備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計專題04二項分布與超幾何分布類型對應典例明確樣本容量（較?。贸瑤缀畏植嫉那蠼獾淅?不放回型抽樣問題，利用超幾何分布的求解典例2出現(xiàn)頻率估計概率時，利用二項分布解決問題典例3放回型重復試驗，利用二項分布解決問題典例4與正態(tài)分布相結(jié)合的二項分布問題典例5明確樣本容量（非常大），利用二項分布解決問題典例6利用二項分布的函數(shù)特性的求最值典例7【典例1】【北京市豐臺區(qū)2019-2020學年高三上學期期末】目前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境.我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴重污染環(huán)境.垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴重侵蝕，減少了土地流失.2020年5月1日起，北京市將實行生活垃圾分類，分類標準為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從這5個小區(qū)中任取1個小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（Ⅱ）從這5個小區(qū)中任取2個小區(qū)，記為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個數(shù)，求的分布列及期望．【思路引導】（Ⅰ）基本事件的總數(shù)為5，隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)為2，從而可得隨機事件的概率.（Ⅱ）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．【典例2】【重慶南開中學2019-2020學年高三上學期第四次教學質(zhì)量檢測】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分數(shù)區(qū)間如下表：等級比例賦分區(qū)間而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當原始分為，時，等級分分別為、，假設(shè)小南的化學考試成績信息如下表：考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間化學75分等級設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)椋鶕?jù)公式得：，所以（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：成績95939190888785人數(shù)1232322（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設(shè)5名學生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.【思路引導】（1）根據(jù)成績換算公式，計算出等級成績不低于96分時的原始成績，進而得到等級成績不低于96分的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率即可得到所求；（2）列出隨機變量的所有可能的取值，分別求出對應的概率，列出分布列，計算期望即可．【典例3】【2020屆河南省焦作市高三上學期第二次模擬考試】隨著經(jīng)濟的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時間之和統(tǒng)計如圖所示.（1）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的頻率；（2）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和的平均數(shù)（每組取該組的中間值作代表）；（3）以頻率估計概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的周數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望.【思路引導】（1）用減去頻率直方圖中位于區(qū)間和的矩形的面積之和可得出結(jié)果；（2）將各區(qū)間的中點值乘以對應的頻率，再將所得的積全部相加即可得出所求平均數(shù)；（3）由題意可知，利用二項分布可得出隨機變量的概率分布列，并利用二項分布的均值可計算出隨機變量的數(shù)學期望.【典例4】【2020屆安徽省蚌埠市高三上學期期末考試】某餅屋進行為期天的五周年店慶活動，現(xiàn)策劃兩項有獎促銷活動，活動一：店慶期間每位顧客一次性消費滿元，可得元代金券一張；活動二：活動期間每位顧客每天有一次機會獲得一個一元或兩元紅包．根據(jù)前一年該店的銷售情況，統(tǒng)計了位顧客一次性消費的金額數(shù)（元），頻數(shù)分布表如下圖所示：一次性消費金額數(shù)人數(shù)以這位顧客一次消費金額數(shù)的頻率分布代替每位顧客一次消費金額數(shù)的概率分布．（1）預計該店每天的客流量為人次，求這次店慶期間，商家每天送出代金券金額數(shù)的期望；（2）假設(shè)顧客獲得一元或兩元紅包的可能性相等，商家在店慶活動結(jié)束后會公布幸運數(shù)字，連續(xù)天參加返紅包的顧客，如果紅包金額總數(shù)與幸運數(shù)字一致，則可再獲得元的“店慶幸運紅包”一個．若公布的幸運數(shù)字是“”，求店慶期間一位連續(xù)天消費的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望．【思路引導】（1）先計算出顧客一次消費滿元的概率，再可得；（2）記店慶期間一位連續(xù)天消費的顧客獲得紅包金額總數(shù)為，則的可取值為，，，，，，計算出取每一個值的概率后，利用期望公式計算可得.【典例5】【2020屆廣東省茂名市高三第一次綜合測試】當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個數(shù)得分1617181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：（?。╊A估全年級恰好有1000名學生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù).（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，，則，，【思路引導】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算，每分鐘跳繩個數(shù)的人數(shù)為（人）每分鐘跳繩個數(shù)的人數(shù)為（人），由題意可知，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，根據(jù)互斥事件概率加法公式，計算即可.（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的均值，可知正式測試時期望的估計值，方差，計算，，（?。└鶕?jù)正態(tài)分布的對稱性，計算，求解人數(shù)即可.（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)202以上的概率為，則服從二項分布，即，計算分布列和期望，即可.【典例6】【2019年12月廣東省高三調(diào)研考試數(shù)】某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.【思路引導】（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【典例7】【2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試（新課標I卷)理科】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【思路引導】（1）利用獨立重復實驗成功次數(shù)對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；（2）先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應的期望，之后應用變量之間的關(guān)系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結(jié)果.【針對訓練】1.【天津市部分區(qū)2019-2020學年高三上學期期末數(shù)學試題】每年的12月4日為我國“法制宣傳日”.天津市某高中團委在2019年12月4日開展了以“學法、遵法、守法”為主題的學習活動.已知該學校高一、高二、高三的學生人數(shù)分別是480人、360人、360人.為檢查該學校組織學生學習的效果，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校全體學生中選取10名學生進行問卷測試.具體要求：每位被選中的學生要從10個有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機抽出4個問題進行作答，所抽取的4個問題全部答對的學生將在全校給予表彰.⑴求各個年級應選取的學生人數(shù)；⑵若從被選取的10名學生中任選3人，求這3名學生分別來自三個年級的概率；⑶若被選取的10人中的某學生能答對10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記表示該名學生答對問題的個數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.2.【2020屆廣西河池市高三上學期期末考試】在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）估計這名參賽選手的平均成績；（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加競賽選拔賽的選手能夠進入正式競賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨立，現(xiàn)有名選手進入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.3.【河南省天一大聯(lián)考2019-2020學年高三階段性測試（三)】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當最大時，求的值.4.【河北省邢臺市2018-2019學年高二下學期期末考】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.5.為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省于2018年推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標準：以一個年度為計費周期、月度滾動使用，第一階梯電量：年用電量2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度；第二階梯電量：年用電量2161至4200度(含4200度)，執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度；第三階梯電量：年用電量4200度以上，執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.某市的電力部門從本市的用電戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下表：用戶編號12345678910年用電量(度)1000126014001824218024232815332544114600(1)試計算表中編號為10的用電戶本年度應交電費多少元？(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取4戶，對其用電情況作進一步分析，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電情況，現(xiàn)從全市居民用電戶中隨機地抽取10戶，若抽到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.6.【2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（山東卷】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.7.【河北省示范性高中2019屆高三4月聯(lián)】一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立．對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．8.隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車．為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計1087111450（1）如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成列表（見答題卡），并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)？（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”中，隨機抽取4名用戶．①求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達人”又有女“騎行達人”的概率；②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8289.某單位舉辦2020年杭州亞運會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎，盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“亞運會會徽”或“五環(huán)”圖案；抽獎規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“五環(huán)”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行.（Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“五環(huán)”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“會徽”卡的概率是，求抽獎者獲獎的概率；（Ⅱ）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及的值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計專題04二項分布與超幾何分布類型對應典例明確樣本容量（較?。?，利用超幾何分布的求解典例1不放回型抽樣問題，利用超幾何分布的求解典例2出現(xiàn)頻率估計概率時，利用二項分布解決問題典例3放回型重復試驗，利用二項分布解決問題典例4與正態(tài)分布相結(jié)合的二項分布問題典例5明確樣本容量（非常大），利用二項分布解決問題典例6利用二項分布的函數(shù)特性的求最值典例7【典例1】【北京市豐臺區(qū)2019-2020學年高三上學期期末】目前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境.我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴重污染環(huán)境.垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴重侵蝕，減少了土地流失.2020年5月1日起，北京市將實行生活垃圾分類，分類標準為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從這5個小區(qū)中任取1個小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（Ⅱ）從這5個小區(qū)中任取2個小區(qū)，記為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個數(shù)，求的分布列及期望．【思路引導】（Ⅰ）基本事件的總數(shù)為5，隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)為2，從而可得隨機事件的概率.（Ⅱ）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．解：（Ⅰ）記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件.由題意，有兩個小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，所以.（Ⅱ）因為回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有，共2個小區(qū).的所有可能取值為0，1，2.；；.所以的分布列為:012．【典例2】【重慶南開中學2019-2020學年高三上學期第四次教學質(zhì)量檢測】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分數(shù)區(qū)間如下表：等級比例賦分區(qū)間而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當原始分為，時，等級分分別為、，假設(shè)小南的化學考試成績信息如下表：考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間化學75分等級設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)椋鶕?jù)公式得：，所以（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：成績95939190888785人數(shù)1232322（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設(shè)5名學生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.【思路引導】（1）根據(jù)成績換算公式，計算出等級成績不低于96分時的原始成績，進而得到等級成績不低于96分的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率即可得到所求；（2）列出隨機變量的所有可能的取值，分別求出對應的概率，列出分布列，計算期望即可．解：（1）設(shè)化學成績獲得等級的學生原始成績?yōu)?，等級成績?yōu)椋赊D(zhuǎn)換公式得：，即：，所以，得：，顯然原始成績滿足的同學有3人，獲得等級的考生有15人.恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率為.（2）由題意可得：等級成績不小于96分人數(shù)為3人，獲得等級的考生有15人，，，則分布列為0123則期望為：【典例3】【2020屆河南省焦作市高三上學期第二次模擬考試】隨著經(jīng)濟的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時間之和統(tǒng)計如圖所示.（1）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的頻率；（2）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和的平均數(shù)（每組取該組的中間值作代表）；（3）以頻率估計概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的周數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望.【思路引導】（1）用減去頻率直方圖中位于區(qū)間和的矩形的面積之和可得出結(jié)果；（2）將各區(qū)間的中點值乘以對應的頻率，再將所得的積全部相加即可得出所求平均數(shù)；（3）由題意可知，利用二項分布可得出隨機變量的概率分布列，并利用二項分布的均值可計算出隨機變量的數(shù)學期望.解：（1）依題意，此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的頻率為；（2）所求平均數(shù)為（時）；（3）依題意，.，，，，.故的分布列為故.【典例4】【2020屆安徽省蚌埠市高三上學期期末考試】某餅屋進行為期天的五周年店慶活動，現(xiàn)策劃兩項有獎促銷活動，活動一：店慶期間每位顧客一次性消費滿元，可得元代金券一張；活動二：活動期間每位顧客每天有一次機會獲得一個一元或兩元紅包．根據(jù)前一年該店的銷售情況，統(tǒng)計了位顧客一次性消費的金額數(shù)（元），頻數(shù)分布表如下圖所示：一次性消費金額數(shù)人數(shù)以這位顧客一次消費金額數(shù)的頻率分布代替每位顧客一次消費金額數(shù)的概率分布．（1）預計該店每天的客流量為人次，求這次店慶期間，商家每天送出代金券金額數(shù)的期望；（2）假設(shè)顧客獲得一元或兩元紅包的可能性相等，商家在店慶活動結(jié)束后會公布幸運數(shù)字，連續(xù)天參加返紅包的顧客，如果紅包金額總數(shù)與幸運數(shù)字一致，則可再獲得元的“店慶幸運紅包”一個．若公布的幸運數(shù)字是“”，求店慶期間一位連續(xù)天消費的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望．【思路引導】（1）先計算出顧客一次消費滿元的概率，再可得；（2）記店慶期間一位連續(xù)天消費的顧客獲得紅包金額總數(shù)為，則的可取值為，，，，，，計算出取每一個值的概率后，利用期望公式計算可得.解：（1）依題意，顧客一次消費滿元的概率為記商家每天送出代金券金額數(shù)為，則，∴商家每天送出代金券金額數(shù)的期望為元；（2）記店慶期間一位連續(xù)天消費的顧客獲得紅包金額總數(shù)為，則的可取值為，，，，，，且，，，，，．∴店慶期間一位連續(xù)5天消費的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望為元．【典例5】【2020屆廣東省茂名市高三第一次綜合測試】當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個數(shù)得分1617181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：（ⅰ）預估全年級恰好有1000名學生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù).（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，，則，，【思路引導】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算，每分鐘跳繩個數(shù)的人數(shù)為（人）每分鐘跳繩個數(shù)的人數(shù)為（人），由題意可知，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，根據(jù)互斥事件概率加法公式，計算即可.（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的均值，可知正式測試時期望的估計值，方差，計算，，（?。└鶕?jù)正態(tài)分布的對稱性，計算，求解人數(shù)即可.（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)202以上的概率為，則服從二項分布，即，計算分布列和期望，即可.解：（Ⅰ）由題意可知，得16分的人數(shù)為5人，得17分的人數(shù)為9人，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分.所以，兩人得分之和不大于33分的概率為：.（Ⅱ）（個）又，，所以正式測試時，，.∴，.（?。啵啵ㄈ耍?（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)202以上的概率為，即.∴，，，，∴的分布列為0123.【典例6】【2019年12月廣東省高三調(diào)研考試數(shù)】某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.【思路引導】（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解（1）估計本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學生達到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個考生本科上線的概率為0.6，則.（ii）甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X，Y，依題意，可得，.因為2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范圍為.【典例7】【2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試（新課標I卷)理科】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【思路引導】（1）利用獨立重復實驗成功次數(shù)對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；（2）先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應的期望，之后應用變量之間的關(guān)系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結(jié)果.解：（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.【針對訓練】1.【天津市部分區(qū)2019-2020學年高三上學期期末數(shù)學試題】每年的12月4日為我國“法制宣傳日”.天津市某高中團委在2019年12月4日開展了以“學法、遵法、守法”為主題的學習活動.已知該學校高一、高二、高三的學生人數(shù)分別是480人、360人、360人.為檢查該學校組織學生學習的效果，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校全體學生中選取10名學生進行問卷測試.具體要求：每位被選中的學生要從10個有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機抽出4個問題進行作答，所抽取的4個問題全部答對的學生將在全校給予表彰.⑴求各個年級應選取的學生人數(shù)；⑵若從被選取的10名學生中任選3人，求這3名學生分別來自三個年級的概率；⑶若被選取的10人中的某學生能答對10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記表示該名學生答對問題的個數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.【思路引導】（1）利用分層抽樣求得各年級應抽取的人數(shù)；（2）利用計算原理求得基本事件的總數(shù)為，再求出所求事件的基本事件數(shù)，再代入古典概型概率計算公式；（3）隨機變量的所有可能取值為，利用超幾何分計算（），最后求得期望值.解：（1）由題意，知高一、高二、高三年級的人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣方法從中選取人，因此，高一年級應選取人，高二年級應選取人，高三年級應選取人.（2）由（1）知，被選取的名學生高一、高二、高三年級分別有人、人、人，所以，從這名學生任選名，且名學生分別來自三個年級的概率為.（3）由題意知，隨機變量的所有可能取值為，且服從超幾何分布，（）.所以，隨機變量的分布列為1234所以，隨機變量的數(shù)學期望為.2.【2020屆廣西河池市高三上學期期末考試】在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）估計這名參賽選手的平均成績；（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加競賽選拔賽的選手能夠進入正式競賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨立，現(xiàn)有名選手進入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.【思路引導】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)列式求解即可.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求解即可.(3)易得隨機變量滿足二項分布,再根據(jù)二項分布的分布列與數(shù)學期望求解即可.解:(1)由題意,得解得(2)估計這名選手的平均成績?yōu)?(3)由題意知,,則可能取值為,所以所以的分布列為故的數(shù)學期望為.3.【河南省天一大聯(lián)考2019-2020學年高三階段性測試（三)】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當最大時，求的值.【思路引導】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，求出的值，再將所有矩形底邊中點值乘以矩形面積，再將所得的數(shù)相加即可得出該社區(qū)年國慶活動的居民的平均年齡；（2）先根據(jù)分層抽樣得知，所抽取的人中，年齡在的抽取人、年齡在的抽取人，可得出隨機變量的可能取值為、、，并利用古典概型的概率公式計算出隨機變量分別取、、時的概率，列出隨機變量的分布列，并利用數(shù)學期望公式計算出隨機變量的數(shù)學期望；（3）設(shè)年齡在的人數(shù)為，可知，利用獨立重復試驗的概率公式得出，分析出數(shù)列的單調(diào)性，可求出的最大值及對應的的值.解：（1）由頻率分布直方圖知，解得，所以該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡為；（2）年齡在的人數(shù)為，年齡在的人數(shù)為.根據(jù)分層抽樣，可知年齡在的抽取人、年齡在的抽取人.所以的可能取值為0，1，2，且，，，所以的分布列為所以；（3）由題可知年齡在內(nèi)的頻率為.設(shè)年齡在的人數(shù)為，所以..設(shè)，由得，此時；由得，此時.所以當時，最大.4.【河北省邢臺市2018-2019學年高二下學期期末考】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.【思路引導】（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項分布，求得銷售額的表達式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.解：（1）設(shè)事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機支付作為首選支付方式的概率為.設(shè)表示銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設(shè)表示銷售額，則，所以銷售額的數(shù)學期望（元）.5.為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省于2018年推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標準：以一個年度為計費周期、月度滾動使用，第一階梯電量：年用電量2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度；第二階梯電量：年用電量2161至4200度(含4200度)，執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度；第三階梯電量：年用電量4200度以上，執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.某市的電力部門從本市的用電戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下表：用戶編號12345678910年用電量(度)1000126014001824218024232815332544114600(1)試計算表中編號為10的用電戶本年度應交電費多少元？(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取4戶，對其用電情況作進一步分析，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電情況，現(xiàn)從全市居民用電戶中隨機地抽取10戶，若抽到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.【思路引導】（1）根據(jù)各編號為10的用戶所用電量，并結(jié)合每檔的電價可得所用的電費．（2）由題意得的所有可能取值為0，1，2，3，4，然后分別求出的每個值的概率可得分布列，然后可得期望．（3）由題意，故,，由此列出不等式，解不等式可得的范圍，從而可得的值．解：(1)因為第二檔電價比第一檔電價多0.05元/度，第三檔電價比第一檔電價多0.3元/度，編號為10的用電戶一年的用電量是4600度，則該戶本年度應交電費為4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元).（2）設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有4戶，則可取0，1，2，3，4.,，,，故的分布列為01234所以．（3）由題意可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知，由,解得，所以當時概率最大，故.6.【2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（山東卷】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.【思路引導】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進一步計算X的數(shù)學期望.解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學期望是=7