學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用實(shí)際問題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題.1.我們稱f(x)＝

，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.2.若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為

.特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.知識點(diǎn)一正態(tài)曲線與正態(tài)分布X～N(μ，σ2)3.若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.思考1正態(tài)曲線f(x)＝

，x∈R中的參數(shù)μ，σ有何意義？答案μ可取任意實(shí)數(shù)，表示平均水平的特征數(shù)，E(X)＝μ；σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差，D(X)＝σ2.一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)由μ，σ唯一確定，π和e為常數(shù)，x為自變量，x∈R.思考2若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則X是離散型隨機(jī)變量嗎？答案若X～N(μ，σ2)，則X不是離散型隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的定義：P(a<X≤b)為區(qū)域B的面積，X可取(a，b]內(nèi)的任何值，故X不是離散型隨機(jī)變量，它是連續(xù)型隨機(jī)變量.1.對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的

.2.曲線與x軸之間的面積為

.3.曲線是單峰的，它關(guān)于直線

對稱.4.曲線在

處達(dá)到峰值

.5.當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近

軸.知識點(diǎn)二正態(tài)曲線的特點(diǎn)上方1x＝μx＝μx6.當(dāng)

一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著

的變化而沿x軸平移，如圖①.σμ7.當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈

；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈

；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈

.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.知識點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則0.68270.95450.99734.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，則P(0<ξ<1)＝________．【答案】0.1

【解析】∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，∴曲線關(guān)于直線x＝1對稱，∵P(ξ<2)＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，故答案為0.1．5.某班有50名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為______．【答案】10

6.商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量服從正態(tài)分布N(10,0.12)(單位：kg)．任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.8～10.2kg的概率是多少？解：因?yàn)榇竺椎馁|(zhì)量服從正態(tài)分布N(10,0.12)，要求質(zhì)量在9.8～10.2的概率，需化為(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正態(tài)分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以質(zhì)量在9.8～10.2kg的概率為P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544．6.商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量服從正態(tài)分布N(10,0.12)(單位：kg)．任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.8～10.2kg的概率是多少？解：因?yàn)榇竺椎馁|(zhì)量服從正態(tài)分布N(10,0.12)，要求質(zhì)量在9.8～10.2的概率，需化為(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正態(tài)分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以質(zhì)量在9.8～10.2kg的概率為P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544．題型案例案例一

正態(tài)曲線反思感悟利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值

，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.案例二

利用正態(tài)分布求概率例2.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．【解析】如圖所示，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.【答案】0.8反思感悟利用正態(tài)分布的對稱性求概率由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等.案例三

正態(tài)分布的應(yīng)用反思感悟求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值.(2)將待求問題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果.變式訓(xùn)練3.某年級的一次信息技術(shù)測驗(yàn)成績近似服從正態(tài)分布N(70,102)，該年級有2000名學(xué)生，如果規(guī)定低于60分為不及格，求成績不及格的學(xué)生約有多少人？解：設(shè)學(xué)生的得分為隨機(jī)變量X，X～N(70,102)，則μ＝70，σ＝10.成績在60～80間的學(xué)生的概率約為：P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826，課堂小結(jié)1.知識清單：(1)正態(tài)曲線及其特點(diǎn).(2)正態(tài)分布.(3)正態(tài)分布的應(yīng)用，3σ原則.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價(jià).備用工具&資料1.對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的

.2.曲線與x軸之間的面積為

.3.曲線是單峰的，它關(guān)于直線

對稱.4.曲線在

處達(dá)到峰值

.5.當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近

軸.知識點(diǎn)二正態(tài)曲線的特點(diǎn)上方1x＝μx＝μx6.當(dāng)

一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著

的變化而沿x軸平移，如圖①.σμ7.當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.思考1正態(tài)曲線f(x)＝

，x∈R中的參數(shù)μ，σ有何意義？答案μ可取任意實(shí)數(shù)，表示平均水平的特征數(shù)，E(X)＝μ；σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差，D(X)＝σ2.一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)由μ，σ唯一