九年級

上冊華東師大版初中數(shù)學第23章圖形的相似23.5位似圖形知識點1位似圖形的定義及性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練1.(2024吉林長春第一外國語中學月考)下列各選項中的兩個

相似圖形不是位似圖形的是

(

)

A

BC

C

D解析選項C中兩個圖形的對應(yīng)邊不平行,不符合位似圖形

的性質(zhì),故不是位似圖形.2.(一題多變)(2024山西晉中期末)如圖,△ABC與△DEF位似,

點O是它們的位似中心,且相似比為1∶2,若AO=2,則DO的長

為

(

)

A.3

B.4

C.6

D.8B解析

∵△ABC與△DEF位似,點O是它們的位似中心,相似

比為1∶2,∴AB∥DE,AB∶DE=1∶2,∴OA∶OD=1∶2,∵OA

=2,∴OD=4.[變式:求對應(yīng)線段長](2023山西長治期末)如圖,圖形甲與圖

形乙是位似圖形,O是位似中心,相似比為2∶3,點A,B的對應(yīng)

點分別為點A',B'.若AB=6,則A'B'的長為

(

)

A.8

B.9

C.10

D.15B解析∵圖形甲與圖形乙是位似圖形,相似比為2∶3,AB=6,

∴

=

,即

=

,解得A'B'=9.3.(2023吉林長春凈月月考)如圖,在4×8的正方形網(wǎng)格中,

點A、B、C、D在格點上,以P1為位似中心,相似比為k,將線

段AB放大得到線段CD,則k的值為(

)

A.2

B.3

C.

D.

C解析由勾股定理得AB=

=

,CD=

=2

,∴

=

,則k=

.4.(2024福建三明三元期末)如圖,以點O為位似中心,把△ABC

各邊放大到原來的2倍得到△A'B'C',則以下說法中錯誤的是

(

)A.AB∥A'B'

CB.△ABC∽△A'B'C'C.AO∶AA'=1∶2

D.點C、O、C'在同一直線上解析∵以點O為位似中心,把△ABC各邊放大到原來的2倍

得到△A'B'C',∴△ABC∽△A'B'C',OA∶OA'=1∶2,AB∥A'B',

CC'經(jīng)過點O,故只有選項C符合題意.5.(2023遼寧阜新中考)如圖,△ABC和△DEF是以點O為位似

中心的位似圖形,相似比為2∶3,則△ABC和△DEF的面積比

是

.4∶9解析∵△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形,

相似比為2∶3,∴△ABC與△DEF的面積比為22∶32=4∶9.6.(2024甘肅天水武山期末)如圖,在正方形網(wǎng)格中,以點O為

位似中心,△ABC的位似圖形是

(用圖中字母表示),

△ABC與該三角形的相似比為

.

△GEH解析利用兩個位似圖形的對應(yīng)頂點的連線相交于一點可

判斷△ABC的位似圖形是△GEH,其相似比為

=

.7.(2024四川廣元蒼溪期末)如圖,△ABC與△A'B'C'是位似圖

形,點A,B,A',B',O共線,點O為位似中心.(1)AC與A'C'平行嗎?為什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的長.

解析

(1)AC與A'C'平行.理由:∵△ABC與△A'B'C'是位似圖

形,點A、B、A'、B'、O共線,∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,AB=2A'B',OC'=5,∴CO=2

OC'=10,∴CC'=10-5=5.知識點2利用位似作圖8.(2024河南南陽實驗學校月考)如圖1,以O(shè)為位似中心,作出

△ABC的位似圖形(△A'B'C'),使△ABC與△A'B'C'的相似比為

2∶1.圖2和圖3分別為珍珍和明明的作法,兩人的作法均保證

=

=

=

,則下列說法正確的是

(

)

圖1

圖2

圖3CA.只有珍珍的作法正確

B.只有明明的作法正確C.兩人的作法都正確

D.兩人的作法都不正確解析珍珍和明明的作法中,△ABC∽△A'B'C',對應(yīng)邊平

行、對應(yīng)頂點的連線相交于一點,∴△ABC與△A'B'C'位似,

∴珍珍和明明的作法都正確.9.(教材變式·P82T2)(2024山西臨汾襄汾中學月考)圖中的網(wǎng)

格都是邊長為1的正方形,△ABC與△A'B'C'是以點O為位似

中心的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的頂點上.(1)畫出位似中心O;(2)求△ABC與△A'B'C'的相似比;(3)以點O為位似中心,在網(wǎng)格中畫△A1B1C1,使它與△ABC的相似比為1.5∶1.解析

(1)如圖所示,點O即為所求.(2)△ABC與△A'B'C'的相似比=

=

=

.(3)如圖所示,△A1B1C1即為所求.

方法解讀位似中心與位似圖形之間的位置關(guān)系位似中心可能位于兩個位似圖形的同側(cè),也可能位于兩

個位似圖形之間,還可能位于兩個位似圖形的內(nèi)部、邊上或

頂點上,如圖所示:

10.(2024河南新鄉(xiāng)模擬,7,★☆☆)如圖,△ABC與△DEC都是

等邊三角形,固定△ABC,將△DEC從圖示位置繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)一周,在△DEC旋轉(zhuǎn)的過程中,△DEC與△ABC位似的位

置有

(

)

A.0個

B.1個C.2個

D.3個及3個以上C能力提升全練解析∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,∴△ABC∽△DEC,在△DEC旋轉(zhuǎn)的過程中,只有當點D落在線段AC和線段AC的延長線上時,AD和BE相交于點C,此時△DEC與△ABC位似,∴△DEC與△ABC位似的位置有2個.11.(2024重慶實驗外國語學校模擬,5,★☆☆)如圖,△ABC與

△DEF是位似圖形,點O為位似中心,OC∶CF=1∶2.若△ABC

的周長為4,則△DEF的周長是

(

)

A.4

B.8

C.12

D.16C解析∵OC∶CF=1∶2,∴OC∶OF=1∶3,∵△ABC與△

DEF是位似圖形,∴△ABC∽△DEF,BC∥EF,∴△BOC∽△

EOF,∴

=

=

,∴△ABC的周長∶△DEF的周長=1∶3,∵△ABC的周長為4,∴△DEF的周長為4×3=12.12.(2023吉林長春中考,12,★☆☆)如圖,△ABC和△A'B'C'是

以點O為位似中心的位似圖形,點A在線段OA'上.若OA∶AA'

=1∶2,則△ABC與△A'B'C'的周長之比為

.

1∶3解析∵OA∶AA'=1∶2,∴OA∶OA'=1∶3,∵△ABC和△A'

B'C'是以點O為位似中心的位似圖形,∴AC∥A'C',△ABC∽

△A'B'C',∴△AOC∽△A'OC',∴AC∶A'C'=OA∶OA'=1∶3,∴△ABC與△A'B'C'的周長比為1∶3.13.(一題多解)(2024福建漳州龍文模擬,16,★★☆)如圖,A是

反比例函數(shù)y=

(x>0)圖象上一點,點B、D在y軸正半軸上,△ABD是△COD關(guān)于點D的位似圖形,且△ABD與△COD的相

似比是1∶3,△ABD的面積為1,則該反比例函數(shù)的表達式為

.

y=解析解法1:如圖,過A作AE⊥x軸于點E,∵△ABD是△COD

關(guān)于點D的位似圖形,且△ABD與△COD的相似比是1∶3,∴AB∥CO,

=

,易知OE=AB,∴

=

,∵AE⊥x軸,∴△COD∽△CEA,∴

=

=

,設(shè)BD=a,AB=b,∴DO=3a,CO=3b,∴AE=4a,∵△ABD的面積為1,∴

ab=1,∴ab=2,∴AB·AE=4ab=8,∴反比例函數(shù)的表達式為y=

.

解法2:如圖,連結(jié)OA,∵△ABD是△COD關(guān)于點D的位似圖

形,且△ABD與△COD的相似比是1∶3,∴

=

,∴

=

.∵S△ABD=1,∴S△ADO=3,∴S△AOB=4,∴2S△AOB=8,∴反比例函數(shù)的

表達式為y=

.

14.(2024山西臨汾洪洞一模,22,★★☆)圖①、圖②、圖③都

是6×6的網(wǎng)格,每個小正方形的邊長均為1.小正方形的頂點稱

為格點,點A、B、C均在格點上.在圖①、圖②、圖③給定的

網(wǎng)格中,僅用無刻度的直尺,按下列要求完成作圖,并保留作

圖痕跡.(1)在圖①中,以點C為位似中心,將△ABC各邊放大到原來的

2倍;(2)在圖②中,在線段BC上作點D,使得CD=3BD;(3)在圖③中,作△BEF∽△BAC,且相似比為3∶4.

圖①

圖②

圖③解析

(1)如圖①,△A'B'C即為所求.(2)如圖②,取格點M,N,使

=

,連結(jié)MN交BC于點D,可知△BDM∽△CDN,∴

=

=

,∴CD=3BD,則點D即為所求.(3)∵△BEF∽△BAC,且相似比為3∶4,∴

=

=

,如圖③,△BEF即為所求.

圖①

圖②圖③15.(推理能力)(2023重慶沙坪壩南開中學期末)(1)如圖1,點O是等邊三角形PQR的中心,P'、Q'、R'分別是

OP、OQ、OR的中點,則△P'Q'R'與△PQR是位似三角形.此

時,△P'Q'R'與△PQR的相似比為

,位似中心為

.(2)如圖2,用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱

讀后證明相應(yīng)問題.畫法:①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點C在OA上,點D在OB上;素養(yǎng)探究全練②連結(jié)OE并延長,交AB于點E',過點E'作E'C'∥EC,交OA于點

C',作E'D'∥ED,交OB于點D';③連結(jié)C'D',則△C'D'E'是△AOB的內(nèi)接等邊三角形.求證:△C'D'E'是等邊三角形.

圖1

圖2解析

(1)易知△P'Q'R'∽△PQR,

=

=

=

,∴相似比為1∶2,位似中心為點O