）若是完全平方式，則的值是．10．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知：，且，則．三、解答題11．（21-22六年級下·山東淄博·期中）根據(jù)，可得．即①，我們把等式①叫做多項式乘法的立方和公式．(1)把立方和公式①中的b改用－b替代時，可得立方差公式，請直接寫出立方差公式______．(2)立方和和立方差公式統(tǒng)稱為立方公式，請根據(jù)立方公式判斷計算能直接運(yùn)用公式嗎？若能，請直接寫出答案；