6.2.3向量的數(shù)乘運算一、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）模：；（2）方向：當(dāng)時，的方向與的方向相同，當(dāng)時，的方向與的方向相反，當(dāng)時，，注意：.例1．如圖，在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，且，則_______.舉一反三若，則下列各式中不正確的是（）．A． B． C． D．?dāng)?shù)乘向量的運算律:結(jié)合律：第一分配率：（3）第二分配率：例2：計算：(1)；(2)．舉一反三1、如圖，已知向量，，求作向量．2．計算：(1)；(2)．三、共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.例3．①O是空間任意一個確定的點，點P在直線上，且，則（）A．1 B． C． D．②如圖，，不共線，且，用，表示．（等價于A、B、P三點共線）舉一反三1．已知，且，則實數(shù)___________.2．設(shè)是不共線的兩個非零向量．若與共線，求實數(shù)的值．3．在四邊形ABCD中，已知，，，其中，是不共線的向量，試判斷四邊形ABCD的形狀．4．如圖，在中，C是AB的中點．設(shè)，，試用，表示．鞏固提升一、單選題1．下列命題中正確的是（）A．－＝ B．＋＝0C．0·＝ D．＋＋＝2．下列各式計算正確的個數(shù)是（）①?7×6a?=?42aA．0 B．1C．2 D．33．設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．4．已知是內(nèi)一點，滿足，則（）A． B． C． D．二、多選題5．向量，，則下列說法正確的是（）A． B．向量方向相反C． D．6．（多選）已知向量，不共線，若，，且A，B，C三點共線，則關(guān)于實數(shù)，的值可以是（）A．2， B．?3，C．2， D．?3，三、填空題7．在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若，則______．8．已知向量，，則______．四、解答題9．在中，點P是AB上一點，且，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，且，求t的值．10．如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，延長CD到M使DM=CD，延長BE至N使BE=EN，求證:M，A，N三點共線.6.2.3向量的數(shù)乘運算一、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）模：；（2）方向：當(dāng)時，的方向與的方向相同，當(dāng)時，的方向與的方向相反，當(dāng)時，，注意：.例1．如圖，在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，且，則_______.【答案】【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而得.【詳解】解：∵，，∴.∴.又與同向，∴.故答案為：舉一反三若，則下列各式中不正確的是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘的定義判斷．【詳解】如圖，由知在延長線上，且，因此由向量數(shù)乘定義知ABC三個選項均正確，D錯誤．故選：D．?dāng)?shù)乘向量的運算律:結(jié)合律：第一分配率：（3）第二分配率：例2：計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量運算律可化解合并(2)利用向量運算律可化解合并(1)原式=(2)原式=舉一反三1、如圖，已知向量，，求作向量．【解析】【分析】先把向量的起點放在一起，畫出與，再連接終點，指向被減向量，即可求解【詳解】如圖1，作，，連接BA，則如圖2，作，，連接BA，則2．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用向量的線性運算即可求解；（2）利用向量的線性運算即可求解；(1).(2)三、共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.例3．①O是空間任意一個確定的點，點P在直線上，且，則（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由三點共線可得，從而可求出的值【詳解】因為點P在直線上，且，所以，得，故選：C②如圖，，不共線，且，用，表示．（等價于A、B、P三點共線）【分析】根據(jù)向量的三角形法則可得，再根據(jù)得,把用表示出來即可?！驹斀狻拷猓阂驗?，所以．【點睛】本題主要考查了向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題。舉一反三1．已知，且，則實數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量數(shù)乘求解即可.【詳解】解：因為，所以三點共線，其位置關(guān)系如圖，其中點在線段的四等分點靠近點的位置，所以，所以故答案為：2．設(shè)是不共線的兩個非零向量．若與共線，求實數(shù)的值．【答案】k＝±4.【解析】【分析】由題意與共線，結(jié)合向量共線定理即可求得答案.【詳解】由不共線可知為非零向量，而與共線，所以存在唯一實數(shù)，使得，即.因為不共線，所以.3．在四邊形ABCD中，已知，，，其中，是不共線的向量，試判斷四邊形ABCD的形狀．【答案】四邊形是梯形【解析】【分析】根據(jù)共面向量基本定理可知，，即可判斷四邊形形狀.【詳解】如圖所示，，所以，即，且.所以四邊形是梯形.4．如圖，在中，C是AB的中點．設(shè)，，試用，表示．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運算，求解即可.【詳解】根據(jù)向量的加法，減法及數(shù)乘運算法則可得：鞏固提升一、單選題1．下列命題中正確的是（）A．－＝ B．＋＝0C．0·＝ D．＋＋＝【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的減法運算，可判斷A;根據(jù)相反向量的和應(yīng)為零向量可判斷B;根據(jù)向量的數(shù)乘判斷C;根據(jù)向量的加法判斷D.【詳解】起點相同的向量相減，則其結(jié)果應(yīng)是指向被減向量，即－＝，故A錯；，是一對相反向量，它們的和應(yīng)該為零向量即＋＝，故B錯，；0與向量的數(shù)乘應(yīng)是零向量，即0·＝，故C錯；根據(jù)向量的加法法則，’＋＋＝,故D正確，故選：D.2．下列各式計算正確的個數(shù)是（）①?7×6a?=?42aA．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加減，數(shù)乘運算依次運算求解即可.【詳解】解：根據(jù)向量數(shù)乘的運算律得?7×6a?=?42a所以計算正確的個數(shù)是2個.故選：C.3．設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量與向量共線，由求解.【詳解】因為，是兩個不共線的向量，且向量與向量共線，所以，即，所以，解得，故選：D4．已知是內(nèi)一點，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算由條件，可得出，然后即可得到是的重心，從而可得出答案.【詳解】，所以是的重心，所以.故選：A.二、多選題5．向量，，則下列說法正確的是（）A． B．向量方向相反C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)向量共線定理及數(shù)乘的幾何意義、模長的求法即可判斷各選項的正誤.【詳解】由，，可得，即且方向相反，故A、B、D正確；由上可得，故C錯誤.故選：ABD.6．（多選）已知向量，不共線，若，，且A，B，C三點共線，則關(guān)于實數(shù)，的值可以是（）A．2， B．?3，C．2， D．?3，【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量共線基本定理即可求解.【詳解】因為A，B，C三點共線，則存在實數(shù)，使得，即，即，所以，又因為向量，不共線，所以，解得，所以實數(shù)，的值互為倒數(shù)即可求解.故選：AB三、填空題7．在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若，則______．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合平面向量線性運算法則可得，由平面向量基本定理可得，即可得解.【詳解】由題意畫出圖形，如圖所示：由題意可得，又，所以，從而，即.故答案為：.8．已知向量，，則______．【答案】##【解析】【分析】利用向量的線性運算即得.【詳解】∵向量，，∴.故答案為：四、解答題9．在中，點P是AB上一點，且，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，且，求t的值．【答案】【解析】【分析】由，化簡為，得到點P是AB的一個三等分點（靠近A點），再根據(jù)A，M，Q三點共線，設(shè)，然后用分別表示向量，再根據(jù)求解.【詳解】如圖所示：因為，所以，所以，即，所以點P是AB的一個三等分點（靠近A點），又因為A，M，Q三點共線，且Q為BC的中點，設(shè)，則，，因為，所以，