課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十三）平面與平面垂直的判定基礎(chǔ)練1．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)2．若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定3．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時(shí)二面角B-AD-C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°4.在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD5．自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線(xiàn)，則兩垂線(xiàn)所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．互余 D．相等或互補(bǔ)6．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，而△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為_(kāi)_______．7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后BC＝________.8．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為_(kāi)_______．9．如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求證：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.10．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.拓展練1．如果直線(xiàn)l，m與平面α，β，γ滿(mǎn)足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ2．在四面體A-BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C為直二面角，E是CD的中點(diǎn)，則∠AED等于()A．90° B．45°C．60° D．30°3．在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC4．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(7)C．4eq\r(3) D．4eq\r(7)5.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)6．如圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理是利用了______________．7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點(diǎn)．求證：(1)直線(xiàn)A1B1∥平面ABD；(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.培優(yōu)練如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是eq\o(DF,\s\up7())的中點(diǎn)．(1)設(shè)P是eq\o(CE,\s\up7())上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大??；(2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E-AG-C的大?。n時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十三）平面與平面垂直的判定基礎(chǔ)練1．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)解析：選D當(dāng)兩點(diǎn)連線(xiàn)與平面α垂直時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè)．故選D.2．若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定解析：選C若方向相同則相等，若方向相反則互補(bǔ)．故選C.3．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時(shí)二面角B-AD-C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小為60°.故選C.4.在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：選C由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正確．故選C.5．自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線(xiàn)，則兩垂線(xiàn)所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．互余 D．相等或互補(bǔ)解析：選D如圖，BD，CD為AB，AC所在平面與α，β的交線(xiàn)，則∠BDC為二面角α-l-β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.此時(shí)兩角互補(bǔ)；當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，此時(shí)∠A＝∠BDC，兩角相等．故選D.6．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，而△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為_(kāi)_______．解析：取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OP(圖略)，則∠POA為二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后BC＝________.解析：由題意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，連接BC(圖略)，則BC＝eq\r(BD2＋DC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.答案：18．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為_(kāi)_______．解析：如圖，取BD中點(diǎn)O，連接OC，OC1，∵AB＝AD＝2eq\r(3)，∴CO⊥BD，CO＝eq\r(6).∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角．tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3).∴∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°.答案：30°9．如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求證：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.證明：(1)因?yàn)椤鱌DB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD＝BD＝PD.又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因?yàn)镻A⊥平面PBC，所以PA⊥BC.因?yàn)椤螦CB＝90°，所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.10．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.證明：(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.拓展練1．如果直線(xiàn)l，m與平面α，β，γ滿(mǎn)足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：選AB錯(cuò)，有可能m與β相交；C錯(cuò)，有可能m與β相交；D錯(cuò)，有可能α與β相交．故選A.2．在四面體A-BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C為直二面角，E是CD的中點(diǎn)，則∠AED等于()A．90° B．45°C．60° D．30°解析：選A如圖，設(shè)AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中點(diǎn)F，連接AF，CF.由題意可得AF＝CF＝eq\f(\r(2),2)a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD為正三角形．∵E是CD的中點(diǎn)，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故選A.3．在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：選C如圖所示，∵BC∥DF，BC?平面PDF，DF?平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正確；由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正確；∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正確．故選C.4．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(7)C．4eq\r(3) D．4eq\r(7)解析：選B如圖，連接CM，則由題意知PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM.所以PM＝eq\r(PC2＋CM2).要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7).故選B.5.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)6．如圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理是利用了______________．解析：如圖所示，因?yàn)镺A⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且OB∩OC＝O，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA?α，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點(diǎn)．求證：(1)直線(xiàn)A1B1∥平面ABD；(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.證明：(1)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以A1B1∥AB.因?yàn)锳1B1?平面ABD，AB?平面ABD，所以直線(xiàn)A1B1∥平面ABD.(2)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因?yàn)锳B⊥BC，BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锳B?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.培優(yōu)練如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是eq\o(DF,\s\up7())的中點(diǎn)．(1)設(shè)P是eq\o(CE,\s\up7())上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大?。?2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E-AG-C的大?。猓?1)因?yàn)锳P⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，因