武漢市常青聯(lián)合體2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的模為（

）A． B． C．5 D．32．已知平面向量的夾角為，，，則＝（

）A．2 B． C． D．3．在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，高二某班名學(xué)生成績(jī)的平均分為，方差為，則下列四個(gè)數(shù)中不可能是該班數(shù)學(xué)成績(jī)的是（

）A． B． C． D．4．，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若，，則

②若，，則③若，，則

④若，，，則A．1 B．2 C．3 D．45．已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為和的中點(diǎn)，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．已知在中，滿足，點(diǎn)在邊上，且平分，，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．47．已知為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足和，則角為（

）A． B． C． D．8．在正三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，，若，則此正三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分.9．已知i為虛數(shù)單位，以下說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)D．復(fù)數(shù)z滿足，則10．在中，角所對(duì)的邊分別是，下列說法正確的是（

）A．若，則是等腰三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則滿足條件的三角形有2個(gè)D．若不是直角三角形，則11．已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，且與正方體的內(nèi)切球（為球心）交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．線段的長(zhǎng)為B．三棱錐的體積為C．過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為D．設(shè)P為球上任意一點(diǎn)，則的范圍為三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12．某歌手在一次比賽中評(píng)委給分為（十分制）則該歌手得分的第七十五百分位數(shù)是.13．如圖所示，是的中點(diǎn)，是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則當(dāng)時(shí)，的范圍是.14．已知在三角形中，角的對(duì)邊分別為，且，角為銳角，向量與共線，且，則三角形的周長(zhǎng)為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知向量.(1)若與垂直，求的值；(2)若與共線，求的值.16．如圖，在四棱錐中，底面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.17．已知在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.18．隨著社會(huì)的進(jìn)步?科技的發(fā)展，人民對(duì)自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲(chǔ)存?分類投放，方便工作人員依分類搬運(yùn)，提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭(zhēng)物盡其用.某市環(huán)衛(wèi)局在A?B兩個(gè)小區(qū)分別隨機(jī)抽取6戶，進(jìn)行生活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對(duì)近期一周（7天）進(jìn)行生活垃圾分類占用時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下表：住戶編號(hào)123456A小區(qū)（分鐘）220185220225205235B小區(qū)（分鐘）205195245235225215(1)分別計(jì)算小區(qū)每周進(jìn)行生活垃圾分類所用時(shí)間的平均值和方差；以及兩個(gè)小區(qū)抽取的一共12戶每周進(jìn)行生活垃圾分類所用時(shí)間的平均值和方差；(2)如果兩個(gè)小區(qū)住戶均按照1000戶計(jì)算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運(yùn)，市環(huán)衛(wèi)局與兩個(gè)小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實(shí)施下列方案：①小區(qū)方案：號(hào)召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國(guó)利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯(cuò)生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)）計(jì)算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點(diǎn)，物業(yè)讓專職人員進(jìn)行生活垃圾分類，一位專職工作人員對(duì)生活垃圾分類的效果相當(dāng)于5位普通居民對(duì)生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時(shí)）月工資按照4000元（按照28天計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)）計(jì)算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？(3)市環(huán)衛(wèi)局與兩個(gè)小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商分別試行一個(gè)月，根據(jù)實(shí)施情況，試分析哪個(gè)方案惠民力度大，值得進(jìn)行推廣？19．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，D，E分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為D．

(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積；(3)在線段上是否存在點(diǎn)G，使二面角的大小為，若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．1．A【解析】略2．D【分析】利用數(shù)量積的定義把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算即可得．【詳解】由題意，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，解題關(guān)鍵是把模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算．3．D【分析】可檢驗(yàn)與平均數(shù)差最大的數(shù)，計(jì)算，看是否滿足題意，即可求得答案.【詳解】方差，若存在，則導(dǎo)致方差必然大于，不符合題意.不可能是該班數(shù)學(xué)成績(jī)故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、方差的相關(guān)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握方差的計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】①，若，，則，①正確.②，若，，則m，n有可能平行或異面；②不正確.③，若，，由線面垂直的判定定理可得，，③正確.④，若，，，因?yàn)閙不一定在平面內(nèi)，所以m不一定垂直，④不正確，故選：B.5．C【解析】略6．A【解析】略7．B【解析】略8．D【解析】略9．CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法可得，根據(jù)幾何意義即可求解A，舉反例即可求解B，根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解C，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解D.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在虛軸上，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，滿足，但不相等，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，為純虛數(shù)，可得，可得，故C正確，對(duì)于D，由得，所以，故，D正確，故選：CD.10．BD【解析】略11．ABD【解析】略12．【解析】略13．【解析】略14．【解析】略15．(1)(2)【詳解】（1），，.與垂直，.（2）由（1）知，，得..16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，由于分別為的中點(diǎn)，故，且，又，可得，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)榈酌娴酌?，又平面，平?又平面.為的中點(diǎn)，，又平面平面，直線在平面內(nèi)的射影為直線，故為直線與平面所成的角，由底面底面可得，，為等腰直角三角形，且平分，，所以直線與平面所成的角為.17．(1)(2)【詳解】（1）故得所以，即.由正弦定理，得，顯然，所以，所以.因?yàn)椋?（2）由題設(shè)及（1）可知，的面積為銳角三角形，∴0<C<π2，又，，.18．(1)215分鐘，220分鐘，(2)①15元；②52元(3)選擇方案推廣，有利于國(guó)民熱愛勞動(dòng)及素質(zhì)的提升【詳解】（1）（分鐘），（分鐘），總體的平均數(shù)，總體的方差（2）①按照方案，A小區(qū)一月至少需要5名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯(cuò)生活垃圾分類，其費(fèi)用是元，每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)為（元）；②由（1）知，小區(qū)平均每位住戶每周需要220分鐘進(jìn)行垃圾分類，一月需要（分鐘），小區(qū)一月平均需要分鐘的時(shí)間用于生活垃圾分類，一位專職工人一天的工作時(shí)間按照8小時(shí)作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，每月按照28天作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，一位專職工作人員對(duì)生活垃圾分類效果相當(dāng)于5名普通居民對(duì)生活垃圾分類的效果，小區(qū)一月需要專職工作人員至少（名），則每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)為（元），（3）根據(jù)上述計(jì)算可知，按照每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)來說，選擇A方案惠民力度大，但需要住戶平時(shí)做好生活垃圾分類事項(xiàng)；如果對(duì)于高檔小區(qū)的居民來說，可以選擇方案，這只是方便個(gè)別高收入住戶，綜上，選擇方案推廣，有利于國(guó)民熱愛勞動(dòng)及素質(zhì)的提升.19．(1)證明見詳解；(2)(3)【分析】（1）通過幾何圖形的性質(zhì)證明即可；（2）構(gòu)造線面平行，求得F到平面的距離結(jié)合三棱錐的體積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)二面角的定義結(jié)合（1）作出其平面角，解三角形即可.【詳解】（1）

如圖所示，連接，由題意可知面ABC，四邊形是菱形.∵面ABC，∴，又∵D是AC中點(diǎn)，是正三角形，∴，顯然面，∴面，∵面，∴，在菱形中，有，而D，E分別是線段的中點(diǎn)，則，∴,∵面，∴面;（2）

如圖所示，取的中點(diǎn)S，連接，過F作交于I，過I作分別交的延長(zhǎng)線于H、N，易知分別是的中點(diǎn)，則由條件可得，面，面，故面，即到面的距離等于到面的距離，由（1）得，面，所以面，是直角三角形，在菱形中，易得，所以