遇到中點(diǎn)如何添加輔助線微專題一階

方法訓(xùn)練方法解讀情形1當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，考慮構(gòu)造中位線如圖，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，連接DE.【結(jié)論】DE∥BC；DE＝

BC；△ADE∽△ABC.方法一構(gòu)造中位線(9年3考)情形2當(dāng)圖形中出現(xiàn)中點(diǎn)，考慮過中點(diǎn)作已知邊的平行線構(gòu)造中位線如圖，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E.【結(jié)論】AE＝CE；DE＝

BC；△ADE∽△ABC.例1如圖，O為?ABCD的對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，E為邊BC的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，若BD的長為6，則OF的長為________．一題多解法例1題圖1例2

如圖，在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AB于點(diǎn)F，交CB的延長線于點(diǎn)E，若F為DE的中點(diǎn)，BF＝3，求AF的長．一題多解法例2題圖解法一：解：如圖，過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴BF為△EGD的中位線，∴DG＝2BF＝6.∵D為AC的中點(diǎn)，∴DG為△ABC的中位線，∴AB＝2DG＝12，∴AF＝AB－BF＝12－3＝9.G

一題多解法思路點(diǎn)撥：例2解法：如圖，過點(diǎn)D作DH∥BC交AB于點(diǎn)H，證明△HDF≌△BEF.解法二：解：如圖，過點(diǎn)D作DH∥BC交AB于點(diǎn)H，∵DH∥BC，∴∠HDF＝∠E，∠FHD＝∠EBF.∵F為ED中點(diǎn)，∴EF＝DF，∴△HDF≌△BEF，∴HF＝FB＝3，∴BH＝6.∵D為AC中點(diǎn)，∴H為AB中點(diǎn)，∴AH＝HB＝6，∴AB＝12，∴AF＝AB－BF＝9.例2題圖H方法解讀情形1遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，考慮作斜邊上的中線如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接CD.【結(jié)論】CD＝

AB.方法二構(gòu)造中線方法解讀情形2遇等腰三角形底邊中點(diǎn)時(shí)，考慮作底邊上中線，利用“三線合一”解題如圖，在等腰△ABC中，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，若連接AD，則AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.例3如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為邊AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，連接EF，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，則EF的長為________．例3題圖5例4如圖，將兩個(gè)含30°且大小不一樣的兩個(gè)直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD)如圖擺放在一起，∠ACB＝∠BDC＝90°，E為AB的中點(diǎn)，連接DE.若AC＝2，則DE的長為________．例4題圖例5如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接AD，EF，若AD＝AB，AC＝6，則EF的長度為________．例5題圖3方法解讀①如圖，AD是BC邊的中線，若延長AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE，則△ACD≌△EBD.方法三構(gòu)造倍長中線②如圖，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，連接ED，延長ED至點(diǎn)F，使得DF＝ED，連接CF，則△BDE≌△CDF.注：連接EC，ED實(shí)質(zhì)為△BEC的中線．倍長中線的本質(zhì)可以理解為平移變換或中心對(duì)稱．例6如圖，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC.一題多解法例6題圖解法一：證明：如圖，延長AD至點(diǎn)H，使DH＝AD，連接BH，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴AC＝BH，∠CAD＝∠H.H∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE.∵∠AFE＝∠BFH，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴BF＝AC.例6題圖H解法二：證明：如圖，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝DF，連接CG，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在△BDF和△CDG中，

，∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC.例6題圖G二階

綜合訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使AD＝

AB，連接DE，DF，則DF的長為________．第1題圖2【解析】如圖，連接EF，AE.∵E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，AF＝CF，∴EF∥AB，EF＝

AB，∵AD＝

AB，∴AD＝EF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴DF＝AE，∵∠BAC＝90°，∴AE＝

BC＝2，∴DF＝AE＝2.第2題圖2.如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作∠AEF＝∠DAE，交CD于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，則EF的長為________．【解析】如圖，延長EF，AD交于點(diǎn)G，∵∠AEF＝∠DAE，∴AG＝EG.設(shè)DG＝x，則EG＝AG＝6＋x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝∠ADC＝90°＝∠GDF，AB＝CD＝6.∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF＝DF＝3，G又∵∠CFE＝∠DFG，∴△CEF≌△DGF，∴CE＝DG＝x，EF＝GF＝

.在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理，得CF2＋CE2＝EF2，即32＋x2＝(

)2，解得x＝4或x＝0(舍去)，∴EF＝

＝5.【答案】5第2題圖G

解題關(guān)鍵點(diǎn)延長EF，AD交于點(diǎn)G，證得△CEF≌△DGF，再根據(jù)勾股定理求解．3.如圖，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，若CE＝7，求CF的長．第3題圖解：∵AC＝BC＝13，D是AB的中點(diǎn)，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝5.∵CE＝7，∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.如圖，過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G，G∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位線，∴DG＝

AE＝3.∵DG∥AC，∴△DGF∽△CEF，∴＝

，即

＝

.在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得CD＝＝＝12，∴＝

，解得CF＝

.第3題圖G【解題思路】∵AC＝BC＝13，D是AB的中點(diǎn)，可得∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝5，AE＝AC－CE＝6，如解圖，過點(diǎn)D作DG∥BE交AC于點(diǎn)G，由中位線定理得AG＝GE＝3，CG＝10，可證得△CEF∽△CGD，得出

，由勾股定理解得CD的長，最后求出CF的長．第3題解圖一題多解4.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長線上，連接AE，AC，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接DF，若AB＝6，AD＝8，CE＝AC，求DF的長．第4題圖解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥CD交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，∴FH∥BC，∵F是AE的中點(diǎn)，∴FG是△ABE的中位線，∴FG＝

BE，AG＝BG.∟GH由FH⊥CD和矩形的性質(zhì)可得，DH＝CH＝

CD＝

AB＝3，在Rt△ABC中，AB＝