高三數(shù)學(xué)考生留意：1．本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘．分四大題，22小題，共6頁2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題5分，共40分）1.歐拉恒等式（i為虛部單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇異的公式，它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時(shí)，，得．依據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)歐拉公式得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可得答案.【詳解】，則虛部為．故選：C．2.魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年獨(dú)創(chuàng)的機(jī)械益智玩具，與華容道?獨(dú)立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力嬉戲界的三大不行思議.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從全部的小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到中心方塊的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】沿等分線把正方體切開，共有27個(gè)同樣大小的小正方體，然后數(shù)出1面有色、2面有色和3面有色的小正方體的個(gè)數(shù)，可通過古典概型運(yùn)算公式求得答案.【詳解】沿等分線把正方體切開，得到27個(gè)同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個(gè)，2面有色的小正方體有12個(gè)，3面有色的小正方體有8個(gè)，所以恰好抽到的是中心方塊的概率是．故選：A.3.已知為橢圓上不同的三點(diǎn)，直線，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，若，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角形面積公式及或得，再應(yīng)用相交弦長公式列方程，即可求.【詳解】由，則，由圖知：當(dāng)位置變更時(shí)，或，故，所以，而直線、斜率存在且不為0，故，，所以，即或，當(dāng)，化簡得.當(dāng)時(shí)，，明顯，無解.所以.故選：B.4.在計(jì)算機(jī)尚未普及的年頭，人們?cè)谟?jì)算三角函數(shù)時(shí)經(jīng)常須要查表得到正弦和余弦值，三角函數(shù)表的制作最早可追測到古希臘數(shù)學(xué)家托勒密．下面給出了正弦表的一部分，例如，通過查表可知的正弦值為0.0384，的正弦值為0.5135，等等.則依據(jù)該表，416．5°的余弦值為（）0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736………………A.0.5461 B.0.5519 C.0.5505 D.0.5736【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，然后查表即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，，查表可．故選：B.5.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性證得在上單調(diào)遞增，從而證得，進(jìn)而由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到.【詳解】因?yàn)椋?，故令，則，因?yàn)?，所以，故恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即.故選：B.6.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，明顯有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得的值，依據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特別值法：通過取特別值或特別位置，求出離心率.7.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，進(jìn)而可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】等價(jià)于．令函數(shù)，則，故是增函數(shù)．等價(jià)于，即．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：C.8.已知正方體棱長為2，P為空間中一點(diǎn).下列論述正確的是（）A.若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B.若，三棱錐的體積不是定值C.若，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面D.若，則異面直線BP和所成角取值范圍是【答案】D【解析】【分析】A：為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，連接，找到異面直線BP與所成角為或其補(bǔ)角，求其余弦值；B：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，△面積恒定，到面的距離恒定，即可推斷；C：若分別是中點(diǎn)，在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，證明面，易知要使面，則必在面內(nèi)，即可推斷；D構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求，進(jìn)而推斷夾角的范圍.【詳解】A：由，即為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，連接，則，又且，即為平行四邊形，所以，所以異面直線BP與所成角，即為或其補(bǔ)角，而，，，故，錯(cuò)誤；B：由知：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，如下圖示，△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，錯(cuò)誤；C：若分別是中點(diǎn)，由知：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，由面，面，則面面，由，面面，面，所以面，面，則，同理可證：，由，、面，故面，而面面，要使面，則必在面內(nèi)，明顯面，故錯(cuò)誤；D：由知：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，如下圖建系，，，則，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線和所成角是；當(dāng)，即時(shí)，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值為，直線和所成角的最小值為，正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)向量的線性關(guān)系推斷的位置，結(jié)合異面直線夾角的定義、錐體體積公式、線面垂直的判定及向量夾角的坐標(biāo)求法，證明或求解線面垂直、體積、異面直線夾角范圍等.二、多選題（每題至少有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書中先把“=”作為等號(hào)運(yùn)用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次運(yùn)用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若，則下面結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則有最小值C.若，則D.若，則有最大值1【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)推斷A；利用“1”的妙用計(jì)算推斷B；確定b的取值范圍，求出范圍作答；利用均值不等式計(jì)算推斷D作答.【詳解】對(duì)于A，，則，即，A正確；對(duì)于B，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，由得：，有，則，C不正確；對(duì)于D，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD10.重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而著名于海內(nèi)外．閱歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨(dú)特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民寵愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)聚共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連接OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（）圖1圖2A.若，則 B.若，則C. D.【答案】ABD【解析】【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可推斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可推斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則,由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD11.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)覺有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以所得余數(shù)按原依次構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】寫出的前幾項(xiàng)，通過視察可得數(shù)列的周期，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)以及的定義，可推斷A、B項(xiàng)；因?yàn)椋赏频?，逐?xiàng)代入即可得到C項(xiàng)；由，可得，逐項(xiàng)代入即可得到，從而得到D項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，依?jù)數(shù)列的性質(zhì)以及的定義可得，，，，，，.同理可推得，當(dāng)時(shí)，有，，，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；由周期性可知，，，故B正確；因?yàn)?，可推得，逐?xiàng)代入，可得，所以C正確；因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤故選：BC．12.已知函數(shù)，若有6個(gè)不同的零點(diǎn)分別為，且，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.的取值范圍為C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A選項(xiàng)，對(duì)求導(dǎo)，得到其最值即可推斷，對(duì)B選項(xiàng)，將看成整體解出或，通過圖像找到所在位置，依據(jù)，假設(shè)通過消元解出范圍，再通過數(shù)形結(jié)合求出的范圍，兩者比較即可，對(duì)C,D通過削減變量，將式子化為，然后轉(zhuǎn)化為的范圍進(jìn)行分類探討即可推斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，解得，令，解得，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，故A正確；作出如圖所示圖像：由有6個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，解得或，∵，∴若，可得，而當(dāng)時(shí)，，可得，而；當(dāng)時(shí)，，可得而，故的范圍為的子集，的取值范圍不行能為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；該方程有6個(gè)根，且，知且，當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立解得，，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立解得，．故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)的理解，將看成一個(gè)，解出其值，然后通過圖像分析，轉(zhuǎn)化為直線與圖像的交點(diǎn)狀況，對(duì)于C,D選項(xiàng)式子，我們謹(jǐn)記要削減變量，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)變量的相關(guān)式子，常見的如，有兩根，則，如一元二次方程存在實(shí)數(shù)解，則.三、填空題（每題5分，共20分）13.古希臘哲學(xué)家芝諾提出了如下悖論：一個(gè)人以恒定的速度徑直從點(diǎn)走向點(diǎn)，先走完總路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，會(huì)產(chǎn)生無限個(gè)“剩下的路程”，因此他有無限個(gè)“剩下路程的二分之一”要走，這個(gè)人恒久走不到終點(diǎn)，因古代人們對(duì)無限相識(shí)的局限性，所以芝諾得到了錯(cuò)誤的結(jié)論．設(shè)，這個(gè)人走的第段距離為，則滿意這個(gè)人走的前段距離的總和的的一個(gè)值可以為__________．【答案】7（7、8、9，只需寫出一個(gè)答案即可）【解析】【分析】依據(jù)題意知數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，求出前n項(xiàng)和，列出不等式即可求正整數(shù)n的取值.【詳解】由題意得且，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡得，由等比數(shù)列定義知數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以的取值可以?、8、9.故答案：7（7、8、9，只需寫出一個(gè)答案即可）14.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為右支上隨意一點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】8【解析】【分析】求出橢圓的離心率和焦點(diǎn)，從而得雙曲線的離心率，雙曲線的實(shí)半軸長，可得，由雙曲線的定義得PF1＝PF2＋2，這樣就可表示為的函數(shù)，于是可利用基本不等式求得最小值【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為a1，短半軸長為b1，半焦距為c，則c＝＝＝2，故橢圓的離心率e1＝＝，從而雙曲線的離心率，可得a＝1，依據(jù)雙曲線的定義有PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2，故＝＝＝PF2＋＋4，由雙曲線的范圍可得PF2≥c－a＝1，依據(jù)基本不等式可得PF2＋＋4≥2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)PF2＝，即PF2＝2時(shí)取“＝”，所以的最小值為8.故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的定義，解題關(guān)鍵是由雙曲線定義得PF1＝PF2＋2，把表示為的函數(shù)．15.我們經(jīng)常運(yùn)用對(duì)同一個(gè)量算兩次的方法來證明組合恒等式，如：從裝有編號(hào)為的個(gè)球的口袋中取出個(gè)球，共有種取法.在種取法中，不取號(hào)球有種取法；取號(hào)球有種取法.所以.試運(yùn)用此方法，寫出如下等式的結(jié)果：___________.【答案】【解析】【分析】將等式看作是從編號(hào)為個(gè)球中，取出個(gè)球，其中第個(gè)球的編號(hào)依次為的狀況，利用分類加法計(jì)數(shù)原理得到的結(jié)果；再由從編號(hào)為個(gè)球中，取出個(gè)球，有種取法，即可得到結(jié)果.【詳解】從編號(hào)為個(gè)球中，取出個(gè)球，記所選取的六個(gè)小球的編號(hào)分別為，且，當(dāng)時(shí)，分三步完成本次選取：第一步，從編號(hào)為的球中選取2個(gè)；其次步，選取編號(hào)為的球；第三步，從剩下的個(gè)球中任選個(gè)，故選取的方法數(shù)為；當(dāng)時(shí)，分三步完成本次選?。旱谝徊剑瑥木幪?hào)為的球中選取2個(gè)；其次步，選取編號(hào)為的球；第三步，從剩下的個(gè)球中任選個(gè)，故選取的方法數(shù)為；……；當(dāng)時(shí)，分三步完成本次選取：第一步，從編號(hào)為的球中選取2個(gè)；其次步，選取編號(hào)為的球；第三步，從剩下的個(gè)球中選個(gè)，故選取的方法數(shù)為；至此，完成了從編號(hào)為個(gè)球中，選取個(gè)球，第個(gè)球的編號(hào)確定時(shí)的全部狀況，另外，從編號(hào)為個(gè)球中，取出個(gè)球，有種取法，所以.故答案為：.16.當(dāng)a＞0時(shí)，若不等式恒成立，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】先將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的圖像恒在圖像的下方，求出兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，比較兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)得到，且當(dāng)恰為在處的切線時(shí)取得最小值，即可求解.【詳解】由題意知：，由可得，即不等式恒成立，令，易得為斜率大于0的一條直線，；，當(dāng)時(shí)，單增，當(dāng)時(shí)，單減，又，要使不等式恒成立，必有零點(diǎn)與的零點(diǎn)重合或者在的零點(diǎn)左側(cè)，如圖所示：故有，解得，當(dāng)且僅當(dāng)恰為在處的切線時(shí)取等，此時(shí)的圖像恒在圖像的下方，即滿意恒成立，即恒成立.又，故在處的切線方程為，即時(shí)，取得最小值.故答案：.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17.設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿意__________.條件①：；條件②：；條件③：.請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答以下問題：（注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.（參考公式：）【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)選擇①，由條件證明為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式；選擇②，由條件，結(jié)合關(guān)系，證明，利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選擇③，先證明，由此得為常數(shù)，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求，利用裂項(xiàng)相消法求，由此完成證明.【小問1詳解】若選擇條件①：因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．若選擇條件②：因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，整理得，，所以，累乘得，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．若選擇條件③：因?yàn)?，所以，即，所以，所以?shù)列為常數(shù)列，又，所以，即．【小問2詳解】證明：由（1）知：，結(jié)合參考公式可得，所以，所以，即因?yàn)?，所以，?18.如圖，平面四邊形ABCD中，，，．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿意．（1）求四邊形ABCD的外接圓半徑R；（2）求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，進(jìn)而得到A，B，C，D四點(diǎn)共圓，利用正弦理即可求解.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和幫助角公式以及正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以.因?yàn)椋?，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則四邊形ABCD的外接圓半徑就等于外接圓的半徑.又，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，則.，則.在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）證明：若，直線平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用面面平行證明線面平行；（2）利用坐標(biāo)法求二面角余弦值與正弦值；（3）設(shè)，可表示點(diǎn)與，再依據(jù)線面夾角求得的值.【小問1詳解】如圖所示，在線段上取一點(diǎn)，使，連接，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，所以平面平面，平面，平面；【小問2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又是中點(diǎn)，則，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，則二面角的正弦值為；【小問3詳解】存在，或假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，則，，則，，解得或，故存在點(diǎn)，此時(shí)或.20.近年來，學(xué)生職業(yè)生涯規(guī)劃課程漸漸進(jìn)入課堂，考生選擇高校就讀專業(yè)時(shí)不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報(bào)考專業(yè)分布更加廣泛，之前較冷門的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等專業(yè)報(bào)考的人數(shù)也逐年上升.下表是某高校數(shù)學(xué)專業(yè)近五年的錄用平均分與當(dāng)年該學(xué)校的最低提檔線比照表：年份20172024202420242024年份代碼12345該校最低提檔分?jǐn)?shù)線510511520512526數(shù)學(xué)專業(yè)錄用平均分522527540536554提檔線與數(shù)學(xué)專業(yè)錄用平均分之差1216202428（1）依據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回來方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該高校每年數(shù)學(xué)專業(yè)的錄用分?jǐn)?shù)X聽從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該高校的數(shù)學(xué)錄用平均分，假設(shè)2024年該校最低提檔分?jǐn)?shù)線為540分.①若該高校2024年數(shù)學(xué)專業(yè)錄用的學(xué)生成果在584分以上的有3人，本專業(yè)2024年錄用學(xué)生共多少人？進(jìn)入本專業(yè)高考成果前46名的學(xué)生可以獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金，則一等獎(jiǎng)學(xué)金分?jǐn)?shù)線應(yīng)當(dāng)設(shè)定為多少分？②在①的條件下，若從該專業(yè)獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示其中高考成果在584分以上的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）（2）①；580分；②詳見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別求得，，，寫出線性回來方程.（2）①由（1）中的線性回來方程求得時(shí)的，進(jìn)而得到該高校2024年的數(shù)學(xué)專業(yè)錄用平均分，然后利用原則求解，再由584分以上的有3人可計(jì)算出本專業(yè)2024年錄用學(xué)生共多少人；再由前46名占比計(jì)算出一等獎(jiǎng)學(xué)金分?jǐn)?shù)線應(yīng)當(dāng)設(shè)定為多少分；②若從該專業(yè)獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示其中高考成果在584分以上的人數(shù)，其中該專業(yè)獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的學(xué)生為46人，其中高考成果在584分以上的有3人，則的可能取值為0，1，2，3，再由超幾何分布的概率求解計(jì)算出概率并列出分布列進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由題意知，，，，所以，，故所求線性回來方程為．【小問2詳解】①由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故該高校2024年的數(shù)學(xué)專業(yè)錄用平均分約為．即因?yàn)?，又，若該高?024年數(shù)學(xué)專業(yè)錄用的學(xué)生成果在584分以上的有3人，則本專業(yè)2024年錄用學(xué)生共；進(jìn)入本專業(yè)高考成果前46名的學(xué)生占錄用人數(shù)的，設(shè)一等獎(jiǎng)學(xué)金分?jǐn)?shù)線應(yīng)當(dāng)設(shè)定為分，則，，故一等獎(jiǎng)學(xué)金分?jǐn)?shù)線應(yīng)當(dāng)設(shè)定為580分；②若從該專業(yè)獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示其中高考成果在584分以上的人數(shù)，其中該專業(yè)獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的學(xué)生為46人，其中高考成果在584分以上的有3人，則的可能取值為0，1，2，3；；；；0123.21.已知雙曲線