第四章圖形的相似專題6相似三角形的基本模型數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01專題解讀◎問(wèn)題綜述相似三角形是初中幾何中的重要內(nèi)容，常常與其他知識(shí)點(diǎn)

結(jié)合，以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化較多，是中考的?？純?nèi)容.

在學(xué)習(xí)中要注重解題方法和基本解題模型，以便使相似三角形

的問(wèn)題迎刃而解.相似三角形的常見(jiàn)基本模型有平行線型、斜交

型、垂直型、旋轉(zhuǎn)型等.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練類型一

平行線型基本圖形：如圖，

DE

∥

BC

.

主要結(jié)論：

【思路導(dǎo)航】（1）直接利用“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三

角形相似”即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行

線的判定方法可得

EF

∥

BC

，于是可得△

AEG

∽△

ABD

，△

AGF

∽△

ADC

，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論.

【點(diǎn)撥】熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.熟悉

“A”型和“X”型模型，能快速找到解題突破口.

如圖，在?

ABCD

中，連接對(duì)角線

AC

，延長(zhǎng)

AB

至點(diǎn)

E

，使

BE

＝

AB

，連接

DE

，分別交

BC

，

AC

于點(diǎn)

F

，

G

.

（1）求證：

BF

＝

CF

；

（2）若

BC

＝6，

DG

＝4，求

FG

的長(zhǎng).

類型二

斜交型基本圖形如下：

如圖，點(diǎn)

D

，

E

分別在△

ABC

的邊

AB

，

AC

上，且

AB

＝

9，

AC

＝6，

AD

＝3.要使△

ADE

與△

ABC

相似，則

AE

的長(zhǎng)

為

?.

【思路導(dǎo)航】要使△

ADE

與△

ABC

相似，應(yīng)分△

ADE

∽△

ABC

和△

AED

∽△

ABC

討論.

【點(diǎn)撥】對(duì)于兩個(gè)三角形相似，若無(wú)明確給出相似符號(hào)

（∽），則一般有三種情形.而此題中，由于有公共角，故只

有兩種情形.解題的關(guān)鍵是明確分類，并熟練運(yùn)用相似三角形

的判定.

1.如圖，點(diǎn)

D

為△

ABC

的邊

AC

上一點(diǎn)，連接

BD

，且△

ABC

∽△

ADB

.

若

AB

＝2

AD

＝2，則

CD

的長(zhǎng)為

?.（第1題圖）3

2.如圖，在△

ABC

中，

D

，

E

分別是

AB

，

AC

上的點(diǎn)，

AF

平分

∠

BAC

，交

DE

于點(diǎn)

G

，交

BC

于點(diǎn)

F

.若∠

AED

＝∠

B

，且

AG

∶

GF

＝2∶1，則

DE

∶

BC

＝

?.（第2題圖）2∶3

類型三

垂直型基本圖如下：

如圖，折疊矩形

ABCD

，使點(diǎn)

D

落在

BC

邊上的點(diǎn)

F

處，折

痕為

AE

.

（1）求證：△

ABF

∽△

FCE

；（2）若

CF

＝4，

EC

＝3，求矩形

ABCD

的面積.

（1）證明：∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝∠

C

＝∠

D

＝90°.∴∠

BAF

＋∠

AFB

＝90°.由折疊可知，∠

AFE

＝∠

D

＝90°.∴∠

AFB

＋∠

CFE

＝90°.∴∠

BAF

＝∠

CFE

.

∴△

ABF

∽△

FCE

.

解得

BF

＝6.∴

BC

＝

BF

＋

FC

＝6＋4＝10.∴矩形

ABCD

的面積＝

AB

·

BC

＝8×10＝80.【點(diǎn)撥】（1）翻折前后圖形對(duì)應(yīng)全等，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相

等.（2）本題中，∠

B

＝∠

AFE

＝∠

C

＝90°，稱△

ABF

∽△

FCE

這樣的相似為“一線三垂直相似”（或“K”型相似），

注意“橫縱對(duì)應(yīng)”，即

AB

與

FC

是對(duì)應(yīng)邊，

BF

與

CE

是對(duì)應(yīng)邊.

如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

BD

⊥

AC

，點(diǎn)

E

為

BD

的中

點(diǎn)，連接

AE

并延長(zhǎng)交

BC

于點(diǎn)

F

，且

AF

＝

CF

，過(guò)點(diǎn)

F

作

FH

⊥

AC

于點(diǎn)

H

.

求證：（1）△

ADE

∽△

CDB

；證明：（1）∵

BD

⊥

AC

，

FH

⊥

AC

，∴∠

ADE

＝∠

CDB

＝90°，

BD

∥

FH

.

又∵

AF

＝

CF

，∴∠

DAE

＝∠

DCB

.

∴△

ADE

∽△

CDB

.

（2）

AE

＝2

EF

.

類型四

旋轉(zhuǎn)型基本圖形如下：

如圖，在△

ABC

與△

ADE

中，∠

ACB

＝∠

AED

＝90°，∠

ABC

＝∠

ADE

，連接

BD

，

CE

.

若

AC

∶

BC

＝3∶4，

CE

＝6，

求

BD

的長(zhǎng).【思路導(dǎo)航】根據(jù)相似三角形的判定得出△

ABC

與△

ADE

相

似，得出∠

BAC

＝∠

DAE

，進(jìn)而證明△

ACE

與△

ABD

相似，利

用相似三角形的性質(zhì)求解.

【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定得出△

ABC

與△

ADE

相似.此類題中，容易被復(fù)雜的邊角關(guān)系擾亂思路，從

而出錯(cuò)，故轉(zhuǎn)化過(guò)程中應(yīng)仔細(xì)，并檢查.

如圖，在正方形

ABCD

中，已知點(diǎn)

F

是

BC

邊上