§14.1

坐標(biāo)系與參數(shù)方程第2課時(shí)參數(shù)方程根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以

_____________從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么

就是曲線的參數(shù)方程.1.參數(shù)方程和普通方程的互化知識(shí)梳理通過消去參數(shù)2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)________________________圓_________橢圓————————————x2＋y2＝r2拋物線y2＝2px(p>0)考點(diǎn)自測(cè)將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為解答y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.解答直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2.∵l1與l2垂直，3.點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上，求|PF|的值.解答將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，那么焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又P(3，m)在拋物線上，由拋物線的定義知|PF|＝3－(－1)＝4.4.(2016·北京東城區(qū)模擬)曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，求直線l與曲線C相交所截的弦長(zhǎng).曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1，直線l的普通方程為3x－4y＋3＝0.解答題型分類深度剖析例1

(1)如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化解答解答直線l的普通方程為x＋y＝2，曲線C的普通方程為y＝(x－2)2(y≥0)，思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種：(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練1

(1)求直線

(t為參數(shù))與曲線

(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解答因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn).直線l的普通方程為x－y－a＝0，∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，假設(shè)直線l過(3,0)，那么3－a＝0，∴a＝3.解答例2直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).解答直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，圓C的普通方程為x2＋y2＝16.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)假設(shè)直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，思維升華圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題時(shí)，一般是把參數(shù)方程化為普通方程，通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等.跟蹤訓(xùn)練2

解答曲線C1的普通方程為x2＋y2＝5(x≥0，y≥0).曲線C2的普通方程為x－y－1＝0.∴曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；解答(2)假設(shè)C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值.解答思維升華在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能表達(dá)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡(jiǎn)捷的解答.例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問題進(jìn)行求解就是一種常見的解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原那么，充分表達(dá)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.解答(1)求圓心的極坐標(biāo)；即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.∴圓心坐標(biāo)為(1，－1)，解答課時(shí)作業(yè)解答12345678910∴x＝0或x＝1.∴所截得的弦長(zhǎng)為2.12345678910直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，解答123456789103.直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程.解答∴以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝1.12345678910解答123456789101234567891012345678910解答123456789106.(2016·全國(guó)甲卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；解答由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.12345678910解答12345678910在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R).設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.12345678910(1)寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程；解答12345678910解答(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo).故當(dāng)t＝0時(shí)，PC取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0).12345678910解答(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.12345678910(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，假設(shè)曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組解答假設(shè)ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上.所以a＝1.12345678910解答1234567891012345678910123456789