2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，將繞點(diǎn)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），連接.若，則的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．30° D．45°3．下列標(biāo)志中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-3 B． C． D．35．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個(gè)結(jié)論：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．用圖中兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)做“配紫色”游戲：分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)出紅色，另-個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，則可配成紫色的概率是（）轉(zhuǎn)盤(pán)一轉(zhuǎn)盤(pán)二A． B． C． D．7．如圖，小李打網(wǎng)球時(shí)，球恰好打過(guò)網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4m的位置上，則球拍擊球的高度h為()A．1.6m B．1.5m C．2.4m D．1.2m8．下列事件是必然事件的是（）A．半徑為2的圓的周長(zhǎng)是2 B．三角形的外角和等于360°C．男生的身高一定比女生高 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)9．如圖，是的外接圓，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，則線段的最大值為（）A．9 B．4.5 C． D．10．如圖，直線y=2x與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為()A．（1.0） B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2） D．（﹣2.1）或（2，﹣1）二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片ABC中，將B角折起，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，C重合）處，折痕是EF．如圖1，當(dāng)CD＝AC時(shí)，tanα1＝；如圖2，當(dāng)CD＝AC時(shí)，tanα2＝；如圖3，當(dāng)CD＝AC時(shí)，tanα3＝；……依此類(lèi)推，當(dāng)CD＝AC（n為正整數(shù)）時(shí)，tanαn＝_____．12．若，則代數(shù)式的值為_(kāi)_______________．13．若a是方程x2－x－1＝0的一個(gè)根，則2a2－2a＋5＝________．14．如圖，在正方形中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.15．方程x2﹣2x+1＝0的根是_____．16．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2﹣x1x2＝______．17．已知線段a，b，c，d成比例線段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，則d=_____cm；18．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，則BE：BC的值為_(kāi)________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，點(diǎn)C在⊙O上，聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交弦AB于點(diǎn)D，，聯(lián)結(jié)AC、OB，若CD=40，AC=20．（1）求弦AB的長(zhǎng)；（2）求sin∠ABO的值．20．（6分）如圖，扇形OAB的半徑OA＝4，圓心角∠AOB＝90°，點(diǎn)C是弧AB上異于A、B的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)C作弧AB所在圓的切線CG交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求圖中陰影部分的面積．21．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段AB上一點(diǎn)（0＜AD＜AB）．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E．將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接AF，EF．設(shè)∠BCE的度數(shù)為α．（1）①依題意補(bǔ)全圖形．②若α＝60°，則∠CAF＝_____°；＝_____；（2）用含α的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圓，P為CO的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝AC．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）若PB為⊙O的切線，求證：△ABC是等邊三角形．23．（8分）計(jì)算：24．（8分）如圖，為的直徑，直線于點(diǎn).點(diǎn)在上，分別連接，，且的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，為的切線交于點(diǎn).（1）求證：；（2）連接，若，，求線段的長(zhǎng).25．（10分）某超市欲購(gòu)進(jìn)一種今年新上市的產(chǎn)品，購(gòu)進(jìn)價(jià)為20元件，為了調(diào)查這種新產(chǎn)品的銷(xiāo)路，該超市進(jìn)行了試銷(xiāo)售，得知該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量件與每件的銷(xiāo)售價(jià)元件之間有如下關(guān)系：請(qǐng)寫(xiě)出該超市銷(xiāo)售這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)元與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出超市能獲取的最大利潤(rùn)是多少元．若超市想獲取1500元的利潤(rùn)求每件的銷(xiāo)售價(jià)．若超市想獲取的利潤(rùn)不低于1500元，請(qǐng)求出每件的銷(xiāo)售價(jià)X的范圍？26．（10分）如圖，已知菱形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝1．點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，求作矩形EFGH，使得點(diǎn)F、G、H分別落在邊BC、CD、AD上．設(shè)AE＝m．（1）如圖①，當(dāng)m＝1時(shí)，利用直尺和圓規(guī)，作出所有滿足條件的矩形EFGH；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）寫(xiě)出矩形EFGH的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】直線y=-4x+1與拋物線y=x2+2x+k只有一個(gè)交點(diǎn)，則把y=-4x+1代入二次函數(shù)的解析式，得到的關(guān)于x的方程中，判別式△=0，據(jù)此即可求解．【詳解】根據(jù)題意得：x2+2x+k=-4x+1，

即x2+6x+（k-1）=0，

則△=36-4（k-1）=0，

解得：k=1．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，把一次函數(shù)代入二次函數(shù)的解析式，得到的關(guān)于x的方程中，判別式△＞0，則兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，若△=0，則只有一個(gè)交點(diǎn)，若△＜0，則沒(méi)有交點(diǎn)．2、C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得∠AB′B=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得∠C′AB′=∠AB′B=30°．【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)l20°得到△AB′C′，

∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，

∴∠AB′B=（180°-120°）=30°，

∵AC′∥BB′，

∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，

∴∠CAB=∠C′AB′=30°，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．3、B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義即可解答．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)的圖形，不合題意；

B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

C、既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)的圖形，不合題意；

D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)的圖形，不合題意．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180度后所得的圖形與原圖形完全重合．4、A【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A'的坐標(biāo)為，然后把A′的坐標(biāo)代入中即可得到k的值．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為，

把A′代入，得k=-1×1=-1．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．5、C【詳解】根據(jù)圖像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，則①正確；當(dāng)x=1時(shí)，y<0，即a+b+c<0，則②錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可得：－=－，則b=3a，根據(jù)a<0，b<0可得：a>b；則③正確；根據(jù)函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可得：－4ac>0，則④正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).能通過(guò)圖象分析a，b，c的正負(fù)，以及通過(guò)一些特殊點(diǎn)的位置得出a，b，c之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.6、B【分析】將轉(zhuǎn)盤(pán)一平均分成3份，即將轉(zhuǎn)盤(pán)一標(biāo)“藍(lán)”的部分平均分成兩部分，分別記為藍(lán)、藍(lán)，再利用列表法列出所有等可能事件，根據(jù)題意求概率即可.【詳解】解：將轉(zhuǎn)盤(pán)一標(biāo)“藍(lán)”的部分平均分成兩部分，分別記為藍(lán)、藍(lán)，即轉(zhuǎn)盤(pán)-平均分成三等份，列表如下：紅紅藍(lán)黃紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，藍(lán)）（紅，黃）藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，紅）（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，黃）藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，紅）（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，黃）由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中能配成紫色的結(jié)果有5種，所以可配成紫色的概率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了概率，用列表法求概率時(shí)，必須是等可能事件，這是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，熟練掌握列表法是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】分析：本題是利用三角形相似的判定和性質(zhì)來(lái)求數(shù)據(jù).解析：根據(jù)題意三角形相似，∴故選B.8、B【分析】根據(jù)必然事件的概念（必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件），可判斷出正確答案．【詳解】解：A、半徑為2的圓的周長(zhǎng)是4，不是必然事件；B、三角形的外角和等于360°，是必然事件；C、男生的身高一定比女生高，不是必然事件；D、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，不是必然事件；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．9、C【分析】連接OB、OC，如圖，則△OBC是頂角為120°的等腰三角形，將△OPC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△OMB的位置，連接MP，則∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可得，于是求OP的最大值轉(zhuǎn)化為求PM的最大值，因?yàn)?，所以?dāng)P、B、M三點(diǎn)共線時(shí)，PM最大，據(jù)此求解即可.【詳解】解：連接OB、OC，如圖，則OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，將△OPC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△OMB的位置，連接MP，則∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥PM于點(diǎn)N，則∠MON=60°，MN=PM，在直角△MON中，，∴，∴當(dāng)PM最大時(shí)，OP最大，又因?yàn)椋援?dāng)P、B、M三點(diǎn)共線時(shí)，PM最大，此時(shí)PM=3+6=9，所以O(shè)P的最大值是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形和兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，具有一定的難度，將△OPC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△OMB的位置，將求OP的最大值轉(zhuǎn)化為求PM的最大值是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】試題分析：聯(lián)立直線與反比例解析式得：，消去y得到：x2=1，解得：x=1或﹣1．∴y=2或﹣2．∴A（1，2），即AB=2，OB=1，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示，分順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根據(jù)圖形得：點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（2，﹣1）．故選D．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【詳解】觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母與勾股數(shù)有關(guān)系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中間一個(gè)．當(dāng)，將故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．12、2019【分析】所求的式子前三項(xiàng)分解因式，再把已知的式子整體代入計(jì)算即可.【詳解】解：∵，∴.故答案為：2019.【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值、分解因式和整體的數(shù)學(xué)思想，屬于常見(jiàn)題型，靈活應(yīng)用整體的思想是解題關(guān)鍵.13、1【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=a代入方程x2-x-1=0，列出關(guān)于a的一元二次方程，通過(guò)解方程求得a2-a的值后，將其整體代入所求的代數(shù)式并求值即可．【詳解】根據(jù)題意，得a2-a-1=0，即a2-a=1；∴2a2-2a+5=2（a2-a）+5=2×1+5=1，即2a2-2a+5=1．故答案是：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程解的定義．此類(lèi)題型的特點(diǎn)是，利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡(jiǎn)后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．14、【分析】利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′D=A′E，進(jìn)而利用勾股定理得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DE的長(zhǎng)即可．【詳解】解：由題意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，

∴∠DEA′=45°，

∴A′D=A′E，

∵在正方形ABCD中，AD=1，

∴AB=A′B=1，

∴BD=，

∴A′D=，

∴在Rt△DA′E中，DE=．故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出A′D的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．15、x1＝x2＝1【解析】方程左邊利用完全平方公式變形，開(kāi)方即可求出解．【詳解】解：方程變形得：（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．故答案是：x1＝x2＝1.【點(diǎn)睛】考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程時(shí)，首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，然后兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．16、1【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)題意得：x1+x2=3，x1x2=2，

所以x1+x2-x1x2=3-2=1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-，x1x2=．17、3．【詳解】根據(jù)題意得：a：b=c：d，∵a=3cm，b=4cm，c=6cm，∴3：4=6：d，∴d=3cm．考點(diǎn)：3．比例線段；3．比例的性質(zhì)．18、1：4【解析】由S△BDE：S△CDE=1：3，得到

，于是得到

．【詳解】解：兩個(gè)三角形同高，底邊之比等于面積比.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，比例的性質(zhì)等知識(shí)，知道等高不同底的三角形的面積的比等于底的比是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）40；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)，CD過(guò)圓心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD長(zhǎng)即可得；（2）利用勾股定理求得半徑長(zhǎng)，然后再根據(jù)正弦三角形函數(shù)的定義即可求得.試題解析：（1）∵CD過(guò)圓心O，，∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，∵CD=40，，又∵∠ADC=，∴，∴AB=2AD=40；（2）設(shè)圓O的半徑為r，則OD=40-r，∵BD=AD=20，∠ODB=，∴，∴，∴r=25，OD=15，∴.20、（1）見(jiàn)解析；（2）圖中陰影部分的面積為．【分析】（1）連接OC交DE于F，根據(jù)矩形的判定定理證出四邊形CEOD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊對(duì)等角證出∠FCD＝∠CDF，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCG＝90°，然后根據(jù)同角的余角相等即可證出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，求出∠COD＝30°，然后利用銳角三角函數(shù)求出CD和OD，然后根據(jù)扇形的面積公式和三角形的面積公式即可求出結(jié)論．【詳解】證明：（1）連接OC交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，∴四邊形CEOD是矩形，∴CF＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，∵CG是⊙O的切線，∴∠OCG＝90°，∴∠OCD+∠GCD＝90°，∴∠ECF＝∠GCD，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠FCD＝∠CGD，∴∠CGO＝∠CDE；（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，∴∠DCO＝60°，∴∠COD＝30°，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2，OD＝2，∴圖中陰影部分的面積＝﹣2×2＝π﹣2．【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形的判定及性質(zhì)、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和求陰影部分的面積，掌握矩形的判定及性質(zhì)、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和求陰影部分的面積是解決此題的關(guān)鍵．21、（1）①補(bǔ)圖見(jiàn)解析；②30，；（2）EF＝ABcosα；證明見(jiàn)解析．【分析】（1）①利用旋轉(zhuǎn)直接畫(huà)出圖形，②先求出∠CBE＝30°，再判斷出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝30°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝α，再同（1）②的方法即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接AF，EF，如圖1；②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，∵α＝60°，∴∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AC＝AB，∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．在△ACF和△BCE中，AC＝BC，∠FCA＝∠ECB，F(xiàn)C＝EC，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，∴CF＝AC，由旋轉(zhuǎn)知，CF＝CE，∠ECF＝90°，∴EF＝CF＝AC＝×AB＝AB，∴＝，故答案為30，；（2）EF＝ABcosα．證明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．同（1）②的方法知，△ACF≌△BCE，∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∴在Rt△AFC中，cos∠FCA＝．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．∵∠ECF＝90°，CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF＝45°．在△FCE和△ACB中，∠FCE＝∠ACB＝90°，∠CFE＝∠CAB＝45°，∴△FCE∽△ACB，∴＝cos∠FCA＝cosα，即EF＝ABcosα．【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△ACF≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．22、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）連接OA，由等邊三角形性質(zhì)和圓周角定理可得∠AOC的度數(shù)，從而得到∠OCA，再由AP=AC得到∠PAC，從而算出∠PAO的度數(shù)；（2由切線長(zhǎng)定理得PA，PB，從而說(shuō)明PO垂直平分AB，得到CB=CA，再根據(jù)∠ABC=60°，從而判定等邊三角形.【詳解】解：（1）證明：連接．又是半徑，是的切線．（2）證明：連接是的切線，是的垂直平分線．是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，從而進(jìn)行證明.23、-1【分析】將，代入計(jì)算即可得到答案.【詳解】=-4+1+，=-3+2，=-1.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，熟記特殊角度的三角函數(shù)值，掌握正確的計(jì)算順序是解題的關(guān)鍵.24、（1）詳見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，由切線長(zhǎng)定理可證，從而，然后根據(jù)等角的余角相等得到，從而根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=8，再證明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后證明OF為△ABD的中位線，從而根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出OF的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角是），∴，∴，∵是的直徑，于點(diǎn)，∴是的切線（經(jīng)過(guò)半徑外端且與半徑垂直的直線是圓的切線），∵是的切線，∴（切線長(zhǎng)定理），∴，∵，，∴，∴，∵.（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，根據(jù)勾股定理求得，在和中，∴（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似），∴，∴，∴，∵，，∴