10.3頻率與概率

【知識點梳理】

1.頻率的穩(wěn)定性

一般地，隨著試驗次數〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率

啟A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此，

我們可以用頻率人(A)估計概率P(A).

2.概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系

頻率概率

頻率反映了一個隨機事件發(fā)生的頻繁概率是一個確定的值，它反映隨機事件發(fā)生

區(qū)別

程度，是隨機的的可能性的大小

聯(lián)系頻率是概率的估計值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率

3.隨機模擬

我們知道，利用計算器或計算機軟件可以產生隨機數.實際上，我們也可以根據不同的

隨機試驗構建相應的隨機數模擬實驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了，這么隨機模

擬方式叫做隨機模擬.

我們稱利用隨機模擬解決問題地方法為蒙特卡洛(MonteCarlo)方法.

【典型例題】

題型一概率的穩(wěn)定性

(多選題)例1.(2022?云南玉溪?高二期末)下列說法正確的有()

A.某市大中小型超市分別有20家、40家、140家，現用分層抽樣的方法從該市大中小型超

市中抽取一個容量為10的樣本進行研究，應抽取中型超市2家

B.在一次試驗中，隨機事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，所以事件發(fā)生的概率是0.5

C.一組數據的標準差越小，該組數據離散程度越小，穩(wěn)定性越好

D.在拋幣試驗中，試驗次數從1增加到10的過程中，隨機事件發(fā)生的頻率越來越接近其

概率

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用分層抽樣性質求選項A.利用概率的基本性質判斷選項B,利用標準差的特點判斷選項

C,利用頻率和概率的關系判斷選項D.

【詳解】

對于選項A,現用分層抽樣的方法從該市大中小型超市中抽取一個容量為10的樣本進行研

40

究，應抽取中型超市的數量為一-八二2,則選項A正確；

對于選項B,隨機事件發(fā)生的概率為0〈尸＜1,即事件發(fā)生的概率不一定為0.5,則選項B不正

確；

對于選項C,一組數據的標準差越小，方差就越小，該組數據離散程度越小，穩(wěn)定性越好，

則選項C正確；

對于選項D,當試驗的次數很大時，隨機事件的頻率接近其概率，試驗次數從1增加到10的

過程中，試驗的次數太少，隨機事件發(fā)生的頻率不會接近其概率，則選項D不正確.

故選：AC.

解題技巧（利用概率的穩(wěn)定性解題的注意事項）

（1）概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質屬性，隨機事件A發(fā)

生的概率是大量重復試驗中事件A發(fā)生的頻率的近似值.

（2）正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系.對具體的問題要從全局和

整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件.

（多選題）例2.（2022?湖北?恩施土家族苗族高中高三期末）利用計算機模擬擲兩枚硬幣的

試驗，在重復試驗次數為20,100,500時各做5組試驗，得到事件4=“一個正面朝上，一

個反面朝上發(fā)生的頻數和頻率表如下：

71=2072=100n=500

序號

頻數頻率頻數頻率頻數頻率

1120.6560.562610.522

290.45500.552410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.522530.506

根據以上信息，下面說法正確的有（）

A.試驗次數相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性

B.試驗次數較小時，頻率波動較大；試驗次數較大時，頻率波動較小，所以試驗次數越少

越好；

C.隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近

D.我們要得到某事件發(fā)生的概率時，只需要做一次隨機試驗，得到事件發(fā)生的頻率即為概

率

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據頻率和概率的關系判斷

【詳解】

A選項，驗次數相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性，故正確；

試驗次數較小時，頻率波動較大；試驗次數較大時，頻率波動較小，所以試驗次數越多越好：

B錯誤；

隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近,此固定值就是概率,

C正確；

我們要得到某事件發(fā)生的概率時，需要進行多次試驗才能得到概率的估計值，故D錯誤.

故選：AC

例3.(2022.湖南?高一課時練習)某文具廠打算生產一種中學生使用的筆袋，但無法確定各

種顏色的產量，于是該文具廠就筆袋的顏色隨機調查了5000名中學生，并在調查到1000

名，2000名，3000名，4000名，5000名時分別計算了各種顏色的頻率，繪制的折線圖如下：

(1)隨著調查次數的增加，紅色的頻率如何變化？

(2)你能估計中學生選取紅色的概率是多少嗎？

(3)若你是該廠的負責人，你將如何安排生產各種顏色筆袋的產量？

【答案】(1)紅色的頻率越來越穩(wěn)定在0.2

⑵0.2

(3)可安排生產藍色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的筆袋產量的比例大約為4:2:2:12:0.8

(合理即可)

【解析】

【分析】

(I)根據折線圖分析即可；

(2)根據頻率和概率的關系判斷即可；

(3)根據折線圖可得中學生選取藍色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的概率，即可按比

例安排生產；

⑴

解：根據折線圖可知隨著調查次數的增加，紅色的頻率越來越穩(wěn)定在02；

（2）

解：由圖可知，紅色的頻率基本在0.2附近浮動，所以中學生選取紅色的概率是0.2；

（3）

解：由圖可知，中學生選取藍色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的概率分別是0.4、0.2、

0.2,0.15、0.1,故可安排生產藍色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的筆袋產量的比例大

約為4:2:2:1.2:08（合理即可）;

例4.（2022?湖南?高一課時練習）某射擊運動員脫靶的概率是0.01%,如果他獨立重復射擊

下去，必有一次脫靶發(fā)生.（利用頻率和概率的關系說明）

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

根據頻率與概率的關系說明即可；

【詳解】

解：頻率一般是大概統(tǒng)計數據經驗值，頻率穩(wěn)定于概率，概率為準確值，依題意，已知射擊

運動員脫靶的概率是0.01%,這是由多次實驗得出的數據，如果設運動員射擊〃次，至少脫

靶一次的概率P=1-（1-0.0001）"=1-0.9999",從函數的角度分析可知當〃非常大時尸會趨

近于1,也就是說由概率的意義可知，該射擊運動員在10000次射擊中，可能有1次脫靶，

即他獨立重復射擊下去，必有一次脫靶發(fā)生.

題型二概率的應用

例5.（2021.江西吉安.高一期末）（1）用擲兩枚質地均勻的硬幣做勝負游戲，規(guī)定：兩枚硬

幣同時出現正面或同時出現反面算甲勝，一個正面、一個反面算乙勝.這個游戲是否公平？

請通過計算說明.

（2）若投擲質地均勻的三枚硬幣，規(guī)定：三枚硬幣同時出現正面或同時出現反面算甲勝，

其他情況算乙勝.這個游戲是否公平？請通過計算說明.

【答案】（1）這個游戲公平的；答案見解析；（2）這個游戲不公平；答案見解析.

【解析】

【分析】

利用列舉法結合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，則游戲公平，否則不公平

【詳解】

（1）拋擲兩枚質地均勻的硬幣，所有情況有：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝.

記事件A,8分別為“甲勝”，“乙勝”，則P（A）=P（8）=；,

這個游戲公平的.

（2）拋擲三枚質地均勻的硬幣，所以有情況有：｛（正正正），（正正反），（正反正），（正反

反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反））.

記事件A,8分別為“甲勝”，“乙勝”，

213

則尸⑷入丁,=這個游戲不公平.

解題技巧（游戲公平性的標準及判斷方法）

（1）游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同.若相

同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的.

（2）具體判斷時，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進行比較.

例6.（2021?全國?高一課時練習）有一個轉盤游戲，轉盤被平均分成10等份（如圖所示），轉動

轉盤,當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字.游戲規(guī)則如下:兩個人參加，先確定猜數

方案，甲轉動轉盤，乙猜，若猜出的結果與轉盤轉出的數字所表示的特征相符，則乙獲勝,否則甲

獲勝.猜數方案從以下三種方案中選一種：

A.猜“是奇數”或“是偶數”

B.猜“是4的整數倍數”或“不是4的整數倍數”

C.猜“是大于4的數”或“不是大于4的數”

請回答下列問題：

（1）如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜數方案,并且怎樣猜?為什么？

（2）為了保證游戲的公平性，你認為應制定哪種猜數方案?為什么？

（3）請你設計一種其他的猜數方案，并保證游戲的公平性.

【答案】⑴應選方案B，猜“不是4的整數倍數”;（2）應當選擇方案A;

（3）可以設計為:猜”是大于5的數”或“不是大于5的數”

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）方案A中“是奇數”或“是偶數”的概率均為得=0.5,案B中“不是4的整數倍

數''的概率為1=0.8,“是4的整數倍數”的概率為記=0.2,方案C中“是大于4的數”的概

率為義6=0.6,“不是大于4的數”的概率為啟4=04,乙為了盡可能獲勝，應選方案B,猜“不是

4的整數倍數（2）為了保證游戲的公平性,應當選擇方案A“是奇數”或“是偶數”的概率均

為得=0.5(3)“是大于5的數”或“不是大于5的數”發(fā)生的概率是一樣的，也可以保證游戲的

公平性

試題解析：

⑴如題圖，方案A中“是奇數”或“是偶數”的概率均為亙-0.5;方案B中“不是4的整數倍數”

10

的概率為且=0.8,“是4的整數倍數”的概率為二=0.2;方案C中“是大于4的數”的概率為巨

101010

=0.6,“不是大于4的數''的概率為$0.4.乙為了盡可能獲勝，應選方案B,猜“不是4的整數倍

數”.

(2)為了保證游戲的公平性,應當選擇方案A因為方案A猜“是奇數”或“是偶數”的概率均為

0.5,從而保證J'該游戲是公平的.

(3)可以設計為:猜“是大于5的數”或“不是大于5的數”,此方案也可以保證游戲的公平性.

點睛：本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就

公平，否則就不公平，此外本題還考查了對于事件發(fā)生的可能性的計算.用到的知識點為：

概率=所求情況數與總情況數之比.

例7.(2020?全國?高一課時練習)小陳以游戲方式決定是參加學校合唱團還是參加學校足球

隊.游戲規(guī)則：從A，4,4,4,4,A(如圖)這6個點中任取2個點，記選取的在y軸上的

點的個數為X.若X=0就參加學校合唱團，否則就參加學校足球隊.

4(0,1)

4(一1，°)4(1,0)_

01X

4。-1)

—1

4(3)

(1)請寫出中任取2個點的樣本空間；

(2)求小陳不參加學校合唱團的概率.

【答案】(I)樣本空間。={A4，AA，AA4，AA，A，4A3,

3

44,4A，4A,AA’4A，AA}12)~

【解析】

(1)直接用枚舉法表示樣本空間即可；

(2)根據X=0就參加學校合唱團，則可先確定X=0時的樣本點個數，再根據古典概型概率計

算公式求出參加學校合唱團的概率，從而得到不參加學校合唱團的概率.

【詳解】

(1)從4，4，43,44，4，4中任取2個點的樣本空間如下：

c={A4'A4‘AA'A,A2A,AA,4A,A2A,AA，A,A，A3A,4A,AA，AA},

一共有15個樣本點；

(2)當X=0時,所取的2個點均不在y軸上，

即從A，4,a，4中任取2個點，

()共6個樣本點，

所以小陳參加學校合唱團的概率為卷=|,

小陳不參加學校合唱團的概率p=1-,=：

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，難度不大.

題型三利用隨機模擬實驗求概率

例8.(2022?重慶市育才中學模擬預測)某種心臟手術，成功率為0.6,現采用隨機模擬方法

估計“3例心臟手術全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產生0~9之間取整數值的隨機

數，由于成功率是0.6,我們用0,1,2,3表示手術不成功，4,5,6,7,8,9表示手術

成功；再以每3個隨機數為一組，作為3例手術的結果，經隨機模擬產生如下10組隨機數：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907

由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為()

A.0.2B.0.3C.0.4D,0.5

【答案】A

【解析】

【分析】

由題可知10組隨機數中表示“3例心臟手術全部成功”的有2組，即求.

【詳解】

解：由題意，10組隨機數：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心臟手術全

部成功”的有：569,989,故2個，

故估計“3例心臟手術全部成功”的概率為/=0.2.

故選：A.

解題技巧（利用隨機模擬實驗求概率）

用隨機模擬來估計概率，一般有如下特點的事件可以用這種方法來估計：（1）對于滿足

“有限性”但不滿足"等可能性”的概率問題，我們可采取隨機模擬方法來估計概率.（2）對于一

些基本事件的總數比較大而導致很難把它列舉得不重復、不遺漏的概率問題或對于基本事件

的等可能性難于驗證的概率問題，可用隨機模擬方法來估計概率.

例9.（2022.湖南?高一課時練習）下表是用計算機模擬的拋擲一枚質地均勻的骰子的試驗數

據.其中〃是試驗的次數，表中的百分數是頻率.

點數/?=102n=103九=5000n=104M=105n=10fi

117.00%16.50%16.28%16.61%16.72%16.69%

215.00%15.50%17.12%16.62%16.44%16.62%

318.00%17.10%16.78%16.94%16.84%16.69%

418.00%16.00%16.68%16.97%16.76%16.64%

513.00%16.60%15.50%15.94%16.69%16.64%

619.00%18.30%17.64%16.92%16.55%16.72%

借助表格說明：當試驗的次數逐步增加時，每個點數出現的頻率有哪些變化？

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據表中的數據可得每個點出現的頻率穩(wěn)定在某常數的附近.

【詳解】

由表中數據可得每個出現的頻率隨著試驗的次數逐步增加穩(wěn)定在0.166附近.

例10.（2021.全國?高一課時練習）某射擊運動員每次擊中目標的概率都是80%.若該運動

員連續(xù)射擊10次，用隨機模擬方法估計其恰好有5次擊中目標的概率.

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】

用1,2,3,4,5,6,7,8表示擊中目標，用9,0表示未擊中目標，利用計算機或計算器產生0到9

之間的整數隨機數，每10個作為一-組，統(tǒng)計組數小統(tǒng)計這〃組數中恰有5個數在1,2,3,4,

5,6,7,8中的組數"?，根據古典概型可得答案.

【詳解】

解：步驟：

（I）用1,2,3,4,5,6,7,8表示擊中目標，用9,（）表示未擊中目標，這樣可以體現擊中的概率為

80%；

（2）利用計算機或計算器產生0到9之間的整數隨機數，每10個作為一-組，統(tǒng)計組數小

（3）統(tǒng)計這〃組數中恰有5個數在1,2,3,4,5,6,7,8中的組數〃?；

（4）則連續(xù)射擊10次恰有5次擊中目標的概率的近似值為生.

【同步練習】

一、單選題

1.（2022?湖南?高一課時練習）一個容量為20的樣本數據，分組與頻數如下表:

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數234542

則樣本在［10,50）內的頻率為（）

A.0.5B.0.24C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】

根據頻數分布表可得正確的選項.

【詳解】

因為樣本在［10,50）內的頻數為2+3+4+5=14,樣本容量為20,

所以在［10,50）內的頻率為弟07

故選：D.

2.（2022.河南.高三階段練習（文））某機構對某銀行窗口服務進行了一次調查，得到如下數

據：

等待時間

[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

（分鐘）

人數48742

則估計顧客的等待時間少于15分鐘的頻率是（）

A.0.19B.0.24C.0.38D.0.76

【答案】D

【解析】

【分析】

根據表中的數據直接求解

【詳解】

由題意可得顧客的等待時間少于15分鐘的頻率是，::=弓=0.76.

4+8+7+4+225

故選：D

3.（2022?江西鷹潭?高二期末（理））中國農歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的

結晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽為“中

國的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質

文化遺產代表作名錄.某小學三年級共有學生600名，隨機抽查100名學生并提問二十四節(jié)

氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據此估計該校三年級的600

名學生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有（）

A.17人B.83人C.102人D.115人

【答案】C

【解析】

【分析】

根據頻率計算出正確答案.

【詳解】

一句也說不出的學生頻率為"需一汽=017,

所以估計600名學生中，一句也說不出的有600x0.17=102人.

故選：C

4.（2022?山東濰坊?高二期末）如圖，某系統(tǒng)由4,B,C,。四個零件組成，若每個零件是

否正常工作互不影響，且零件A,B,C,￡）正常工作的概率都為P（O<P<1）,則該系統(tǒng)正

常工作的概率為（）

A.[l-(l-p)p[pB.[l-p(l-p2)]p

C.[1-(1D.

【答案】C

【解析】

【分析】

要使系統(tǒng)正常工作，則A、8要都正常或者C正常，。必須正常，然后利用獨立事件，對立

事件概率公式計算.

【詳解】

記零件或系統(tǒng)X能正常工作的概率為P(X),

該系統(tǒng)正常工作的概率為:「{[(AB)uC]cD}=尸[(48)=C]P(。)

=[I-P(7^)P?]P(O)=(I-P("B)P?)P(O)

=[I-(I-P(AB))(I-P(C))]P(D)=[I-(I-P2)(I-P)＞，

故選：c.

5.(2022?北京豐臺?高二期末)拋擲一枚質地均勻的硬幣，設事件A="正面向上”，則下列

說法正確的是()

A.拋擲硬幣10次，事件4必發(fā)生5次

B.拋擲硬幣100次，事件4不可能發(fā)生50次

C.拋擲硬幣1000次，事件A發(fā)生的頻率一定等于0.5

D.隨著拋擲硬幣次數的增多，事件A發(fā)生的頻率在0.5附近波動的幅度較大的可能性小

【答案】D

【解析】

【分析】

根據頻率與概率的關系可得答案.

【詳解】

不管拋擲硬幣多少次，事件4發(fā)生的次數是隨機事件，故ABC錯誤；

隨著拋擲硬幣次數的增多，事件A發(fā)生的頻率在0.5附近波動的幅度較大的可能性?。?/p>

故選：D

6.(2021?全國?高一課時練習)池州九華山是著名的旅游勝地.天氣預報8月1日后連續(xù)四

天，每天下雨的概率為0.6,現用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0~9

十個整數值中，假定0,1,2,3,4,5表示當天下雨，6,7,8,9表示當天不下雨.在隨

機數表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數：

95339522001874720018387958693281

78902692828084253990846079802436

5987388207538935

據此估計四天中恰有三天下雨的概率為()

【答案】B

【解析】

【分析】

求出表中數據四天中恰有三天下雨的情況即可得出概率.

【詳解】

由表中數據可得四天中恰有三天下雨的有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,

0753,共8組,

QO

所以估計四天中恰有三天下雨的概率為4=￡

故選：B.

7.（2021.全國?高一課時練習）在進行〃次反復試驗中，事件4發(fā)生的頻率為巴，當〃很大

n

時，事件A發(fā)生的概率P（A）與絲的關系是（）

n

A.P（A）?-B.P（A）＜-

nn

C.P（A）＞-D.P（A）=-

nn

【答案】A

【解析】

【分析】

當〃很大時，頻率是概率的近似值，從而可得答案

【詳解】

在進行〃次反復試驗中，事件A發(fā)生的頻率為竺，當〃很大時，畫越來越接近于P（A）,

nn

所以可以用絲近似的代替尸（A）,即P（A卜生，

nn

故選：A

8.（2021?上海?格致中學高二階段練習）獨立地重復一個隨機試驗次，設隨

機事件A發(fā)生的頻率為了（〃），隨機事件A發(fā)生的概率為P,有如下兩個判斷：①如果

"21｝是單元素集，則P=l；②集合｛/（〃）|〃eV,〃21｝不可能只含有兩個元

素，其中（）

A.①正確，②正確B.①錯誤，②正確

C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②錯誤

【答案】B

【解析】

【分析】

對于①，舉反例可判斷①的正誤；對于②，利用頻率與概率的關系可判斷②正誤，即可得出

結論.

【詳解】

對于①，比如定義隨機試驗：從10個紅球中任意抽取3個球，

定義隨機事件A：三個球中有一個白球，則P=0,且{/5）|〃eN,,〃21}={0},①錯；

對于②，頻率會隨著試驗的變化而變化，是一個變化的值，但隨著試驗次數的增加，頻率會

接近于概率，

因此，{/（，7）|〃€汽*.21}不可能只含有兩個元素，②對.

故選：B.

二、多選題

9.（2022?湖南?高一課時練習）（多選）甲、乙兩人做游戲，下列游戲中公平的是（）

A.拋一枚骰子，向上的點數為奇數則甲勝，向上的點數為偶數則乙勝

B.同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數之和大于7則甲勝，否則乙勝

C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝

D.甲、乙兩人各寫一個數字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝

【答案】ACD

【解析】

【分析】

求出每一個選項的情況下，甲勝和乙勝的概率即可判斷得解.

【詳解】

31

解：對于選項A,甲勝和乙勝的概率都是工=彳，所以游戲是公平的；

62

對于選項B,點數之和大于7和點數之和小于7的概率相等，但點數等于7時乙勝，所以甲

勝的概率小，所以游戲不公平；

對于選項C,甲勝和乙勝的概率都是||=g,所以游戲是公平的；

對于選項D,甲勝的概率是義,乙勝的概率是3，所以游戲是公平的.

故選：ACD

10.（2021?湖北十堰?高二期中）下列說法不合理的是（）

A.拋擲一枚質地均勻的骰子，點數為6的概率是，，意即每擲6次就有一次擲得點數6.

O

B.拋擲一枚硬幣，試驗200次出現正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率.

C.某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為80%,是指明天本地有80%的區(qū)域下雨.

D.隨機事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個發(fā)生的概率大.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

在A中，意即每擲6次就可能有一次擲得點數6,故A錯誤；

在B中，試驗200次出現正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；

在C中，是指明天本地有80%的可能性會下雨，故C錯誤：

在D中，可以舉例說明D錯誤.

【詳解】

解：在A中，拋擲一枚質地均勻的骰子，點數為6的概率是意即每擲6次就可能有一

次擲得點數6,故A錯誤；

在B中，拋擲一枚硬幣，由概率的定義得：試驗200次出現正面的頻率不一定比100次得

到的頻率更接近概率，故B正確；

在C中，某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為80%,是指明天本地有80%的可能性

會下雨，故C錯誤；

在D中，隨機事件A,B中至少有一個發(fā)生的概率不一定比A,B中恰有一個發(fā)生的概率

大，如A=擲一枚骰子一次，向上的點數是偶數，8=擲一枚骰子一次，向上的點數是奇數，

則A,8中至少有一個發(fā)生的概率的概率是1,A,8中恰有一個發(fā)生的概率也是1,故D錯

、口

氏

故選：ACD.

11.（2021.全國?高一課時練習）對下面的描述：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是

反映事件發(fā)生的可能性的大?。虎谧觥ù坞S機試驗，事件A發(fā)生機次，則事件A發(fā)生的頻

率就是事件A發(fā)生的概率；③頻率是不能脫離具體的〃次試驗的試驗值，而概率是具有確

定性的不依賴于試驗次數的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正

確的說法有（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據頻率和概率的關系可判斷.

【詳解】

由頻率和概率的意義知，頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的

大小，故①正確；

由頻率和概率的關系知，頻率是概率的近似值，是通過大量試驗得到的，而概率是頻率的穩(wěn)

定值，是確定的理論值，故②錯誤，③④正確.

故選：ACD.

12.(2021?浙江?三門啟超中學高二期末)某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況

如下表：

投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數

1005518

記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A,投中三分球為事件B,沒投中為事件

C,用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是()A.P(A)=0.55

B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(3+C)=0.55

【答案】ABC

【解析】

【分析】

求出事件A,8的頻率即得對應概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.

【詳解】

CC1Q

依題意，P(A)=-=0.55,P(B)=—=0.18,

100100

顯然事件A,8互斥，P(C)=1-P(A+B)=l-P(4)-P(B)=0.27,

事件8,C互斥，則P(8+C)=P(B)+P(C)=0.45,

于是得選項A,B,C都正確，選項D不正確.

故選：ABC

三、填空題

13.(2021.貴州畢節(jié).高二期中)一個口袋中裝有若干個除顏色不同外其他都完全相同的紅球

和黑球，某同學每次隨機取出一個球，觀察顏色后放回，連續(xù)取了10次，發(fā)現取出紅球3

次，則估計紅球在口袋中的占比為.

3

【答案】—##0.3

【解析】

【分析】

根據已知條件求出摸出紅球的頻率，進而估計紅球在口袋中的占比.

【詳解】

3

取球10次，取出紅球3次，取出紅球的頻率為6，

故估計紅球在口袋中的占比為5

3

故答案為：—

14.（2022?浙江寧波?高二期末）在下列三個問題中：

①甲乙二人玩勝負游戲：每人一次拋擲兩枚質地均勻的硬幣，如果規(guī)定：同時出現正面或

反面算甲勝，一個正面、一個反面算乙勝，那么這個游戲是公平的；

②擲一枚骰子，估計事件“出現三點''的概率，當拋擲次數很大時，此事件發(fā)生的頻率接近

其概率；

③如果氣象預報1日—30日的下雨概率是：，那么1日一30日中就有6天是下雨的；

其中，正確的是.（用序號表示）

【答案】①②

【解析】

【分析】

以甲乙獲勝概率是否均為:來判斷游戲是否公平，并以此來判斷①的正確性；以頻率和概

率的關系來判斷②③的正確性.

【詳解】

①中：甲乙二人玩勝負游戲：每人一次拋擲兩枚質地均勻的硬幣，

可得4種可能的結果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）

則“同時出現正面或反面''的概率為3，“一個正面、一個反面''的概率為3

即甲乙二人獲勝的概率均為g,那么這個游戲是公平的.判斷正確；

②中：“擲一枚骰子出現三點”是一個隨機事件，當拋擲次數很大時，此事件發(fā)生的頻率會

穩(wěn)定于其概率值，故此事件發(fā)生的頻率接近其概率.判斷正確；

③中：氣象預報”1—30II的下雨概率是g,那么1日一30II每天下雨的概率均是（，每

天都有可能下雨也可能不下雨，故1日一30H中出現下雨的天數是隨機的，可能是0天，

也可能是1天、2天、3天....不一定是6天.判斷錯誤.

故答案為：①②

15.（2022?全國?高一課時練習）天氣預報說，在接下來的一個星期里，每天漲潮的概率為

20%,設計一個符合要求的模擬試驗：利用計算機產生0~9之間取整數值的隨機數，用1,

2表示漲潮，用其他數字表示不漲潮，這樣體現了漲潮的概率是20%,因為時間是一周，所

以每7個隨機數作為一組，假設產生20組隨機數是：

7032563256458631424865677851

7782684612256952414788971568

3215687642445863258746894331

5789614568943215478633569841

2589634125869765478232274168

則下個星期恰有2天漲潮的概率為.

【答案】

【解析】

【分析】

由題意可知，恰有2天漲潮就是在這組數中，恰有兩個是1或2,從這20組數找出恰有兩

個是1或2的個數，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【詳解】

產生20組隨機數相當于做了20次試驗，在這組數中，如果恰有兩個是1或2,就表示恰有

兩天漲潮，它們分別是3142486,5241478,3215687,1258697,共有4組數，于是一周內

41

恰有兩天漲潮的概率近似值為三=-，

故答案為：—

16.（2021?天津?紫云中學高二期中）有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的次品率

為0.06,第二三臺加工的次品率均為0.05,加工出來的零件混放在一起.已知第一，二，三

臺車床加工的零件數分別占總數的0.25,0.3,0.45,任取一個零件，求它是次品的概率.

【答案】0.0525

【解析】

【分析】

利用三臺車床的次品率和零件數占比求得正確結論.

【詳解】

依題意，任取一個零件，求它是次品的概率為

0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

故答案為：0.0525

四、解答題

17.（2022?湖南?高一課時練習）某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖所示），并做

如下規(guī)定：顧客購物80元以上就獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一

區(qū)域就可以獲得相應的獎品.

下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數據:

轉動轉盤的次數m1001502005008001000

落在區(qū)域“1”的頻數n13192462100120

m

落在區(qū)域“「的頻率》

(1)計算并完成表格.

(2)當n很大時，落在區(qū)域“1”的頻率將會接近多少？

(3)你獲得區(qū)域力”相應獎品的概率大約為多少？

【答案】(1)答案見解析

(2)0.12

(3)0.12

【解析】

【分析】

(1)根據表中的數據直接計算出頻率；

(2)根據頻率穩(wěn)定值可得答案；

(3)根據頻率與概率的有關系可得答案.

(1)

落在區(qū)域“1”的頻率如下表：

轉動轉盤的次數切1001502005008001000

落在區(qū)域“1”的頻數n13192462100120

m

0.130.130.120.120.130.12

落在區(qū)域“1”的頻率〃

(2)

由(I)中計算的頻率，可判斷當〃很大時，落在區(qū)域力”的頻率將會接近0.12.

(3)

由(1),(2)及頻率與概率的關系可知獲得區(qū)域“1”相應獎品的概率大約為0.12.

18.(2022.湖南?高一課時練習)有三張除字母外完全相同的紙牌，字母分別是K,K,Q.進

行有放回的抽樣，每次試驗抽出一張紙牌，經過多次試驗后結果匯總如下表：

試驗總次數1020501002003004005001000

抽出K的頻數71332136198270660

抽出K的頻率65%67%

(1)將上述表格補充完整；

(2)觀察表格，計算摸到K的頻率為多少；

(3)估計摸到K的概率.

【答案】(1)見解析

(2)約為66%.

(3)摸到K的概率約為66%,事實上摸到K的概率為：.

【解析】

(1)

完善后表格如下表所示：

試驗總次數1020501002003004005001000

抽出K的頻數7133265136198270335660

抽出K的頻率70%65%64%65%68%66%67.5%67%66%

(2)

由(1)可得計算摸到K的頻率約為66%.

(3)

由頻率與概率的關系可得摸到K的概率約為66%,事實上摸到K的概率為;.

19.(2022?廣東揭陽.高二期末)為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，鼓勵全民閱讀經典書籍，某市舉

行閱讀月活動，現統(tǒng)計某街道約10000人在該活動月每人每日平均閱讀時間(分鐘)的頻率

分布直方圖如圖：

(1)求x的值；

(2)從該街道任選1人，則估計這個人的每日平均閱讀時間超過60分鐘的概率.

【答案】(l)x=0.0175

(2)0.7

【解析】

【分析】

(1)利用概率和為I計算可得x的值；(2)求頻率分布直方圖中每人每日平均閱讀時間超

過60分鐘的概率即為這個人閱讀時間超過60分鐘的概率.

(1)

由1-(0.005+0.010+0.0125+0.005)x20=20x

得x=0.0175.

(2)

(0.0175+0.0125+0.005)x20=0.7,

估計這個人的每日平均閱讀時間超過60分鐘的概率為0.7.

20.(2021?全國?高一課時練習)某人有5把鑰匙，其中2把能打開門，現隨機地取1把鑰匙

試著開門，不能開門就扔掉，問第三次才打開門的概率是多少？如果試過的鑰匙不扔掉，這

個概率又是多少？設計一個試驗，隨機模擬估計上述概率.

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】

第三次才打開門的概率3是2如2果試過的鑰匙不扔掉，這個概率是3=x3=2

543555

用計算器或計算機產生1到5之間的取整數值的隨機數，1,2表示能打開門，3,4,5表示打

不開門.可由此隨機模擬估計上述概率.

【詳解】

3221

解：現隨機地取1把鑰匙試著開門，不能開門就扔掉，第三次才打開門的概率是=

5435

如果試過的鑰匙不扔掉，這個概率是3x1x2=痣，

555125

用計算器或計算機產生1到5之間的取整數值的隨機數，1,2表示能打開門，3,4,5表示打

不開門.

(1)三個一組(每組數字不重復)，統(tǒng)計總組數N及前兩個大于2,第三個是1或2的組數M,則當

N

即為不能，打開門即扔掉，第三次才打開門的概率的近似值.

(2)三個一組，統(tǒng)計總組數M及前兩個大于2,第三個為1或2的組數M/,則如即為試過的

M

鑰匙不扔掉，第三次才打開門的概率的近似值.

21.(2021?寧夏?銀川一中高三階段練習(文))某中學有初中學生1800人，高中學生1200

人，為了解全校學生本學期開學以來(60天)的課外閱讀時間，學校采用分層抽樣方法，

從中抽取了100名學生進行同卷調查.將樣本中的“初中學生”和"高中學生”按學生的課外閱

讀時間(單位，小時)各分為5組[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],得其頻率分布直

初中生組高中生組

(1)估計全校學生中課外閱讀時間在[30,40)小時內的總人數是多少；

(2)從課外閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率；

(3)國家規(guī)定，初中學生平均每人每天課外閱讀時間不小于半小時.若該校初中學生調外閱讀

時間小于國